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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题35 综合与实践探究类问题
1. （2024黑龙江绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片 和 满足 ， ．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取 的中点 ，将两张纸片放置在同一平面内，使点 与点 重合．当旋转 纸片
交 边于点 、交 边于点 时，设 ， ，请你探究出 与 的函数关
系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接 ，发现 的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理
由．
拓展延伸
（3）如图3，当点 在 边上运动（不包括端点 、 ），且始终保持 ．请你直接写出
纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．
2. （2024福建省）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用它制作
一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，并
利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
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图1 图2 图3
（1）直接写出 的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选
择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的正方
体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸
的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情
况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，
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不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将
综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上
的卡纸仅供作草稿用）
3. （2024甘肃威武）【模型建立】
（1）如图1，已知 和 ， ， ， ， ．用等式写出线段
， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形 中，点E，F分别在对角线 和边 上， ， ．用等
式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形 中，点E在对角线 上，点F在边 的延长线上， ，
．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
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4. （2024广西）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度
达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残留 水．
浓度关系式： ．其中 、 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂
洗所加清水量（单位： ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多少清水？
（2）如果把 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
5.（ 2024贵州省）综合与探究：如图， ，点P在 的平分线上， 于点A．
（1）【操作判断】
如图①，过点P作 于点C，根据题意在图①中画出 ，图中 的度数为______度；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段 上，连接 ，过点P作 交射线 于点N，求证：
；
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（3）【拓展延伸】
点M在射线 上，连接 ，过点P作 交射线 于点N，射线 与射线 相交于
点F，若 ，求 的值．
6. （2024河北省）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线 ， 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉
嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段 的长；
（2）直接写出图3中所有与线段 相等的线段，并计算 的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的 边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），
画出裁剪线（线段 ）的位置，并直接写出 的长．
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7. （2024河南省）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”
进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的
有________（填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形 是邻等对补四边形， ， 是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 ， ， ，求 的长（用含m，n， 的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在 中， ， ， ，分别在边 ， 上取点M，N，使四边形
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是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 的长．
8.（ 2024黑龙江齐齐哈尔）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》
时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如
图2，在 中， ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，作 交
的延长线于点 ．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段 与 的数量关系是______；
（2）【问题解决】如图3，连接 并延长交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的面
积；
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接 交 于点 ，则 ______；
（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线 上找点 ，使 ，请直接写出线段 的长度．
9. （2024黑龙江绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
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（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 使
．若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提
示：依题意补全图形，并解答）
（3）将该抛物线向左平移 个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线
相交于点 ，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 、 、 、
为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
10. （2024吉林省）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构
特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的
部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫
眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确
定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ，凳面的宽度为
，记录如下：
.
以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 198 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
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【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对
应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
11. （2024江苏盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样
式．
背景
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1
1
件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生 产
背景
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平
均每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元）
信息整理
风 y 2 24
雅 x 1
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正 1 48
任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探 究 任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务 2
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
12. （2024江苏盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以
看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k
个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数， ， ），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径
总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
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13.（ 2024内蒙古赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，
在 中， ，点D是 上的一个动点，过点D作 于点E，延长 交 延
长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证： ；
（2）探究 与 的关系；
某小组探究发现，当 时， ；当 时， ．
请你继续探究：
①当 时，直接写出 的值；
②当 时，猜想 的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作 ，垂足为点P，连接 ，得到图2，当点D运动到使
时，若 ，直接写出 的值（用含m，n的式子表示）．
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