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2020－2021 学年北京市石景山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如果a＞b，那么下列式子一定正确的是（ ）
A. a2＞b2 B. ﹣3a＜﹣3b C. D. a﹣2＞b＋2
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质以及特殊值代入判断各个选项的正误．
【详解】解：A、若a=1，b=-2且a＞b，此时a2＜b2，故选项A不一定成立．
B、若a＞b，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，则-3a＜-3b，故B正确．
C、若a=-0.1，b=-0.2且a＞b，此时 ，故选项C不一定成立．
D、若a=2，b=1且a＞b，此时a-2＜b+2，故选项D不一定成立．
故选：B．
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及实数比较大小，熟练掌握不等式的性质以及特殊值代入来比较大
小是解题关键．
2. 下列运算正确的（ ）
A. （a2）3＝a6 B. （3ab）3＝6a3b3 C. 6a8÷2a2＝3a4 D. 5a3•a2＝5a6
【答案】A
【解析】
【分析】根据整式的乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、原式=a6，故A符合题意．
B、原式=27a3b3，故B不符合题意．
C、原式=3a6，故C不符合题意．
D、原式=5a5，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
3. 一粒某种植物花粉的质量约为0.000028毫克，将0.000028用科学记数法表示应为（ ）
A. 2.8×105 B. 2.8×10﹣4 C. 2.8×10﹣5 D. 28×10﹣6
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000028=2.8×10-5，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 如图，AB，CD被CF所截，AB∥CD，若∠1＝70°，则∠C的度数为（ ）
A. 70° B. 100° C. 110° D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据邻补角的定义可得∠BEF的度数，进而由两直线平行线，同位角相等求得∠C的度数．
【详解】解：∵∠1=70°，∠BEF+∠1=180°
∴∠BEF=180°-∠1=110°；
∵AB∥CD，
∴∠C=∠BEF=110°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是平行线的性质和邻补角互补．能够正确运用平行线的性质：两直线平行线，同
位角相等是解题的关键．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了了解某品牌汽车的抗撞击情况，适宜采用普查的调查方法
B. 从3000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量 是100名学生
C. 一组数据的众数有且只有一个
D. 在统计中，可以用中位数来描述一组数据的集中趋势
【答案】B
【解析】
【分析】根据调查的方式、样本知识、众数、中位数的知识进行判断即可．
【详解】解：A、为了了解某品牌汽车的抗撞击情况，适宜采用抽样调查的调查方法，说法错误，不符合
题意；
B、从3000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量是100名学生，说法正确，符合题意；C、一组数据的众数可以有一个，也可以有多个，说法错误，不符合题意；
D、众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查调查的方式以及数字特征的应用，涉及到众数、中位数、平均数等基础知识，考查数据
分析能力等核心数学素养，是基础题．
6. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A. 12x2y＝3x•4xy B. x2＋6x﹣7＝x（x＋6）﹣7
C. （x﹣1）2＝x2﹣2x＋1 D. x3﹣5x2＝x2（x﹣5）
【答案】D
【解析】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
根据定义即可进行判断．
【详解】解：A、12x2y=3x•4xy，等式左边不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、x2+6x-7=x（x+6）-7，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、（x-1）2=x2-2x+1，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、x3-5x2=x2（x-5），把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的
变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
7. 某品牌专营店店主对上一周新进的某款衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43 44 45
平均每天销售数量/件 10 23 30 35 28 21 8
该店主决定本周进货时，增加一些42码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 加权平均数
【答案】C
【解析】
【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
8. 小石将（2020x＋2021）2展开后得到多项式 ，小明将（2021x﹣2020）2展开后得到多项式，若两人计算过程无误，则a﹣a 的值为（ ）
1 2
A. ﹣1 B. ﹣4041 C. 4041 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据完全平方公式的展开式的特点，可以知道a，a 的值，再根据平方差公式求出原式的值．
1 2
【详解】解：∵（2020x+2021）2展开后得到ax2+bx+c；
1 1 1
∴a=20202，
1
∵（2021x-2020）2展开后得到ax2+bx+c，
2 2 2
∴a=20212，
2
∴a-a=20202-20212=（2020+2021）（2020-2021）=-4041，
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉公式的结构特点是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 一个角的余角是这个角的2倍，则这个角的度数____°．
【答案】30
【解析】
【分析】利用题中“一个角的余角是这个角的2倍”作为相等关系列方程求解即可．
【详解】解：设这个角是x，
则90°-x=2x，
解得x=30°．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和
为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
10. 如图，AB∥CD，AD⊥BE于点D，∠1＝25°，则∠A的度数为____°．
【答案】65
【解析】
【分析】由AB∥CD可得∠B=∠1=25°，再由AD⊥BE，可得∠ADB=90°，则在△ADB中可求得∠A的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=25°，∴∠B=∠1=25°，
∵AD⊥BE于点D，
∴∠ADB=90°，
∴在△ADB中，∠A=90°-∠B=65°．
故答案为：65．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
11. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件____，则有CE∥DF，理由是____．（要求：不
再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【答案】 ①. ∠3=∠F ②. 同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理可得．
【详解】解：若∠3=∠F，则CE∥DF，
理由是：同位角相等，两直线平行，
故答案为：∠3=∠F，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截
直线平行．
12. 分解因式： －x=__________．
【答案】x（x+1）（x－1）
【解析】
【
详解】解：原式
13. 若一组数据5，1，x，6，2的众数是6，则这组数据的中位数是____，平均数是____．
【答案】 ①. 5 ②. 4
【解析】
【分析】根据众数和中位数，平均数的概念求解．
【详解】解：∵这组数据的众数为6，
∴x=6，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，5，6，6，
中位数为：5．
平均数为： ×（1+2+5+6+6）=4，
故答案为：5，4．
【点睛】本题考查了众数和中位数，平均数的知识，主要考查了众数、中位数与平均数的意义与求解方法．
14. 计算： ＝___．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据积的乘方运算使得计算简便．
【详解】解：原式=
=-199
=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查积的乘方运算，掌握运算法则是解题基础．
15. 若关于x的整式x2＋（m﹣1）x＋9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值是____．
【答案】-5或7
【解析】
【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．
【详解】解：依题意，得
（m-1）x=±2×3x，
解得：m=-5或7．
为
故答案 ：-5或7．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式 的结构特点是解题的关键．
16. 如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4
个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这
样的规律，第5个图案中有____个三角形，第n个图案中有____个三角形（用含有n的代数式表示）．【答案】 ①. 16 ②. 3n+1
【解析】
【分析】由所给的图形可知：第1个图案中三角形的个数为4；第2个图案中三角形的个数为4+3=7；第3
个图案中三角形的个数为4+3+3=10；据此可得其规律．
【详解】解：第1个图案中三角形的个数为4；
第2个图案中三角形的个数为4+3=4+3×1=7；
第3个图案中三角形的个数为4+3+3=4+3×2=10；
第4个图案中三角形的个数为4+3+3+3=4+3×3=13；
第5个图案中三角形的个数为4+3+3+3+3=4+3×4=16；
.....．
第n个图案中三角形的个数为4+3×（n-1）=4+3n-3=3n+1．
故答案为：16；3n+1．
【点睛】本题主要考查了规律型：图形的变化类，解答的关键是找到三角形个数变化的规律．
三、解答题（本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－27题，每小题5分，第28题
7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：2﹣3﹣（﹣1）2021﹣（3﹣π）0＋ ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别
化简得出答案．
【详解】解：原式=
=
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算，
正确化简各数是解题关键．
18. 分解因式：mx2﹣10mx＋25m．【答案】m（x-5）2
【解析】
【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：原式=m（x2-10x+25）
=m（x-5）2．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
19. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】观察方程组各个含有未知数的项的系数，可加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解： ，
①×2，得2x+2y=-2③．
②-③，得-5y=10．
∴y=-2．
将y=-2代入①，得x=1．
∴该方程组的解为 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法或加减消元法解二元一次方程组是解题关
键．
20. 如图，AB∥CD，AB平分∠EAD．求证：∠C＝∠D．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由AB∥CD可得∠BAD=∠D，∠EAB=∠C，再结合AB平分∠EAD，不难求得∠C=∠D．【详解】解：证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠D，∠EAB=∠C，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAB=∠BAD，
∴∠C=∠D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解答的关键是对平行线的性质的熟练掌握与应用．
21. 计算：（x＋2）（2x﹣3）＋（10x3﹣12x）÷（﹣2x）．
【答案】-3x2+x
【解析】
【分析】由运算法则可得，（x+2）（2x-3）+（10x3-12x）÷（-2x）=2x2+x-6-5x2+6=-3x2+x．
【详解】解：（x+2）（2x-3）+（10x3-12x）÷（-2x）
=x•2x-3x+2•2x-2×3+10x3÷（-2x）-12x÷（-2x）
=2x2-3x+4x-6-5x2+6
=2x2+x-6-5x2+6
=-3x2+x．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式运算，多项式除单项式运算，并能正确运算
是解题的关键．
22. 为了满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康和谐发展，某校准备开展形式多样的特色课程．为
了了解学生对部分课程的喜爱程度，学校对该校部分学生进行了一次“你最喜爱的特色课程”的问卷调查
（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一项），并将调查结果绘制成了如下两幅统计图（不完
整）：
请根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 人；
（2）请将上面统计图1补充完整并在图上标出数据；
（3）统计图2中，m＝ ；“综合类”部分扇形的圆心角是 °；（4）若该校共有学生1200人，根据调查结果估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有 人．
【答案】（1）200；（2）40人，补图见解答；（3）30，36；（4）300
【解析】
【分析】（1）根据科技类的人数和所占的百分比求出调查的总人数；
（2）先求出艺术类的人数，再补全统计图即可；
（3）用体育类的人数除以总人数，求出m，再用360°乘以“综合类”所占的百分比即可得出圆心角度数；
（4）用该校的总人数乘以喜欢“科技类”特色课程的学生所占的百分比即可．
【详解】解：（1）此次被调查的学生共有：50÷25%=200（人）．
故答案为：200；
（2）艺术类的人数有：200-30-50-60-20=40（人），补全统计图如下：
（3）m%= ×100%=30%，即m=30；
“综合类”部分扇形的圆心角是：360°× =36°．
故答案为：30，36；
（4）1200× =300（人），
答：估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有300人．
故答案为：300．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
23. 解不等式组：
【答案】x≥2【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解： ，
由①得：x≥2，
由②得：x＞-9，
∴不等式组的解集为x≥2．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
24. 如图，点P为∠ABC内一点．
（1）画图：①过点P画BC的垂线，垂足为点M；
②过点P画BC的平行线，交BA于点N；
（2）若∠B＝120°，则∠PNB＝ °，理由是 ．
【答案】（1）见解答；（2）60；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据平行线的性质解决问题．
【详解】解：（1）①如图，PM为所作；
②如图，PN为所作；
（2）∵PN∥BC，
∴∠PNB+∠B=180°，
∴∠PNB=180°-120°=60°．
故答案为60；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．25. 已知x2＋5x＝﹣2，求代数式（2x＋3）2﹣x（x﹣3）的值．
【答案】3x2+15x+9，3
【解析】
【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x2+5x=-2代入化简后的式子
即可解答本题．
【详解】解：（2x+3）2-x（x-3）
=4x2+12x+9-x2+3x
=3x2+15x+9，
当x2+5x=-2时，原式=3（x2+5x）+9=3×（-2）+9=3．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
26. 列一元一次不等式解应用题：
某校七年级330名师生外出参加社会实践活动，租用50座与40座的两种客车．如果50座的客车租用了2
辆，那么至少需要租用多少辆40座的客车？
【答案】6辆
【解析】
【分析】设需租用40座的客车x辆，由租用的两种客车可乘坐的人数不少于330名，即可得出关于x的一
元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．
【详解】解：设需租用40座的客车x辆，
依题意，得：40x+50×2≥330，
解得：x≥ ，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为6．
答：至少需要租用6辆40座的客车．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．
27. 如图，∠1＝∠EAB，∠E＋∠2＝180°．
（1）判断EF与AC的位置关系，并证明；
（2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．【答案】（1）EF∥AC，证明见解析；（2）∠BCD=60°
【解析】
【分析】（1）由∠1=∠EAB可得AE∥DC，从而得到∠2=∠EAC，再结合∠E+∠2=180°，可得EF∥AC；
（2）由（1）可得EF∥AC，则有BC⊥AC，可得∠ACB=90°，再结合AC平分∠EAB，∠EAB=60°，可求
得∠2=30°，则可求∠BCD的度数．
【详解】解：（1）EF∥AC，
证明：∵∠1=∠EAB，
∴AE∥DC，
∴∠2=∠EAC，
∵∠E+∠2=180°，
∴∠E+∠EAC=180°，
∴EF∥AC；
（2）由（1）得EF∥AC，
∵BF⊥EF，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠EAB，∠EAB=60°，
∴∠EAC=30°，
∵由（1）可知AE∥DC，
∴∠2=∠EAC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠2=90°-30°=60°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的
掌握与应用．
28. 对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（ax＋by）（2x＋y），其中a，b是非零常数，等式右边
是通常的四则运算．
如：T（2，1）＝（a×2＋b×1）（2×2＋1）＝10a＋5b，T（m，﹣1）＝（am﹣b）（2m﹣1）．
（1）填空：T（1，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；（2）已知T（1，﹣1）＝3且T（0，1）＝﹣1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组 恰好有三个整数解，求t的取值范围．
（3）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对任意的有理数x，y都成立，请直接写出a，b满足的关系式．
【答案】（1）a-b；（2）①a=2，b=-1；② ；（3）b=2a
【解析】
【分析】（1）根据所给新定义法则计算即可；
（2）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好
有三个整数解，求出t的范围即可；
（3）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．
【详解】解：（1）由题意可得：
T（1，﹣1）=（a-b）（2-1）=a-b；
（2）①∵T（1，-1）=3且T（0，1）=-1，
∴a-b=3，b=-1，
解得：a=2；
②根据题意得：
，
化简得： ，
由①得： ，
由②得： ，
∵不等式组恰好有三个整数解，
为
则整数解 1，2，3，
∴ ，解得： ；
（3）由T（x，y）=T（y，x），得到 ，
整理得： ，
∵T（x，y）=T（y，x）对任意有理数x，y都成立，
∴2a-b=0，即b=2a．
【点睛】此题考查了新定义运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定
义是解本题的关键．
