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2022-2023 学年北京市人大附中朝阳学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
B、 是最简二次根式，此项符合题意；
C、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．
2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 6，8，10 D. 5，12，12
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】解：A． ，
以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B． ，
以 ，3，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C． ，以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D． ，
以5，12，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角
形的两边 、 的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3. 下列曲线中，表示y是x的函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义解答即可．
【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定
的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
4. 如图，在 中， ， ， ，则 的周长为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可以得到 、 和 的长，然后即可求得 的周长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
， ，
的周长为： ．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形性质解答．
5. 下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ）
A. 正方形的面积S随边长x的变化而变化
B. 面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化
C. 正方形的周长C随着边长x的变化而变化
D. 水箱以 的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位： ）的
变化而变化
【答案】C
【解析】
【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据正比例函数的定义：一般地，形如 （k是常数，
）的函数叫做正比例函数，进行判断即可．【详解】解：A、 不是正比例函数，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 是正比例函数，故此选项符合题意；
D、设水箱有水 ，则 ，不是正比例函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
6. 如图，在平行四边形 中， ， 分别为 的中点，求 的值（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得 ，然后利用三角形中位线定理求得
．
【详解】解：如图，在平行四边形 中，
∵ ，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题关键是利用平行四边形的性质并结
合三角形中位线定理来求有关线段的长度．
7. 已知 是 的一次函数，下表列出了部分 与 的对应值：
-1 0 1 2
-2 -1 0
则 的值为（ ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由表格数据可利用待定系数法求出一次函数的解析式，进一步即可求出a的值．
【详解】解：设 ，由表格数据，把x=0，y=﹣1；x=1，y=0代入得：
，解得： ，
∴一次函数的关系式是 ，
∴当x=2时，a=2－1=1．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特点，属于基本题型，
熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．
8. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，点B的坐标为 ，点C在第一象限，
对角线 与x轴平行．直线 与x轴、y轴分别交于点E，F，将菱形 沿x轴向左平移m
个单位，当点D落在 的内部时（不包括三角形的边），m的值可能是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】在 中，利用勾股定理可求出 的长，利用菱形的性质可求出点D的坐标，代入
求出直线 上纵坐标为1的点的横坐标，利用平移的性质可得出m的取值范围，再对照四个选项
即可得出结论．
【详解】解：如图，连接 、 ， 与 相交于点M，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，且对角线 与x轴平行，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
则 ，
∴
∴点D的坐标为 ，当 时， ，
解得： ，
∵将菱形 沿x轴向左平移m个单位，点D落在 的内部（不包括三角形的边），
∵ ，
∴ ，
则m的值可能是7，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质以及坐标与图形变化—平移，
利用勾股定理及菱形的性质，找出点D的坐标是解题的关键．
二、填空题
9. 若二次根式 有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
10. 在 中， ，则 __________°．
【答案】110
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
故答案为：110．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出对角相等是解题关键．
11. 如图是正比例函数 的图象，写出一个符合题意的k的值：______________．
【答案】 (答案不唯一)
【解析】
【分析】由正比例函数 的图象在第二、四象限得出 ，任取其内一值即可．
【详解】解：∵正比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ．
故答案为： (答案不唯一)．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“正比例函数 的图象在第二、四象限得出
”是解题的关键．
12. 根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：__________________
【答案】平行四边形，一组邻边相等
【解析】
【分析】根据平行四边形、菱形的定义，可得答案．
【详解】解：由四边形的关系，得：
．
故答案为：平行四边形，一组邻边相等．
【点睛】本题考查了多边形，掌握平行四边形与特殊平行四边形的关系是解题的关键．13. 如图，在 中， ，D为线段 的中点，则 _______°．
【答案】50
【解析】
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到 ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半”得到 ，则等边对等角，即 ．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵D为线段 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
一半．
14. 已知在平面直角坐标系中，正方形 的对角线相交于点 ，且正方形顶点D的坐标为 ，
那么正方形顶点B的坐标为___________．【答案】
【解析】
【分析】利用图形根据正方形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，∵正方形 的对角线相交于点 ，正方形顶点D的坐标为 ，
∴正方形顶点B的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，掌握正方形的对角线互相平分是解题的关键．
15. 如图，正方形 的对角线相交于点O，点E是正方形外部一点，以 为边作正方形 ，
与 相交于点M， 与 相交于点N，若 ， ，则四边形OMBN的面积为 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】过点O作 于点P，过点O作 于点H，根据正方形的性质得出 ，进
而证明 ，即可得到四边形 的面积等于正方形 的面积，面积为9．
【详解】解：过点O作 于点P，过点O作 于点H，，
，
四边形 为矩形，
，
，
四边形 为正方形，
，
， ，
， ，
，
在
与 中，
，
，
四边形 的面积等于正方形 的面积，
，，
正方形 的面积 ，
四边形 的面积为9．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解决本题的关
键是证明四边形 是正方形．
16. 如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿 的路径匀速运动到点A处停止．
设点P运动路程为x， 的面积为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示；则下列结论：①
；② ；③当 时，点P运动到点D处；④当 时，点P在线段 或 上，其中所
有正确结论的序号的是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】先结合图①由图2为等腰梯形可得a的值，则可求得 与 的值；再根据三角形的面积公式
可得b的值；然后结合图形可知当 时，点P运动到点D处；最后根据图1及图2中的b值，可得当
时，点P在线段 或 上，从而问题得解．
【详解】解： 动点P从点B出发，沿 的路径匀速运动，
∴图2为等腰梯形，
，故①正确；，
在矩形 中， ，
，故②错误；
点P运动的路程为x，当 时，
，
时，点P运动到点D处，故③正确；
，
的
在图2中等腰梯形 两腰上分别存在一个y值等于 ，
结合图1可知，当 时，故④正确；
综上，正确的有：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，明确矩形的性质、数形结合并分段讨论是解题的关键．
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把 的值代入计算即可．
【详解】解： ，
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
19. 阅读下面的材料：
如图1，在线段 上找一点C（ ），若 ，则称点C为线段 的黄金分割
点，这时比值为 ，人们把 称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是
一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．
我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作
，且 ，连接 ；以F为圆心， 长为半径作弧，交 于H；再以O为圆心，
长为半径作弧，交 于点P，则点P就是线段 的黄金分割点．根据材料回答下列问题：
（1）根据作图，写出图中相等的线段： ；
（2）求点P在数轴上表示的数，并写出 的值．
【答案】（1） ，
（2）点P在数轴上表示的数为 ，
【解析】
【分析】（1）根据作图步骤可知半径相等，即可解答；
（2）根据垂直定义可得 ，根据已知可得 ，然后在 中，利用勾股
定理求出 的长，再根据作图可得： ， ，从而求出 的长，进而求出 的长，
最后进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：根据作图步骤可知半径相等，图中相等的线段： ， ；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： ，
，
， ，
，
，
由作图得： ， ，，
，
，
∴点P在数轴上表示的数为 ， ．
【点睛】本题考查了黄金分割，实数与数轴，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
20. 如图，在菱形 中，E 为 边上一点， 交 于点 M，交 于点 F．求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得 ， ， ，再证四边形 是平行四边形，
，得 ，然后证 ，则 ，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握
菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点．
（1）求证： ；
（2）四边形ABCD的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：四边形ABCD的面积= ADC的面积+ ABC的面积，然后进行计算即可解答．
【小问1详解】 △ △
解：证明：连接AC，
由题意得：AD2=12+22=5，CD2=22+42=20，
AC2=52=25，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
【小问2详解】
解：如图：
由题意得：
四边形ABCD的面积= ADC的面积+ ABC的面积
△ △
= AC•DF+ AC•BE
= ×5×2+ ×5×1
=5+
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．22. 一条小船沿直线向码头匀速前进，在 ， ， ， 时，测得小船与码头的距离分别
为 ， ， ， ．
（1）小船平均每分钟行驶 ；
（2）设小船与码头的距离为y（单位：m），小船行驶时间为x（单位： ），写出y关于x的函数解
析式，并求出自变量 的取值范围．
【答案】（1）25 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意得：小船的速度为 ；
（2）设小船与码头的距离为y ，时间为 ，根据小船速度列出关系式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：小船的速度为 ，
故答案为：25；
【小问2详解】
解：设小船与码头的距离为 ，时间为 ，
则 ，
，
小船最多行驶8 到达码头，
故函数关系式为： ．
【点睛】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，通过找规律的方式确定函数的表达式．
23. 在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向下平移2个单位得到一次函数 的图象．（1）直接写出函数 的解析式，并画出它的图象；
（2）已知点 在函数 的图象上，将点A向右平移2个单位得到点B，判断点B是否在函数
的图象上，并说明理由．
【答案】（1） ，图象见解析
（2）点B不在函数 的图象上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据一次函数图象的平移规律：上加下减求解即可；
（2）先求出点A的坐标，进一步可得点B的坐标，进一步判断点B是否在函数 的图象上即可．
【小问1详解】
解：根据平移可知，y 的解析式为 ，
2
当 时， ，
直线与y轴交点 ，
当 时， ，
直线与x轴交点 ，图象如下：；
【小问2详解】
解：点B不在函数 的图象上，理由如下：
点 在函数 的图象上，
，
点A向右平移2个单位得到点B，
点B坐标为 ，
当 时， ，
∴点B不在函数 的图象上．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题
的关键．
24. 观察下列等式，其中反映了某种规律：
； ； ，
（1）按照这种规律在括号里填入相应的数： ；
（2）请你用含n（n为正整数，且 ）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．
【答案】（1）24，24
（2）第n个式子是： （n为正整数，且 ）；证明见解析【解析】
【分析】（1）根据题目给出的例子求出相应的值；
（2）由规律结合（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且 ）的等式表示表述上面的规律；
证明时，先被开方数通分，然后加减，最后化简结果．
【小问1详解】
解： ； ； ， ，
，
故答案为：24，24；
【小问2详解】
第n个式子是： （n为正整数，且 ）；
证明：
（n为正整数，且 ）．
【点睛】本题考查算术平方根、规律型：数字的变化类，掌握算术平方根定义的应用，数字与序号建立数
量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键．
25. 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，延长 到 ，使 ，连接 ， ．（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．
（2）先证明矩形 是正方形，然后根据正方形的性质和勾股定理，即可求出答案．
【小问1详解】
解： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．
【小问2详解】
解： ， ，
，
．
在 中， 为 中点，
．，
矩形 是正方形，
，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运
用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型．
26. 如图1，在等腰直角三角形 中， ， ，点P在三角形的边上沿A→C→B的
路径运动，过点P作 于点D，设 ， 的面积为 （当点P与点B或点A
重合时，y的值为0），在点P运动的过程中，y随x的变化而变化．
小东根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是小东的探究过程，请你补充完整并利用
所得结论解决问题．
（1）根据点P的运动路径可知，自变量x的取值范围是 ；
（2）通过取点，画图，测量，得到了x与y的几组值，如表：
0 1 2 3 … 4
0 m n … 0
请写出表中m，n的值： ， ；
（3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对值为坐标的点，连线，画出该函数图象；
（4）结合画出的函数图象，请你描述函数y随x的增大如何变化；（5）当 时， 的面积为 ．
【答案】（1）
（2） ，
（3）见详解 （4）见详解
（5） 或3
【解析】
【分析】（1）由点D在线段 （点D可以和点A、点B重合）上运动可得x的取值范围；
（2）根据题意分情况讨论，当 时，求出 的面积与x的关系式，代入2即可求出m的值，
当 时，画图求出 的面积与x的关系式，代入3即可求出n的值；
（3）根据表格所给数据，描点，连线画图即可；
（4）结合画出的函数图象，描述y随x的变化是如何变化的；
（5）结合（2）中求出的函数关系式，当 时分别求出x的值即可．
【小问1详解】
解：点P在三角形的边上沿A→C→B的路径运动，
当点P与点A重合时， y的值为0，此时 ，
当点P与点B重合时，y的值为0，此时 ，
所以x的取值范围是 ，
故答案 为： ；
【小问2详解】
当点P在边 上时，即 时，∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
当 时， ，
当点P边 上时，即 时，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
当 时， ，
故答案为：2， ；
【小问3详解】
把表格中所给的每一对对应值看成一个点的坐标，在平面直角坐标系中描点，画图如下：
【小问4详解】
由图象可得：当 时，y随x的增大而增大， ，y随x的增大而减小；
【小问5详解】
由（2）知当 时， ，令 ，
则 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
由（2）知当 时， ，
令 ，
则 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
所以当 或 时， 的面积为 ，
故答案为： 或3．
【点睛】本题考查了二次函数与动点结合的综合题，考查了函数图象的画法以及数形结合思想，解题的关
键是找到 的面积与x之间的关系式．
27. 已知四边形 是正方形，点 在边 上，点 是点 关于直线 的对称点，点 在直线
上，且 ．
（1）根据题意，在图 中补全图形；
（2）求 的度数；（3）用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2） 的度数为 ；
（3） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意即可补全图形；
（2）根据正方形的性质和对称的性质证明 是等腰直角三角形，然后利用平角定义即可解决问题；
（3）过点 作 于点 ，证明 是等腰直角三角形，得 ， ，然
后证明 ，可得 ，进而可以得到结论．
【小问1详解】
解：如图 ，即为补全的图形；
【小问2详解】
解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵点 是点 关于直线 的对称点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴∴ 的度数为 ；
【小问3详解】
解： ，
证明：如图，过点 作 于点 ，
由（2）知 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：
如果图形M上存在点Q，使得 ，那么称点P为图形M的和谐点．
已知点 ， ， ， ．
（1）在点 ， ， 中，矩形 的和谐点是_________________；
（2）如果直线 上存在矩形 的和谐点P，求出点P的横坐标t的取值范围；
（3）如果直线 上存在矩形 的和谐点E，F，使得线段 上的所有点（含端点）都是矩
形 的和谐点，且 ，求出b的取值范围．
【答案】(1) 和 ；(2) 或 ；(3) 2≤b＜3或-3＜b≤-2.
【解析】
【分析】(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知P 和P 是矩形ABCD的和谐
1 3
点.
(2)如图2中，求出满足条件的P、P、P、P 的坐标即可判断.
1 2 3 4
(3)当b=3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且 ，当将直线往y轴负半轴平移时刚好经过点M，此时 上的点都是和谐点，且 ，当再往下平移时，EF上有部分点不再是和谐点，由此
求出b的范围为2≤b＜3；根据对称性，-3＜b≤-2也满足.
【详解】(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知：
到矩形边AD和AB的最短距离为2，符合和谐点的定义；
到矩形四边的距离均大于2，不符合和谐点的定义；
是矩形边AD的距离为0，符合和谐点的定义；
故是和谐点的是点 和 .
故答案为： 和 .
(2)如图中：当直线 上的点P到直线AB的距离为2时，可得 和 均满足和谐点的定义，
此时 均是和谐点，故此时 的取值范围是： ；
当直线 上的点P到直线AD的距离为2时，可得 和 均满足和谐点的定义，此
时 均是和谐点，故此时 的取值范围是： ；
故满足条件的 的取值范围是： 或 .
故答案为： 或 .
(3)如下图所示：当b=3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且 ，
当将直线往y轴负半轴平移且刚好经过点M(-2,1)，
,
将点M(-2 1)代入解析式 ，
即： ，解得：b=2，且此时
故此时b的范围为2≤b＜3，
同理，由对称性可知，当-3＜b≤-2也满足条件.
故b的取值范围为：2≤b＜3或-3＜b≤-2.
【点睛】本题属于一次函数的综合题，同时也是一个新定义题型，借助一次函数的知识，考查了函数平移
等相关知识，解题的关键是理解题意，学会用分类思想思考问题；本题属于压轴题，难度较大.
