文档内容
燕山地区 2022-2023 学年第一学期九年级期末质量监测
数学试卷
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A. 心形线 B. 蝴蝶曲线
C. 四叶玫瑰线 D. 等角螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握它们的概念，若一个图形
沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；一个平面
图形，绕一点旋转 ，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形．2. 已知 的半径为 ，点P在 内，则线段 的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系可得， ，即可求解．
【详解】解：点P在 内， 的半径为 ，
则 ，只有A选项符合题意；
故选：A
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，正确得到 ．
3. 如图， ， 是 的两条切线，A，B是切点，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据切线的性质作答即可．
【详解】解：∵ ， 是 的两条切线，A，B是切点，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，即切线与半径成 角．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，将线段 绕点O顺时针旋转 得到线段 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】抓住三要素：旋转中心是原点 ，旋转方向是顺时针，旋转角度是 ，据此画图得到点 及其
坐标．
【详解】解：如图所示：将点A顺时针旋转 得到点 ，其坐标为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查在直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是根据旋转的三要素画图得到所求点的坐标．
5. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨余
垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增长
率为x，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均增长率公式，结合题意即可得解
【详解】解：设月平均增长率为x，依题意得故选择：B
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用平均增长率问题，理解并掌握平均增长率公式是解题的关键．
6. 一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写着数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，小乐随
机从中抽取一张卡片，放回摇匀，再随机抽取一张，则小乐抽到的两张卡片上的数字都是奇数的概率是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用树状图法列出所有可能的情况以及都是奇数的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：树状图如下：
所有可能的情况有9种，两张卡片上的数字都是奇数的情况有4中，
则两张卡片上的数字都是奇数的概率为
故选：B
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握求解概率的方法．
7. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船
的轮子被水面截得的弦 长 ，轮子的吃水深度 为 ，则该浆轮船的轮子半径为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案
【详解】解：设半径为 ，则
在 中，有
，即
解得
故选：D
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
8. 下面的三个问题中都有两个变量y与x：
①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x；
②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x；
③某篮球联赛采用单循环制（每两队之间都赛一场），比赛的场次y与参赛球队数x，
其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条抛物线表示的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】对选项逐个判断，判断出每个选项的函数关系，即可求解．
【详解】解：①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x，此时变量y与x之间的函数
关系为反比例函数关系，不符合题意；②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x，此时变量y与x之间的函数关系
为二次函数的关系，即为抛物线，符合题意；
③某篮球联赛采用单循环制（每两队之间都赛一场），比赛的场次y与参赛球队数x，此时变量y与x之间
的函数关系为二次函数的关系，即为抛物线，符合题意；
变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条抛物线表示的是②③，
故选：C
【点睛】此题考查了函数关系的判定，解题的关键是能够理解题意，正确得出各选项的函数关系．
二、填空题（共16分，每题2分）
.
9 平面直角坐标系中，已知点 与点 关于原点对称，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可．
【详解】解：已知点 与点 关于原点对称，
则 ，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟
练掌握该特征是解题的关键．
10. 一元二次方程 的根是___________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：由 可得
解得 ，
故答案为： ，
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．
11. 已知某函数当 时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是___________．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】直接利用一次函数的性质得出答案
【详解】解：∵当自变量 时，函数y随x的增大而增大，
∴可以设一次函数 ， ，一次函数过 ， 点，
代入得： ，解得： ，
∴一次函数解析式为： ，
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】此题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．
12. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：
___________， ___________．
【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 1（答案不唯一）
【解析】
【分析】先根据根的判别式求出b和c的关系，再取数作答即可．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
即 ，
移项得 ，
当 即 时， ，
故答案为2，1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元
二次方程没有实数根．
13. 为了认真学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞
赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下：
得分（x
分）
人数（人） 10 m n 48
据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为___________
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据概率公式直接计算即可求解．
【详解】解：得分不低于90分的为 人，总人数为100人，
∴随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式求概率是解题的关键．
14. 如图， 为 的直径，弦 ，E为 上一点，若 ，则
___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理可得 ，根据等弧所对的圆周角相等即可求解．【详解】解：∵弦 ， 为 的直径，
∴
∵ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，掌握以上知识是解题的关键．
15. 如图，已知 的半径为3，点A，B，C都在 上， ，则 的长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由圆周角定理可得 ，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：由圆周角定理可得 ，
的长为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了弧长公式以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
16. 平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直线 如图所示，
有下面四个推断：①二次函数 有最大值；
②抛物线C关于直线 对称；
③关于x的方程 的两个实数根为 ， ；
④若过动点 垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点 和 ，则当
时，m的取值范围是 ．
其中所有正确推断的序号是___________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据函数的图象逐一判断即可得到结论．
【详解】解：∵二次函数 的图象的开口向下，
∴二次函数有最大值，故①正确；
观察函数图象可知二次函数的图象的对称轴在 和 之间，不是关于直线 对称，故②错误；
观察函数图象可知 和 的交点横坐标为： 和 ，方程 的
两个实数根为 ， ，故③正确；
当 或 时，直线在抛物线的上方，
∴m的取值范围为： 或 ，故④错误．故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数综合，熟练运用函数图象上点的坐标特，掌握二次函数的性
质是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】运用因式分解法—十字相乘法求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了求解一元二次方程，解决本题的关键是运用因式分解法—十字相乘法求解．
18. 已知m是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得： ，即 ，根据完全平方公式和平方差公式对代数式进
行化简，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由m是方程 的一个根可得 ，即 ，
将 代入，可得原式【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方
程根的含义，正确对代数式进行运算．
19. 已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为___________
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用配方法得出二次函数顶点式，进而利用二次函数“左加右减”得出平移后解析式．
【小问1详解】
解：将 ， 两点代入抛物线解析式得：
，解得： ，
∴这个抛物线的解析式为：
【小问2详解】
解：∵ ，
∴将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 ，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的平移，得出二次函数解析式是解题
关键．
20. 如图， 中， ， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接
，若 ，求线段 的长．【答案】线段 的长为 ．
【解析】
【分析】根据含 直角三角形的性质可得 ，再由勾股定理可得 ，根据旋转的性
质可得， ， ，则 ，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：在 中， ， ， ，
则 ， ，
根据旋转的性质可得， ， ，
∴ ，
∴ ，
线段 的长为
【点睛】此题考查了旋转的性质，含 直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基
础性质．
21. 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线 ，使得 ．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接 ， ；
②分别作线段 ， 的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
③以点O为圆心， 长为半径作圆；
④以点A为圆心， 长为半径作弧，与 在l上方交于点Q；
⑤作直线 ，所以直线 就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ，
∵点A，B，P，Q都在 上， ，
∴ ___________，
∴ ，（___________）（填推理的依据）
∴ ．
【答案】（1）作图见解析；
（2） ，在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得 ，证明 ，利用圆周角定理可得 ，从而可得答案．
【小问1详解】
（1）如图，直线 就是所求作的直线，【小问2详解】
证明：连接 ，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ，
∴ （在同圆中，等弧所对的圆周角相等），
∴ ．
故答案为： ，在同圆中，等弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，平行线的作图，圆周角定理的应用以及平行线的判定，掌握
“圆周角定理”是理解作图的关键．
22. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可；
（2）根据根与系数的关系可得， ，即可求解．
【小问1详解】
证：由题意可得，
判别式 ，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：设 ， 为一元二次方程的两个实数根，
由该方程恰有一个实数根为非负数可得 ，即 ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础
知识．
23. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授
课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实
验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了太空
实验原理讲述的活动．
（1）小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是
___________；
（2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好
抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意，列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：共有4个实验，小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实
验” 的概率是 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：列表如下，
共有12种等可能结果，其中符合题意的有2种，
他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率为 ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
24. 如图， 中， ， 为斜边中线，以 为直径作 交 于点E，过点E作
，垂足为点F．
（1）求证： 为 的切线．
（2）若 ， ，求 的长．【答案】（1） 为 的切线，理由见解析．
（2）
【解析】
【分析】(1)连接 ，所以 ，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一般可得 ，所以可
以证得 ， ， ，即可得到 为 的切线．
(2)连接 ，所以 ，因为 ，所以可以求得 的长度，进而求得 ，
的长度，再利用三角函数即可求得 的长度．
【小问1详解】
解：连接 ．
， 为斜边中线
为 的切线．
【小问2详解】解：连接
【点睛】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点，
正确做出辅助线是解题的关键．
25. 如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主
索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物
线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔 水平距离为x（单位：m）的地点，主索距桥面的
竖直高度为y（单位：m），则y与x之间近似满足函数关系小石通过测量获得y与x的几组数据如下：
x（m） 0 4 8 24 32 40 48 64
y（m） 18 14.25 11 3 2 3 6 18
根据上述数据，解决以下问题
（1）主索最低点P与桥面的距离 为___________m
（2）求出主索抛物线的解析式 ；
（3）若与点P水平距离为 处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据可求得对称轴为 ，即 ，此时表格中对应的 的值为 ，即
可得 米
（2）根据（1）所求结果，即可得 ，再将点 代入抛物线解析式求得 的值，即
可求得抛物线的解析式
（3）与点P水平距离为 处的点的横坐标为 ，将横坐标代入抛物线解析式即可求得吊索的长度
【小问1详解】∵根据表格中的数据，抛物线的对称轴为 ，
∴ ，此时表格中对应的 的值为 ，
∴
【小问2详解】
∵由（1）可知： ， ，
∴ ，
∴将点 代入抛物线解析式 得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：
【小问3详解】
与点P水平距离为 处的点的横坐标为 ，
将横坐标 代入抛物线的解析式 得：
，
∴这两条吊索的总长度为：
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想
解答
26. 在平面直角坐标系 ，已知点 为抛物线 上任意两点，
其中（1）求该抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）；
（2）当M，N的坐标分别为 时，求m的值；
（3）若对于 ，都有 ，求m的取值范围，
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）求得抛物线的对称轴，代入即可求解；
（2）由题意可得，一元二次方程的 的两个根为 ，根据根与系数的关系，求解
即可；
（3）根据二次函数的性质，由 可得 ，对式子进行化简，求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线 的对称轴为 ，
将 代入得， ，
即该抛物线顶点P的坐标为 ；
【小问2详解】
解：由题意可得，一元二次方程的 的两个根为
即 的两个根为 ，
由根与系数的关系可得： ，
解得 ；
【小问3详解】
解：抛物线为
，开口向上，对称轴 ，
则由 可得，
即 ，化简可得：
即 ，
∵ ，
∴ ，即
∴
又∵ ，
∴ ，即 的最小值要大于 ，
解得 ．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础性
质．
27. 如图，在 中， ，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，作 的角平
分线 交 的延长线于点E，连接 ， ．
（1）依题意补全图形，并直接写出 的度数；
（2）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）图见解析， ；
（2） ，证明见解析．【解析】
【分析】（1）根据题意，作出图形，设 ，再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，求解
即可；
（2）延长 到点 ，使得 ，连接 ，通过全等三角形的判定与性质，求解即可．
【小问1详解】
解：图形如下所示：
设 ，则 ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
【小问2详解】
解： ，证明如下：
延长 到点 ，使得 ，连接 ，如下图：
∵ ，
∴ ，即又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，
解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
28. 对于平面直角坐标系 中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得
，且 ，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”
（1）已知点 ， ，
①在点 中，是点O关于点A的“旋垂点”的是___________；②若点 是点O关于线段 的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线 与x轴，y轴分别交于C，D两点， 的半径为 ，圆心为 ，若在 上
存在点P，线段 上存在点Q，使得点Q是点P关于 的一个“旋垂点”，且 ，直接写出t
的取值范围．
【答案】（1）① 、 ；② ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）①根据“旋垂点”的定义，逐个判断即可；②结合图形，可得分别求得点 关于点 和点
的“旋垂点”，即可求解；
（2）由题意可得 上有一点 ，使得 ，且 ，分别求得点 为点 和点 时，
对应 得取值，即可求解，画出函数图象，结合图形，求解即可．
【小问1详解】
解：①由题意可得， ，
的
根据“旋垂点” 定义，可知 ，
当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 是点O关于点A的“旋垂点”，
当 时， ， ，
、 、 在一条直线上，
∴ ，即 不是点O关于点A的“旋垂点”，
当 时， ， ，∴ ， ，
的
∴ ，即 是点O关于点A “旋垂点”，
故答案为： 、 ；
②连接 ，分别作线段 的垂直平分线，在垂直平分线上分别取 和 ，使得 ，
，且 ， 如下图：
由题意可得， 位于 和 之间，
由①可得 的坐标为 ，
则 ；
【小问2详解】
解：由题意可得 上有一点 ，使得 ，且 ，
直线 与x轴，y轴分别交于C，D两点，则 ，
即 ，当点 为点 时，如下图：
则 ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
当点 为点 时，如下图：同理可得： ，
则 ，即 ，
综上， ．
【点睛】此题考查了新定义问题，涉及了勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解“旋垂
点”的含义，并利用数形结合的思想求解问题．
