2023届河南省十所名校高中毕业班尖子生上学期第一次考试文数_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_2023届河南省十所名校高中毕业班尖子生上学期第一次考试数学

“顶尖计划”2023 届高中毕业班第一次考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A{x∣x2n3,nN},B  x∣x2 18x400 ,则AB中的元素个数为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3i
2. 已知复数z  , 则|z|
2i3
3 3 5
A. 1 B. C. D. 3
5 5
3. 已知非零向量a,b满足|a||b|,且(2ab)b ,则 a,b 
  2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
4. 在区间(2,2)内任取一实数x，则log x3成立的概率为
1
2
1 1 1 1
A. B. C. D.
32 16 8 4
5. 我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔( d o ),周四丈八尺,高一丈一
尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为 (注:1丈=10
ă
尺,取3)
A. 1088 平方尺 B. 912 平方尺 C. 720 平方尺 D. 656 平方尺
 x y4

6. 已知不等式组 ax y 5，表示的平面区域不包含点(3,1)则实数a的取值范围是

xay2
A. (,1) B. ,2  C.  2, D. (1,)
1a 1
7. 设数列 a 满足a  n ,且a  ，则a
n n1 1a 1 2 2022
n
1 1
A. 2 B.  C. D. 3
3 2
8. 已知函数 f(x)2sinx3cosx在x处取得最大值,则cos
3 13 2 13 2 13 3 13
A. B. C.  D. 
13 13 13 13
9. 已知定义域为R的偶函数 f(x)满足 f(x) f(4x)0,且当x[2,2)时, f(x) x2 4,则
f(2021) 
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
学科网（北京）股份有限公司10. 已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(m,4),其中m0, 若
7  m
cos2 ,则tan 


25  2 
1 4 3
A. 2 B.  C.  D. 
2 3 4
11. 设抛物线C: y2 2px(p 0)的焦点为F，点A、B在抛物线上，若AF  x轴，且 BF 2 AF ，则
AFB
 5  2  3 
A. 或 B. 或 C. 或 D.
6 6 3 3 4 4 2
x2 y2
12. 已知双曲线C:  1(a 0,b0)的离心率为 2,直线l与C 交于P,Q两点,D为线段PQ的中
a2 b2
点,O为坐标原点.则l与OD的斜率的乘积为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
二、填空题: 本题共4小题,每小题5分，共 20 分.
13. 小明从雪糕店购买了10种不同的雪糕，这些雪糕的价格（单位：元）如茎叶图所示，则小明购
买的雪糕价格的中位数为_____.
01,2,3,3,4,6,8
1 0,2,5
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数: f(x)_____.
① f  x x  f  x  f  x ;②当x(0,)时, f(x)单调递减; ③ f(x)为偶函数.
1 2 1 2
15. 已知等差数列 a 的前n项和为S ,a a 1,S 11, 则nS 的最大值为_____.
n n 3 4 11 n
16. 已知圆锥AO和BO的底面重合 (O为底面圆圆心),点A与B不重合,且A,B和底面圆周都在同
一个半径为2的球面上,设圆锥AO的体积为V ,圆锥BO的体积为V ,若V V 的最大值为V ,则当
1 2 1 2
V
V V  时,V V _____ . (用数值作答)
1 2 4 1 2
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一) 必考题:共 60 分.
17. (12 分)
在ABC中，角A,B,C 所对的边为a,b,c，已知b2,c4,2sin A3sin2C.
(
I
)
求a
(
II
)
设A的平分线与BC交于点D，求AD的长.
18. (12 分)
学科网（北京）股份有限公司某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随
机抽取了100件, 它们的质量指标值m统计如下:
质量指标值m  0,20   20,40   40,60   60,80   80,100 
甲车间（件） 15 20 25 31 9
乙车间（件） 5 10 15 39 31
(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值m的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）
(II)根据所给数据,完成下面的22列联表(表中数据单位:件),并判断是否有99%的把握认为甲、乙
两个车间的生产水平有差异.
m60 m60
甲车间
乙车间
n(ad bc)2
附:K2  ,其中nabcd .
(ab)(cd)(ac)(bd)
P  K2 k  0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.(12 分)
如图, 在直三棱柱 ABC ABC 中,ACB 90,AA 2AC  BC 4,M 为棱
1 1 1 1
AA 上靠近 A 的三等分点,N 为棱 AC 的中点,点P在棱BC 上,且直线PN // 平面
1 1
BMC .
1
( I ) 求PC的长;
( II ) 求点A到平面MBP的距离.
20.(12 分)
1
已知函数 f(x) ax2 lnx.
2
( I )若a1，求 f(x)的极值.
( II )若方程 f(x)1在区间  1,2  上有解，求实数a的取值范围.
21.(12 分)
x2 y2
过椭圆C:  1上任意一点P作直线l: y kx p
4 3
( I ) 证明: p2 34k2;
( II ) 若 p0,O为坐标原点, 线段OP的中点为M ,过M 作l的平行线l,l与C 交于 A,B两点, 求ABP面积的
最大值.
学科网（北京）股份有限公司(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分)
x2m(cossin),( 为参数, m0),
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 以O为极点,x轴
y m(cossin)
 
正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 2sin 

50.
 4
(I) 写出l的直角坐标方程;
(II) 若l与C只有一个公共点，求m的值.
23. [选修 4-5:不等式选讲] (10 分)
已知a,b,c均为正实数, 且abc1.
1 2 4
(I) 求   的最小值;
a b c
2 2 2
(II) 证明:bcacab   .
bc ac ab
学科网（北京）股份有限公司文科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C A B B D A D D A B
二、填空题
2 3
13.5 14.log x （不唯一） 15.54 16.
2
3
三、解答题：
17.
解析 (I) 由2sin A3sin2C得 sin A3sinCcosC,
a2 b2 c2
再由正弦定理和余弦定理得a 3c
2ab
 
3c b2 c2
整理可得a2  18,
2b3c
所以a3 2 .
a2 b2 r2 2
(II) 由余弦定理可得 cosC   ,
2ab 4
因为AD是角A的平分线,AB 2AC,
所以BD 2CD, 所以CD 2.
在ACD中, AD2  AC2 CD2 2ACCDcosC  4,
所以AD2.
18.解析 (I)由所给数据,各组的频率分别为 0.1,0.15,0.2,0.35,0.2
所以该工厂生产这种零件的质量指标值m的平均数的估计值为
100.1300.15500.2700.35900.258
(Ⅱ)22列联表如下:
m60 m60
甲车间 60 40
乙车间 30 70
200(60704030)2
所以K2  18.182
10010090110
因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.
19.解析 (I)在CC 上取一点Q, 使得CPCQ, 连接PQ,NQ.
1
由已知得 CC CB, 所以PQ//BC .
1 1
学科网（北京）股份有限公司因为PQ 平面BMC , 所以PQ//平面BMC .
1 1
又因为PN //平面 BMC ,PN PQ P
1
所以平面PQN //平面BMC .
1
根据面面平行的性质可知MC //QN.
1
在矩形ACC A 中, 可得CQN∽AMC ,
1 1 1 1
CQ AM 2 2 2
所以  1  , 所以PQCQ CN  .
CN AC 3 3 3
1 1
(II) 连接MC , 作 AH MC 垂足为H.
由条件知 BC 平面ACC A , 所以平面 MBC 平面ACC A ,
1 1 1 1
故求距离转化为求线段AH 的长.
10
在RtACM 中, MC  AC2AM2  ,
3
8
2
所以 AH  ACAM  3  8 ,
MC 10 5
3
8
故点A到平面MBP的距离为 .
5
1 ax2 1
20.解析 f '(x)ax  ,x 0
x x
(I)当a1时，令 f '(x)0得x1
当0 x1时， f '(x)0，当x1时 f '(x)0
所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增
1
所以 f(x)的极小值为 f(1) ，无极大值
2
(II)①若a1，当x 1,2  时 f '(x)0恒成立，所以 f(x)在 1,2 上单调递增
f(1) 1,
要使方程 f(x)1在 1,2 上有解, 则 
f(2) 1,
 a
 1 1ln2 1ln2
即  2 得 a 2, 因为 1, 所以 1 a 2.
2 2
 2aln2 1
1
②若a ，当x 1,2  时 f '(x)0恒成立，所以 f(x)在 1,2 上单调递减
4
学科网（北京）股份有限公司a 1
此吋 f(x) f(1)  不符合条件.
2 8
1 1 1
③若 a1, 当 1 x 时, f(x)0, 当  x 2时 f(x)0,
4 a a
 1  1 
所以 f(x)在 1，

上单调递减，在

，2 上单调递增
 a  a 
a 1  1  1
此时 f(1)  , f   f(1) ,要使方程 f(x)1在[1,2]上有解, 则需 f(2)2aln2 1
 
2 2  a  2
1ln2 1ln2
得 a ,所以 a1.
2 2
1ln2 
综上可知，a的取值范围为 ,2
 
 2 
x2 y2
  1,
21. 解析解析(I)联立
 4 3

y kx p,
消去y整理得 34k2 x28kpx4p2120 ,
因为点P在C上, 所以64k2p24  4p212  34k2  0,
化简得 p2 34k2.
 x y 
(II) 设l: y kxm,点P  x ,y ,则M  0 , 0  .
0 0  2 2 
y x p
由已知得y kx  p, 所以 0 k 0  ,
0 0 2 2 2
 x y  p p
即点M  0 , 0  满足方程y kx ,所以m .
 2 2  2 2
x2 y2
由 
 4

3
1, 得  34k2  x2 8kmx4m2 120,

y kxm,
8km 4m2 12
设A  x ,y  ,B  x ,y ,则x x  ,x x  .
1 1 2 2 1 2 34k2 1 2 34k2
4 3 4k2 3m2
所以 x x∣  x x 2 4x x  .
1 2 1 2 1 2 34k2
 
1 2 3 4k2 3m2 m2  m2  m2
所以S S  |m| x x   2 3 1 
ABP ABO 2 1 2 34k2  34k2 34k2
学科网（北京）股份有限公司m2 p2 34k2  1
令 t,因为m2  , 所以t 0,

.
34k2 4 4  4
2
1 1 3
所以S 2 3 t2 t 2 3     
ABP 4 4 2
3
所以ABP面积的最大值为 .
2
22. 解析 (I) 由l的极坐标方程可得sincos50, 故其直角坐标方程为x y50.
2 2
 x   y 
(II) 由C的参数方程可得
 

 
 2,
2m m
即C的普通方程为x2 4y2 8m2 0.
x y50
联立方程  得5x2 40x1008m2 0, 因为l与C只有一个公共点,
x2 4y2 8m2 0,
所以402 45  1008m2 160m2 4000,
10
解得m .
2
1 2 4 1 2 4 1 2 4
23. 解析 (I) 由基本不等式可知   33   3386 ,当且仅当   , 即
a b c a b c a b c
1 1 2 4
a  ,b1,c  2时等号成立,所以   的最小值为 6 .
2 a b c
1 1 1
(II) 因为abc1, 所以bcacab   .
a b c
1 1 1 2 2 4
 2   .
a b ab ab ab a b
2
1 1 4 1 1 4
同理可得  , 
b c bc a c ac
1 1 1 4 4 4
所以2  

  ，当且仅当a bc时等号成立
a b c bc ac ab
1 1 1 2 2 2
所以     ,
a b c bc ac ab
2 2 2
即bcacab   .
bc ac ab
学科网（北京）股份有限公司