2023届河南省十所名校高中毕业班尖子生上学期第一次考试文数_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_2023届河南省十所名校高中毕业班尖子生上学期第一次考试数学

“顶尖计划”2023 届高中毕业班第一次考试 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合A{x∣x2n3,nN},B  x∣x2 18x400 ,则AB中的元素个数为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3i 2. 已知复数z  , 则|z| 2i3 3 3 5 A. 1 B. C. D. 3 5 5 3. 已知非零向量a,b满足|a||b|,且(2ab)b ,则 a,b    2 5 A. B. C. D. 6 3 3 6 4. 在区间(2,2)内任取一实数x，则log x3成立的概率为 1 2 1 1 1 1 A. B. C. D. 32 16 8 4 5. 我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔( d o ),周四丈八尺,高一丈一 尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为 (注:1丈=10 ă 尺,取3) A. 1088 平方尺 B. 912 平方尺 C. 720 平方尺 D. 656 平方尺  x y4  6. 已知不等式组 ax y 5，表示的平面区域不包含点(3,1)则实数a的取值范围是  xay2 A. (,1) B. ,2  C.  2, D. (1,) 1a 1 7. 设数列 a 满足a  n ,且a  ，则a n n1 1a 1 2 2022 n 1 1 A. 2 B.  C. D. 3 3 2 8. 已知函数 f(x)2sinx3cosx在x处取得最大值,则cos 3 13 2 13 2 13 3 13 A. B. C.  D.  13 13 13 13 9. 已知定义域为R的偶函数 f(x)满足 f(x) f(4x)0,且当x[2,2)时, f(x) x2 4,则 f(2021)  A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 学科网（北京）股份有限公司10. 已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(m,4),其中m0, 若 7  m cos2 ,则tan    25  2  1 4 3 A. 2 B.  C.  D.  2 3 4 11. 设抛物线C: y2 2px(p 0)的焦点为F，点A、B在抛物线上，若AF  x轴，且 BF 2 AF ，则 AFB  5  2  3  A. 或 B. 或 C. 或 D. 6 6 3 3 4 4 2 x2 y2 12. 已知双曲线C:  1(a 0,b0)的离心率为 2,直线l与C 交于P,Q两点,D为线段PQ的中 a2 b2 点,O为坐标原点.则l与OD的斜率的乘积为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分，共 20 分. 13. 小明从雪糕店购买了10种不同的雪糕，这些雪糕的价格（单位：元）如茎叶图所示，则小明购 买的雪糕价格的中位数为_____. 01,2,3,3,4,6,8 1 0,2,5 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数: f(x)_____. ① f  x x  f  x  f  x ;②当x(0,)时, f(x)单调递减; ③ f(x)为偶函数. 1 2 1 2 15. 已知等差数列 a 的前n项和为S ,a a 1,S 11, 则nS 的最大值为_____. n n 3 4 11 n 16. 已知圆锥AO和BO的底面重合 (O为底面圆圆心),点A与B不重合,且A,B和底面圆周都在同 一个半径为2的球面上,设圆锥AO的体积为V ,圆锥BO的体积为V ,若V V 的最大值为V ,则当 1 2 1 2 V V V  时,V V _____ . (用数值作答) 1 2 4 1 2 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. (一) 必考题:共 60 分. 17. (12 分) 在ABC中，角A,B,C 所对的边为a,b,c，已知b2,c4,2sin A3sin2C. ( I ) 求a ( II ) 设A的平分线与BC交于点D，求AD的长. 18. (12 分) 学科网（北京）股份有限公司某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随 机抽取了100件, 它们的质量指标值m统计如下: 质量指标值m  0,20   20,40   40,60   60,80   80,100  甲车间（件） 15 20 25 31 9 乙车间（件） 5 10 15 39 31 (I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值m的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） (II)根据所给数据,完成下面的22列联表(表中数据单位:件),并判断是否有99%的把握认为甲、乙 两个车间的生产水平有差异. m60 m60 甲车间 乙车间 n(ad bc)2 附:K2  ,其中nabcd . (ab)(cd)(ac)(bd) P  K2 k  0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19.(12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ABC 中,ACB 90,AA 2AC  BC 4,M 为棱 1 1 1 1 AA 上靠近 A 的三等分点,N 为棱 AC 的中点,点P在棱BC 上,且直线PN // 平面 1 1 BMC . 1 ( I ) 求PC的长; ( II ) 求点A到平面MBP的距离. 20.(12 分) 1 已知函数 f(x) ax2 lnx. 2 ( I )若a1，求 f(x)的极值. ( II )若方程 f(x)1在区间  1,2  上有解，求实数a的取值范围. 21.(12 分) x2 y2 过椭圆C:  1上任意一点P作直线l: y kx p 4 3 ( I ) 证明: p2 34k2; ( II ) 若 p0,O为坐标原点, 线段OP的中点为M ,过M 作l的平行线l,l与C 交于 A,B两点, 求ABP面积的 最大值. 学科网（北京）股份有限公司(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分) x2m(cossin),( 为参数, m0), 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 以O为极点,x轴 y m(cossin)   正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 2sin   50.  4 (I) 写出l的直角坐标方程; (II) 若l与C只有一个公共点，求m的值. 23. [选修 4-5:不等式选讲] (10 分) 已知a,b,c均为正实数, 且abc1. 1 2 4 (I) 求   的最小值; a b c 2 2 2 (II) 证明:bcacab   . bc ac ab 学科网（北京）股份有限公司文科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A B B D A D D A B 二、填空题 2 3 13.5 14.log x （不唯一） 15.54 16. 2 3 三、解答题： 17. 解析 (I) 由2sin A3sin2C得 sin A3sinCcosC, a2 b2 c2 再由正弦定理和余弦定理得a 3c 2ab   3c b2 c2 整理可得a2  18, 2b3c 所以a3 2 . a2 b2 r2 2 (II) 由余弦定理可得 cosC   , 2ab 4 因为AD是角A的平分线,AB 2AC, 所以BD 2CD, 所以CD 2. 在ACD中, AD2  AC2 CD2 2ACCDcosC  4, 所以AD2. 18.解析 (I)由所给数据,各组的频率分别为 0.1,0.15,0.2,0.35,0.2 所以该工厂生产这种零件的质量指标值m的平均数的估计值为 100.1300.15500.2700.35900.258 (Ⅱ)22列联表如下: m60 m60 甲车间 60 40 乙车间 30 70 200(60704030)2 所以K2  18.182 10010090110 因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异. 19.解析 (I)在CC 上取一点Q, 使得CPCQ, 连接PQ,NQ. 1 由已知得 CC CB, 所以PQ//BC . 1 1 学科网（北京）股份有限公司因为PQ 平面BMC , 所以PQ//平面BMC . 1 1 又因为PN //平面 BMC ,PN PQ P 1 所以平面PQN //平面BMC . 1 根据面面平行的性质可知MC //QN. 1 在矩形ACC A 中, 可得CQN∽AMC , 1 1 1 1 CQ AM 2 2 2 所以  1  , 所以PQCQ CN  . CN AC 3 3 3 1 1 (II) 连接MC , 作 AH MC 垂足为H. 由条件知 BC 平面ACC A , 所以平面 MBC 平面ACC A , 1 1 1 1 故求距离转化为求线段AH 的长. 10 在RtACM 中, MC  AC2AM2  , 3 8 2 所以 AH  ACAM  3  8 , MC 10 5 3 8 故点A到平面MBP的距离为 . 5 1 ax2 1 20.解析 f '(x)ax  ,x 0 x x (I)当a1时，令 f '(x)0得x1 当0 x1时， f '(x)0，当x1时 f '(x)0 所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 1 所以 f(x)的极小值为 f(1) ，无极大值 2 (II)①若a1，当x 1,2  时 f '(x)0恒成立，所以 f(x)在 1,2 上单调递增 f(1) 1, 要使方程 f(x)1在 1,2 上有解, 则  f(2) 1,  a  1 1ln2 1ln2 即  2 得 a 2, 因为 1, 所以 1 a 2. 2 2  2aln2 1 1 ②若a ，当x 1,2  时 f '(x)0恒成立，所以 f(x)在 1,2 上单调递减 4 学科网（北京）股份有限公司a 1 此吋 f(x) f(1)  不符合条件. 2 8 1 1 1 ③若 a1, 当 1 x 时, f(x)0, 当  x 2时 f(x)0, 4 a a  1  1  所以 f(x)在 1，  上单调递减，在  ，2 上单调递增  a  a  a 1  1  1 此时 f(1)  , f   f(1) ,要使方程 f(x)1在[1,2]上有解, 则需 f(2)2aln2 1   2 2  a  2 1ln2 1ln2 得 a ,所以 a1. 2 2 1ln2  综上可知，a的取值范围为 ,2    2  x2 y2   1, 21. 解析解析(I)联立  4 3  y kx p, 消去y整理得 34k2 x28kpx4p2120 , 因为点P在C上, 所以64k2p24  4p212  34k2  0, 化简得 p2 34k2.  x y  (II) 设l: y kxm,点P  x ,y ,则M  0 , 0  . 0 0  2 2  y x p 由已知得y kx  p, 所以 0 k 0  , 0 0 2 2 2  x y  p p 即点M  0 , 0  满足方程y kx ,所以m .  2 2  2 2 x2 y2 由   4  3 1, 得  34k2  x2 8kmx4m2 120,  y kxm, 8km 4m2 12 设A  x ,y  ,B  x ,y ,则x x  ,x x  . 1 1 2 2 1 2 34k2 1 2 34k2 4 3 4k2 3m2 所以 x x∣  x x 2 4x x  . 1 2 1 2 1 2 34k2   1 2 3 4k2 3m2 m2  m2  m2 所以S S  |m| x x   2 3 1  ABP ABO 2 1 2 34k2  34k2 34k2 学科网（北京）股份有限公司m2 p2 34k2  1 令 t,因为m2  , 所以t 0,  . 34k2 4 4  4 2 1 1 3 所以S 2 3 t2 t 2 3      ABP 4 4 2 3 所以ABP面积的最大值为 . 2 22. 解析 (I) 由l的极坐标方程可得sincos50, 故其直角坐标方程为x y50. 2 2  x   y  (II) 由C的参数方程可得       2, 2m m 即C的普通方程为x2 4y2 8m2 0. x y50 联立方程  得5x2 40x1008m2 0, 因为l与C只有一个公共点, x2 4y2 8m2 0, 所以402 45  1008m2 160m2 4000, 10 解得m . 2 1 2 4 1 2 4 1 2 4 23. 解析 (I) 由基本不等式可知   33   3386 ,当且仅当   , 即 a b c a b c a b c 1 1 2 4 a  ,b1,c  2时等号成立,所以   的最小值为 6 . 2 a b c 1 1 1 (II) 因为abc1, 所以bcacab   . a b c 1 1 1 2 2 4  2   . a b ab ab ab a b 2 1 1 4 1 1 4 同理可得  ,  b c bc a c ac 1 1 1 4 4 4 所以2      ，当且仅当a bc时等号成立 a b c bc ac ab 1 1 1 2 2 2 所以     , a b c bc ac ab 2 2 2 即bcacab   . bc ac ab 学科网（北京）股份有限公司