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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京一六一中学 2023—2024 学年度第一学期期中考试
初三数学试卷
考生须知：
1．本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟．
2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3．答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹钢笔或签字笔作答．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代
表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题 的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义．
2. 正方形绕着它的中心旋转，要想与原来的图形重合，至少要旋转（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．正方形是中心
对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．
【详解】解： ，
正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．
故选：D．
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式 可得顶点坐标为 即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为 ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
4. 一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定
【答案】B
【解析】
【分析】利用判别式 ，判断其结果的符号即可得出结论．
【详解】解： ，
有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式 时，方程有两个
不相等的实数根是解题的关键．
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5. 如图，点A，B，C在 上，连接 ．若 ，则 的度数是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解
题关键.
6. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A. a＞0，b＞0，c＞0 B. a＞0，b＜0，c＜0 C. a＜0，b＞0，c＜0 D. a＜0，b＜0，c＜0
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数开口向下即可判断a的正负，根据二次函数与y轴的交点即可判断c的符号，根据
二次函数对称轴在y轴右侧即可判断 的符号从而可以判断b的符号．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
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∴a＜0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴
∴b＞0；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像与
系数之间的关系．
7. 已知点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线 ，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近
来比较函数值的大小．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∵点 ， ， ，在抛物线 上，而点 到对称轴的距
离最远， 在对称轴上，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8. 如图，正方形 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 的顶点上，且
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它们的各边与正方形 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且 ，阴影部分的面积为
y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力．要能根据函数图
象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【详解】解：根据题意和图形可知： ， ，所以 与 之间函数关系的大致图象是．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 方程 的解为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
10. 将一元二次方程 配方后可变形为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
【详解】解： ，
，
，
，
故答案为： ．
11. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每
次降价的百分率都为 ，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________．
【答案】
【解析】
【分析】平均每次降价的百分率为 ，则第一次降价后的价格 元，第二次降价后的价格为
元．根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可．
【详解】解：根据题意，列方程为 ．
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故答案为： ．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降价后价格是解
决本题的关键．
12. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 ，半径 ，高度 为
__m．
【答案】4
【解析】
【分析】弦 ，半径 ，根据题意得 是直角三角形，可求出 的长，由此即
可求解．
【详解】解：根据题意得，在 中， ，半径 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
13. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的图象，则从里到外
的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号）
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【答案】① ③ ②
【解析】
【详解】①y=−3x²，②y=− x²，③y=−x²中,二次项系数a分别为−3、− 、−1，
∵|−3|>|−1|> ，∴抛物线②y=− x²的开口最宽,抛物线①y=−3x²的开口最窄．
故答案为①③②．
点睛：本题考查了二次函数的图象与性质，关键是找到开口大小与a的关系，对于二次函数，二次项系数|
a|越大，其开口越小，反之越大．
14. 将抛物线 向上平移4个单位，再向左平移2个单位得到的二次函数的表达式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式,按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得．
【详解】解： 向上平移4个单位，再向左平移2个单位得 ．
故得到抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
15. 在二次函数 中， 与 的部分对应值如表：
x … 0 …
y … 0 m n 0 …
则 的大小关系为m_________n．（填“>”“=”或“<”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据表格的 、 的值找出函数的对称轴，利用二次
函数的性质即可得出答案．
【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线 ，当 时， ，
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当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
， 分别为点 和 的纵坐标，
，
故答案为： ．
16. 已知抛物线 ，当 时， ，当 或 时， ，抛
物线 与 轴交于A，B两点，则AB的长为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与
轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．利用抛物线的对称性得到
抛物线 与 轴的交点横坐标为 和 ，再根据根与系数的关系得到 ，
， 则 ， ， 所 以 函 数 化 为 函 数 ， 即
，利用交点式得到 、 的坐标是 ， ，从而得到 的长度．
【详解】解： 当 时， ，当 或 时， ，
抛物线 与 轴的交点横坐标为 和 ，
， ，
， ，
，
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函数 化为函数 ，即 ，
函数 与 轴的交点 、 的坐标是 ， ，
．
故答案为5．
三、解答题（本题共68分，其中17-21每题5分，22题6分，23题5分，24题-26题每题6
分，27-28每题7分）
17. 解方程：
【答案】 或x=1
【解析】
【分析】利用十字相乘法将左边因式分解，化为两个一元一次方程求解可得．
【详解】：∵（3x+1）（x-1）=0，
∴3x+1=0或x-1=0，
解得： 或x=1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法，结合方程的特
点选择合适的方法是解题的关键．
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得 ，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
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【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，整体代入是解题的关键．
19. 关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出 ， ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
证明：关于x的一元二次方程 ，
∵
∴此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
∵
解得 ，
∵方程有一个根小于1
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别
式的关系是解题的关键．
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，
△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)请在图中直接画出O点，并直接填空：OA=______
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△AB C ，请画出△AB C ．
1 1 1 1 1 1
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【答案】(1)3；(2)见解析.
【解析】
【分析】(1)分别连接BF、AD、CE，它们的交点即为O点，从而得到OA的长；
(2)利用网格的特点和平移的性质分别画出A、B、C的对应点A、B 、C 即可．
1 1 1
【详解】解：(1)如图，点O为所作，OA=3，
为
故答案 3；
(2)如图，△AB C 为所作；
1 1 1
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，
由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
也考查了平移变换．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证： ；
（2）若 ，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
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【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论；
（2）连接OB，根据勾股定理可得 ，得出 ，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】证明：（1）在⊙O中，
∵ OD⊥BC于D，
∴ BD=CD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC；
（2）连接OB，如图所示：
∵BC=8，由（1）得BD=CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ △ABC的面积： ，
∴ △ABC的面积为32．
【点睛】题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理
性质是解题关键．
22. 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表所示：
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（1）这个二次函数的解析式是______ ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像；
（3）当 时， 的取值范围为______ ．
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为 ，可设解析式为
，然后再选择一个合适的值代入求解即可；
（2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
（3）根据 ，0时的函数值，再结合 可知当 时， ，即可写出 的取
值范围．
【小问1详解】
解：由题意可得二次函数的顶点坐标为 ，
设二次函数的顶点式为： ，
把点 代入 得 ，解得 ，
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抛物线解析式为 ，即 ；
【小问2详解】
解：如图所示：
【小问3详解】
解： ，
∵对称轴为 ， ，
∴ ，
当 时， ；当 时， ，开口向上，离对称轴越远函数值越大，
当 时， 的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
23. 如图，D是等边三角形 内一点，将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段 ，连接
．
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（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质知 ，由旋转的性质可知
，从而得 ，再证 ，即可得答案；
（ 2 ） 由 知 为 等 边 三 角 形 ， 即 ， 继 而 由
，即可得答案．
【小问1详解】
解： 是等边三角形，
，
线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
【小问2详解】
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如下图，连接 ，
，
为等边三角形，
，
又 ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的判定和性质，解题的关键由旋
转的性质证出 ．
24. 如图所示， ， 两点在二次函数 与一次函数 图象上．
（1）求 的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使 时，自变量 的取值范围．
（3）二次函数交 轴于 ，请求出 的面积．
【答案】（1） ；
（2） 或
（3）3
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【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的关系及函数在三角形面积计算中的应
用
（1）把 代入一次函数 ，解方程即可求得 的值；把 ， 分别代入二
次函数 ，得到关于 和 的方程组，解得 和 的值，则可得二次函数的解析式．
（2）根据函数图象，位于上方 的函数值大，可直接得出答案．
（3）先利用二次函数交 轴于 ，求得点 的坐标，再根据点 的坐标，可得 轴，按照直角三角
形面积公式计算即可得 的面积．
【小问1详解】
解： 在一次函数 图象上
；
， 两点在二次函数 图象上
，
解得： ；
二次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：由图象可得 时，自变量 的取值范围为 或 ；
【小问3详解】
解： 二次函数 交 轴于 ，
，
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又 ，
轴，如图，
的面积为： ．
的面积为3．
25. 如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地
面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线 ．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高
度 (单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离 (单位：米)之间的函数关系式为 ，
其图像如图②所示．已知坡地 所在直线经过点 ．
（1） 的值为__________；
（2）若 ，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
（3）若 时，到喷水头水平距离为16米的 处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉
装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
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【答案】（1）1 （2） 米
（3）不能
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用
（1）把点 代入 即可；
（2）先求出抛物线与直线 的解析式，再设抛物线上一点 ，过点 作 轴交
于点 ，则 ，求出 的长度，再用函数的性质求最值即可；
（3）根据平移的性质先求出平移后的解析式，再把 代入解析式求值即可．
【小问1详解】
解：把点 代入 得， ，
故答案为：1；
【小问2详解】
解：设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
抛物线的解析式为 ，
即 ，
坡地 经过点 ，
的解析式为 ，
如解图，
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设抛物线上一点 ，过点 作 轴交 于点 ，
则 ， 的长为 ，
，
函数图象开口向下， 有最大值，最大值为 ，
水柱与坡面之间的最大铅直高度为 米；
【小问3详解】
解：不能；
理由：当灌溉装置水平向后移动4米时，平移后的抛物线解析式为 ．
将 代入抛物线解析式，得 ，
将 代入直线 解析式，得 ，
，
水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
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（1）当 时，求 的值；
（2）点 在此抛物线上，若存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）将 代入抛物线得到 ，再将点 ， 代入抛物线即可求 的值；
（2）由 ， ， 得 ，解得 ，再根据二次函数的性质以及
对称轴进行分类讨论，即可求出 的取值范围．
【小问1详解】
解：当 时，函数表达式为 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ；
【小问2详解】
（2）由 ， ， 得
解得
根据题意，抛物线的对称轴为 ，
∵ ，
∴ ，
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当 时，
当 时， ；当 时， ，
∵ ，y随 的增大而减小，
∴ ，
∵ ，
∴ 且 ，
∴ ，
当 时，总有 ，不符合题意，
综上， 的取值范围是 ．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求
解，注意分类讨论．
27. 在 中， ， ，记 ，点 为射线 上的动点，连接 ，将
射线 绕点 顺时针旋转 角后得到射线 ，过点 作 的垂线，与射线 交于点 ，点 关于
点 的对称点为 ，连接 ．
图1 图2
（1）当 为等边三角形时，
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①依题意补全图1；
② 的长为_________；
（2）如图2，当 ，且 时，求证： ．
【答案】（1）①补全图1见解析；②2
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②解直角三角形求出 ，再利用全等三角形的性质证明
即可；
（2）作 于 ， 于 ．通过计算证明 即可解决问题．
【小问1详解】
解：①补全图形如图所示．
② 是等边三角形， ， ，
， ，
，
， ，
，
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， ． ，
，
．
故答案为：2；
【小问2详解】
作 于 ， 于 ．
，
．
由题意可知 ．
，
，
，
，
， ，
四边形 是矩形，
， ，
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，
，
又 ，
，
，
，
， ， ， 关于点 对称，
， ，
，
为 中点．
垂直平分 ．
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中
考压轴题．
28. 如图1，对于 的顶点 及其对边 上的一点 ，给出如下定义：以 为圆心， 为半径的
圆与直线 的公共点都在线段 上，则称点 为 关于点 的内联点．
在平面直角坐标系 中：
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（1）如图2，已知点 ，点 在直线 上．
①若点 ，点 ，则在点O，C，A中，点__________是 关于点 的内联点；
②若 关于点 的内联点存在，求点 纵坐标 的取值范围；
（2）已知点 ，点 ，将点 绕原点 旋转得到点 ，若 关于点 的内联点存
在，请求出当 点落在第四象限时 的最大值．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①分别以 为圆心， ， ， 为半径作圆，观察图象根据线段 与圆的交点的位
置，可得结论．
②如图2中，当点 时，此时以 为半径的圆与直线 的公共点都在线段 上，此时点 是
关于点 的内联点，当点 时，以 为半径的圆，与线段 有公共点，此时点 是
关于点 的内联点，利用图象法即可解决问题．
（2）如图3中，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ．利用相似三角形的性质及全等三
角形的性质及判定，结合图象法可得结论．
【小问1详解】
解：①如图1中，根据点 为 关于点 的内联点的定义，观察图象可知，点 ，点 是 关
于点 的内联点．
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故答案为： ， ．
②如图2中，当点 时，此时以 为半径的圆与线段 有唯一的公共点，此时点 是 关于
点 的内联点，
当点 时，以 为半径的圆，与线段 有公共点，此时点 是 关于点 的内联点，观察
图象可知，满足条件的 的值为 ．
【小问2详解】
解：如图3中，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ．
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，
， ，
，
点 在第四象限，当 时，设 交 于 ，
， ， ，
，
，
， ，
在 中，则有 ，
解得 ，
， ，
∵ 轴, ,
∴ ,
∵ ，
∴ ，
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∴ 即 ,
解得 ，
∵ 关于点 的内联点存在，
∴观察图象可知，满足条件的 的最大值为 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了点 为 关于点 的内联点的定义，一次函数的性质，解直角
三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找
特殊点，特殊位置解决问题．
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