文档内容
九年级数学
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人
工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心
对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转 180°，与自身重合，这样的图形叫做中
心对称图形．逐一进行判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．
2. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转 °后能与原来的图案互相重合，则 的最小值为（
）
A. 45 B. 60 C. 72 D. 144
【答案】C
【解析】
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是 ，并且圆具有旋转不变性，因而旋转
的整数倍，就可以与自身重合．
第1页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【详解】该图形被平分成五部分，旋转 的整数倍，就可以与自身重合，
故 的最小值为 ．
故选：C
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3. 用配方法解关于 的一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
2
x x -x2 -5=0
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】常数项移到方程 的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．
【详解】解：∵x2-2x-5=0，
∴x2-2x=5，
则x2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6，
故选D．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的
步骤．
4. 将抛物线 平移，得到抛物线 ，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【详解】解：将抛物线y=-3x2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y=-3（x-1）2， 再向下平移2个单位
得到抛物线y=-3（x-1）2-2．
故选D．
【点睛】此题考查了抛物线的平移问题，根据“上加下减，左加右减”解决问题．
5. 如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）
第2页/共33页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆周角定理可得 ，从而可得 ，再根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】解： 是半圆 的直径，
，
，
，
由圆内接四边形的性质得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
6. 已知函数 的图象上有 ， ， 三点，则 的大小关
系（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数 的对称轴为直线 ，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，
点A到对称轴的距离为 ，
点B到对称轴的距离为 ，
点C到对称轴的距离为 ，
第3页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离
对称轴越近，函数值越大．
7. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列选项中不正确的是( )
A. B. C. 0 < D.
【答案】D
【解析】
【详解】A选项：由于图中的抛物线开口向下，所以a<0. 故A选项正确.
B选项：由于图中的抛物线与y轴交点的纵坐标大于零，所以c>0. 故B选项正确.
C选项：由于图中抛物线的对称轴与x轴的交点在点(0, 0)和点(1, 0)之间，所以 . 故C选项正
确.
D选项：根据图象可知，该二次函数在x=1处的函数值大于零，即当x=1时，y=a+b+c>0，所以a+b+c>0.
故D选项错误.
故本题应选D.
点睛：
本题考查了二次函数的图象和性质的相关知识. 一般情况下，系数a的符号由抛物线的开口方向确定；系
数b的符号可以根据对称轴与y轴的相对位置以及a的符号共同确定；系数c的符号可以根据抛物线与y轴
交点纵坐标的符号确定；代数式 代表对称轴与x轴交点的横坐标；代数式a+b+c代表在x=1处的函数
值.
的
8. 四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象 对称轴是直线x＝1；乙同学发
第4页/共33页
学科网（北京）股份有限公司现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，
y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；
【详解】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；
3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；
函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；
当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；
当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；
当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；
当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；
当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），若点A与点B关于原点O对称，则B点的坐标为____．
【答案】（2，﹣3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的对应坐标符号相反可直接得
到答案．
【详解】解：∵点A和点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
【答案】y＝x2＋1．
【解析】
【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
11. 已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 ___________
【答案】
第5页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，然后解关于k的方程．
【详解】解：把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，解得k=-2．
故答案为-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
12. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是__________
【答案】26°
【解析】
【分析】根据垂径定理可得 ，再根据圆周角定理及其推论求得∠BOC=2∠ADC，进而可求得
∠OBC的度数．
【详解】解：∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴ ，∠BOC+∠OBA=90°，
∴∠BOC=2∠ADC=64°，
∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°，
故答案为：26°．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及其推论、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握垂径定理和圆周
角定理及其推论是解答的关键．
13. 关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：
a=________，b=________．
【答案】 ①. 4 ②. 2
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，
第6页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴
∴b2-a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4， 故b=2，a=4时满足条件．
故答案为4，2（答案不唯一）
14. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点
为 ，则关于 的方程 的解为__________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据对称性得出抛物线与 轴的另一个交点，即可得出关于 的方程 的解．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点为 ，
∴关于 的方程 的解为 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与 轴的交点坐标和一元二次
方程 的解的关系．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋
转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
第7页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【答案】将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△AOB得到△CDE的过程．
【详解】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE．
故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．
【点睛】考查了坐标与图形变化——旋转，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，
对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
16. 如图， 是 的直径，弦 ，分别过 、 作 的垂线，垂足为 、 ，以下结论
① ；
② ；
③若四边形 是正方形，则 ；
④若 为弧 的中点，则 为 中点．
所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】先证明四边形 是矩形，再证明 ，可得结论①②正确，证明
第8页/共33页
学科网（北京）股份有限公司，可得③错误；证明 是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】解：连接 、 ， 如图， 、 ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，故②正确，
， ， ，故①正确，
当四边形 是正方形时， ，
第9页/共33页
学科网（北京）股份有限公司，
，
故③错误，
若 是 的中点，连接 ，而
，
，
是等边三角形，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的
判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6
分，第27-28题，每题7分）
17. 解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因式分解法解方程；
第10页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（2）因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：
∴ ，
解得： ；
【小问2详解】
解： ，
，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
18. 已知：如图， 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到 ，点A，B，C分别对应点 ，
， ．
（1）根据点 和 的位置确定旋转中心是点 ．
（2）请在图中画出 ．
【答案】（1）
（2）见解析
第11页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）分别作 、 的中垂线m、n，两者的交点即为所求；
（2）作出点C绕点 顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；
【小问1详解】
解：如图，根据点 和 的位置确定旋转中心是点 ，
【小问2详解】
如图所示， 即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对
应点．
19. 已知：A，B是直线l上的两点．
求作： ，使得点C在直线l上方，且 ．
作法：
①分别以A，B为圆心， 长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心， 长为半径画圆；
③在劣弧 上任取一点C（不与A，B重合），连接 ， ． 就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧 上任取一点M（不与A，B重合），连接 ．
第12页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，M在 上，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
∵四边形 内接于 ，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
【答案】（1）见解析；
（2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
【解析】
【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得 ，再根据圆周角定理可得 ，最后再根
据圆的内接四边形的性质即可证得 ．
【小问1详解】
解：如下图即为所求．
【小问2详解】
证明：如图，在优弧 上任取一点 （不与 ， 重合），连接 ， ， ， ．
第13页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵ ， ， 在⊙ 上，
∴ （同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）．
∴ ．
∵四边形 内接于⊙ ，
∴ （圆的内接四边形对角互补）．
∴ ．
故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
的
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆 内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，
BE．
第14页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（1）求证：△AEB ≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）45°
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得 ， ，再由旋转的性质，可得
， ，从而得到 ，再证 ≌ 即可；
（2）根据题意可得 为等边三角形．可得 ，根据三角形全等可得
，然后利用两角之差即可求解．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
， ．
线段AD绕点A顺时针旋转 ，得到线段AE，
， ．
．
．
在 EAB和 DAC中，
△ △
，
≌ ．
第15页/共33页
学科网（北京）股份有限公司解： ， ，
为等边三角形．
，
≌ ．
．
∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
21. 一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m.由于天气干燥，水管
水面下降，此时排水管水面宽CD变为1.2m，求水面下降的高度.
【答案】0.2m.
【解析】
【分析】先根据垂径定理求得AM、CN，然后根据勾股定理求出OM、ON的长，即可得出结论．
【详解】如图，连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．
∴∠ONC=90°．
∵AB∥CD，
∴∠OMA=∠ONC=90°．
∵AB=1.6，CD=1.2，
第16页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴AM= AB=0.8，CN= CD=0.6，
在Rt△OAM中，
∵OA=1，
∴OM= =0.6．
同理可得ON=0.8，
∴MN=ON-OM=0.2（米）．
答：水面下降了0.2米．
【点睛】此题考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
22. 已知关于x的方程 ( )．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到
结论；
（2）利用公式法求得方程的两个解为 x＝－1，x＝ ，再由方程有一个根大于2，列出不等式，
1 2
解不等式即可求得a的取值．
【详解】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，即 ．
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵ ，由求根公式得x＝ ，
第17页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵方程有一个根大于2，
∴ .
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 （ ）的根的判别式 ：当 ，方
程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点C的坐标；
（3）设过B，C两点的直线解析式为 ，直接写出当 时自变量x的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
（3） 或 ．
【解析】
第18页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据待定系数法列出方程组，求出a、b的值即可；
（2）把抛物线解析式化成顶点式即可得出顶点坐标；
（3）结合图象即可得到自变量的取值范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴
解得
∴ ．
【小问2详解】
∵
∴顶点的坐标为 ．
【小问3详解】
如图，
抛物线与直线的交点为 和 ，
第19页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ 时自变量x的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式、利用函数图象求不等式的解集等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的
销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1） （元）；
（2） ；
（3）销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元
【解析】
【分析】（1）将 代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可
得；
（2）根据利润=销售数量×每件的利润可得 ，把 代入整理即可得w与x的函
数关系式；
（3）由每天的销售量不少于38件，可得 ，进而可求出 ；根据（2）中结论整理
为顶点式 ，根据二次函数的基本性质可得，当 时，w随x的增大而增大，所
以当 时，w有最大值，代入求解即可得．
【小问1详解】
解：当 时，
，
销售量为40件，
∴
利润为： （元），
第20页/共33页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：400；
【小问2详解】
解：由题意得：
，
，
，
∴w与x的函数关系式为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得： ；
，
∵ ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为： （元），
∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出函数关系式是解题
的关键．
25. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形
状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离
为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d 0.50 1.00 1.5 2.00 2.50 3.00
第21页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（米）
h
3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0
（米）
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，
从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人
想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
【答案】（1）图见解析；
（2）4米 （3）h=-d2+2d+3
（4）水枪高度调节到5米以上
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，描点，用平滑的曲线连线即可；
（2）结合图象，得出最高点坐标为（1，4），进而得出结论；
（3）利用顶点式h=a(d-1)2+4和点（3，0）即可求出h关于d的函数表达式；
（4）设平移后的解析式为h=-d2+2d+3+m，根据题意求解即可.
1
【小问1详解】
解：如图所示
第22页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：由图象得，
最高点坐标为（1，4），
∴水柱最高点距离湖面的高度为4米；
【小问3详解】
解：由题意，得
设顶点式为h=a(d-1)2+4，
又图象过点（3，0），
∴a(3-1)2+4=0，
解得a=-1，
∴函数解析式h=-(d-1)2+4=-d2+2d+3；
【小问4详解】
解：设水枪高度向上调整m米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过，
则平移后的解析式为h=-d2+2d+3+m，
1
当横坐标为1+2=3时，纵坐标的值大于等于1+1=2，
∴-32+6+3+m≥2，
解得m≥2，
∴水枪高度至少向上调整2米，
∴水枪高度调节到5米以上.
【点睛】本题考查二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于熟练掌
握二次函数的图象建立二次函数模型．
26. 在平面直角坐标系中 中，抛物线 与 轴只有一个交点．
第23页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是 轴上一点，
①若在抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
②抛物线与直线 交于点 ， （点 在点 的左侧），将此抛物线在点 ， （包含点 和点
）之间的部分沿 轴向左平移 个单位后得到的图像记为 ，若在图像 上存在点 ，使得 ，
求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或 ；
【解析】
【分析】（1）根据抛物线 与 轴只有一个交点，求出m即可；
（2）设 ，点 在 轴上， ，函数与 有交点，带入求解即可；做出图形，观察
图像变化可知．
【
小问1详解】
抛物线 与 轴只有一个交点，
，
第24页/共33页
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
；
【小问2详解】
①设 ，点 在轴上， ，
，
，
当 时，
，
即： ，
，无实数解，不合题意，
当 时，
，
即：
解得 ，
当 ， ，
当 ， ，
或 ；
②如图抛物线与直线 交于点，
第25页/共33页
学科网（北京）股份有限公司将此抛物线在点 ， （包含点 和点 ）之间的部分沿 轴向左平移 个单位后得到的图像记为 若
在图像 上存在点 ，使得 ，
所以：当图像右侧经过 时：向左平移4个单位，即 ，
由图像可知，符合题意的n的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的交点综合问题；正确求出函数解析
式，利用函数图像与交点的关系求交点时阶梯的关键．
27. 四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接
DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【答案】（1）补图见解析；（2） ；（3）DE＝ ，证明见解析 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）设DF与AB交于点G，如图所示：由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝
第26页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∠CDA＝∠DAB＝90°，再求解∠ABE＝ 45°﹣α，再证明∠FBG＝ α，从而可得答
案；
（3）证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，再证明△HAB≌△FAD（ASA），可得∠H＝45°，
从而可得答案.
【详解】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∠FBE＝45°．理由如下：
设DF与AB交于点G，如图所示：
由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠EDC＝ 90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，
∴∠CBE＝ 45°+α，∠ADF＝ α，
∴∠ABE＝ 45°﹣α．
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°．
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝ α
第27页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（3）DE＝ ．
证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，
由（2）得：
∠FBE＝∠FEB＝45°．
∴FB＝FE．
∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，
∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，
∴△HAB≌△FAD（ASA），
∴HB＝FD，AH＝AF，
∴HF＝DE，∠H＝45°．
∴HF＝ AF．
∴DE＝ AF．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，正方形的
性质，灵活应用以上知识解题是关键.
28. 对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的
垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点 满足 且 ，则称四边形 是图
形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知 ， ，则点 为线段 的
第28页/共33页
学科网（北京）股份有限公司一个覆盖的特征点．
（1）已知点 ，
①在 ， ， 中，是 的覆盖特征点的为 ；
②若在一次函数 的图象上存在 的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点 为圆心，半径为1作圆，在抛物线 上存在 的覆盖的特征
点，直接写出a的取值范围 ．
【答案】（1）① ， ；② 且 ．
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）①根据覆盖的定义线段 坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断；
②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围；
（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则 为覆盖的特征点，当 时，代入抛物
线 得， ，结合图像得 ， ，在直线 的右侧y随x的增
大而增大，总存在 的点，即存在覆盖特征点综合即可．
【小问1详解】
解：①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即： 且 ，所以 ，
第29页/共33页
学科网（北京）股份有限公司是覆盖的特征点，
故答案为： ， ；
②设点 为 的覆盖的特征点．依题意得： ，
当 时，结合函数图像可知，在一次函数 的图像上存在 的覆盖的特征点，
故符合题意．
当 时，如图，点 为 的覆盖的特征点．
又∵点 在一次函数 的图像上，
当直线 过点 时，即：
解得： ．
∴结合函数图像可知 ．
综上所述： 且 ．
【小问2详解】
解：圆中点的横坐标最大值为3，纵坐标的最大值为5，则 为覆盖的特征点，
当 时，代入抛物线 得
，
第30页/共33页
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
结合图像得 ，即存在覆盖特征点，
当 时，此时 是一条直线，不存在符合条件点，
当 时，在直线 的右侧y随x的增大而增大，总存在 的点，即存在覆盖特征点，
综合得 的范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是
第31页/共33页
学科网（北京）股份有限公司图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．
第32页/共33页
学科网（北京）股份有限公司第33页/共33页
学科网（北京）股份有限公司
