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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市第三十一中学 2023—2024 学年度第二学期
七年级数学期中考试试题
（考试时间100分钟 试卷满分100分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 4的平方根是( )
A. 2 B. ±2 C. 16 D. ±16
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的意义求解即可，正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有
平方根.
【详解】∵(±2)2=4，
∴4的平方根是±2，即
故选：B
【点睛】本题考查了平方根的意义，如果个一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根
2. 在实数： ， ， ， 中，无理数有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在实数： ， ， ， 中，
是有理数， ， ， 是无理数，共 个，
故选：C
【点睛】本题考查了无理数，求一个数的立方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽
的数，②无限不循环小数，③含有 的数．
3. 如图，能判定 的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．
【详解】解：A． ，
∴ ，故 符合题意；
B．由 不能判定 ，故B不符合题意；
C．∵ ，
∴ ，故C不符合题意；
D． ，
∴ ，故D不符合题意．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，
两直线平行．
4. 下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根的定义即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
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C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了求算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的定义是解题的关键．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 和为 的两个角是邻补角
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的定义，垂线的性质，点到直线的距离，平行线的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．如果两个角有一条公共边，其余两边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角，故原
命题是假命题；
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是真命题；
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，故原命题是假命题；
D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题．
故选B．
【点睛】本题考查了命题的真假，邻补角的定义，垂线的性质，点到直线的距离，平行线的性质，熟练掌
握各知识点是解答本题的关键．
6. 如图，把矩形 ABCD沿EF折叠，若∠1=40°，则∠AEF=( )
A. 110° B. 115° C. 120° D. 130°
【答案】A
【解析】
【分析】如图设B的对应点为K．由AD∥BC，推出∠AEF+∠BFE=180°，求出∠BFE即可解决问题．
【详解】解：如图设B的对应点为K．
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∵∠BFE=∠EFK，∠1=40°，
∴∠BFK=180°-40°=140°，
∴∠BFE=70°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=110°，
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考
常考题型．
7. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量
之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量，
木条还剩余1尺；问木条长多少尺？设木条长为 尺，绳子长为 尺，依题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元
一次方程组．
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余 尺”可知：绳子 木条 ，再根据“将绳子对折再量木条，
木条剩余1尺”可知： 绳子 木条 ，据此列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：
，
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故选：B．
8. 在下列方程：① ，② ，③ ，④ 中，任选两个组成二元一次
方程组，若 是该方程组的解，则选择的两个方程是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】先把 分别代入四个方程里面看看是不是方程的解即可
【详解】把 代入①得，等式左边不等于右边，不成立；
把 代入②得，等式左边等于右边，成立；
把 代入③得，等式左边不等于右边，不成立；
把 代入④得，等式左边等于右边，成立；
∴只能由②和④组合
故选C
【点睛】此题考查的是方程的公共解，也就是方程组的解，掌握找公共解的技巧是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 8的立方根为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴8的立方根是2，
故答案为：2．
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10. 把两块形状、大小相同的三角板按照如图所示摆放，那么ED∥BC的依据是______．
【答案】内错角相等，两条直线平行
【解析】
【分析】直接利用平行线的判定定理得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠DEF=∠ACB，
则ED∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定定理是解题关键．
11. 如图，直线 AB ，CD 相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则
∠BOE=___________．
【答案】140°
【解析】
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，进而结合角平分线的定义得出
∠AOC=∠BOD，进而得出答案．
【详解】∵∠EOC：∠EOD=4：5，
∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x，
故4x+5x=180°，
解得：x=20°，
可得：∠COE=80°，∠EOD=100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=140°．
故答案为140°.
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键.
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12. 数轴上点A，B对应的数分别为 ，1，点C在线段 上运动．请你写出点C可能对应的一个无理
数是________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键，由点 C
对应的无理数在 之间，从而可得答案．
【详解】解：∵点C在线段 上运动，
∴点C对应的无理数在 之间，
∴可以是 ，
故答案为： ．（答案不唯一）．
13. 如图，在三角形ABC中，∠B=90°，AB=8．将三角形ABC沿着BC的方向平移至三角形DEF，若平移
的距离是4，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】32
【解析】
【分析】先根据平移的性质得AC=DF，AD=CF=4，于是可判断四边形ACFD为平行四边形，然后根据平
行四边形的面积公式计算即可．
【
详解】解：∵直角 ABC沿BC边平移4个单位得到直角 DEF，
△ △
∴AC=DF，AD=CF=4，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴S =CF•AB=4×8=32，
平行四边形ACFD
即阴影部分的面积为32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的面积公式，解题的关键是掌握平移的性质.
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14. 如果方程组 的解是二元一次方程 的一个解，那么m的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，把m看作已知数表示出方程组的解，代
入已知方程计算即可求出m的值．
【详解】解： ，
得： ，
解得： ，
得： ，
解得： ，
代入 得： ，
解得： ，
故答案为：2．
15. 有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为729时，输出的y是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先求729的立方根是9，再求9的算术平方根是3，由于3是有理数，再次求3的算术平方根是
，由于 是无理数，则可直接输出．
【详解】解：输入 时，
的立方根是9，
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的算术平方根是3，是有理数，
的算术平方根是 ，是无理数，
输出为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根的运算，熟练掌握立方根、算术平方根的求法，能看懂数值转换机
的运算流程是解题的关键．
16. 埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图， 处是塞尼城中的一口
深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底． 处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距
离 约为800km，于是地球周长可近似为 ，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方
向与太阳光线的夹角 为7.2°．根据 可以推导出 的大小，依据是_____________________；埃
拉托斯特尼估算得到的地球周长约为___________km．
【答案】 ①. 两直线平行，同位角相等 ②. 40000
【解析】
【分析】根据太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹
角为同位角，利用两直线平行，同位角相等求出 ，再代入 计算求解．
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【详解】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太
阳光线的夹角为同位角，
则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为 =7.2°，
理由是两直线平行，同位角相等．
因为亚历山大城、赛尼城间距离为800km，
所以地球周长为 km．
故答案为：两直线平行，同位角相等；40000．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的乘除运算，确定出 =7.2°是解答关键．
三、解答题（本题共60分，17题10分，18题10分，19题4分，20题5分，21-24题每题6
分，25题7分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算，解此题的关键在于熟练掌握算术平方根与立方根的计算法则．
（1）先计算算术平方根，再计算加减即可；
（2）先去绝对值、括号和开立方，再计算加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
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18. 解下列方程组：
（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元
法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）（2）用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
，
，得
，
∴ ，
把 代入②，得
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
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，
，得
，
∴ ，
把 代入①，得
，
∴ ，
∴ ．
19. 如图，已知 及 内部一点P．
（1）过点P画直线 交 于点C；
（2）过点P画线段 于点D；
（3）比较线段 与 的大小：________（用“>”连接），其依据是____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，垂线段最短
【解析】
【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可；
（2）根据垂线段的定义画出图形即可；
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（3）利用垂线段最短平得到即可．
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质，垂线段最短的等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【小问1详解】
为
如图，直线 即 所求．
【小问2详解】
如图，线段 即为所求．
【小问3详解】
根据垂线段最短可知 ．故答案为 ，垂线段最短．
20. 如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点
和直尺，完成下列各题：
（1）补全△A′B'C’；
（2）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）在BB′上画出一点Q，使得△BCQ与△ABC的面积相等.
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【答案】（1）见解析；（2）平行且相等；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的方向和距离，即可得到 ；
（2）根据平移的性质可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，即可得到满足要求的Q点．
【详解】解：（1）如图所示，连接 ，过点C作 的平行线m，在m上截取 ，则点 就
是点 的对应点；过点A作 的平行线n，在n上截取 ，点 就是A的对应点，顺次连接得
；
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（2）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）如图所示，根据同底等高的三角形面积相等，过A作BC平行线k与BB′的交点即为点Q．
【点晴】本题主要考查了利用平移变换作图和平移的性质，解题的关键是要掌握平移作图的方法和熟记平
移的性质．
21. 完成下面推理填空：
如图，E，F分别在AB和CD上， ， 与 互余， 于G．
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求证： ．
证明：∵ ，∴ （______），
∵ （已知），∴______ ______（______），
∴ （______），
∵ （平角的定义），∴ ．
∵ 与 互余（已知），∴ （互余的定义），
∴ （______），∴ （______）．
【答案】垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；
内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据垂直定义可知 ，通过证明内错角相等，得到两直线平行．
【详解】证明：∵
∴ （垂直的定义）
∵ （已知）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，同位角相等）
∵ （平角的定义）
∴ ．
∵ 与 互余（已知）
∴ （互余的定义），
∴ （同角的余角相等）
∴ （内错角相等，两直线平行）．
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故答案为：垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；
内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定以及角的计算，解题的关键在于根据角的计算找出相等的内错角，证明
出两直线平行．
22. 如图，已知 ， 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，且 ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据垂直的定义可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然后根据平
行线的性质可得 ，从而可得 ，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）连接 ，设 ，则 ，再根据
建立方程，解方程可得 ，然后根据平行线的性质即可得．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
，
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，
，
，
，
．
【
小问2详解】
解：如图，连接 ，
设 ，
，
，
，
由（1）已得： ，
，
，
解得 ，
即 ，
由（1）已证： ，
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．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
23. 已知正实数a的两个平方根分别是x和 ．
（1）若 ，求y的值；
（2）若 ，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握一个正数有两个平方根，
这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，是解答此题的关键．
（1）先根据平方根的定义，得 ，再化简即可；
（2）联立 ，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可．
【小问1详解】
实数a的两个平方根分别是x和 ，
，
即 ，
当 时， ；
【小问2详解】
由（1）得
，
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联立 得，
解得： ，
．
24. 某居民在新房装修后，购买了家居用品的清单如表，部分信息因污迹无法识别，请根据下表解决问题．
家居用品名称 单价（元） 数量（个） 金额（元）
挂钟 30 2 60
垃圾桶 15
塑料鞋架 40
艺术饰品 a 2 90
电热水壶 35 1 b
合计 8 280
（1）直接写出 ______， ______；
（2）该居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？（用方程解答这个问题）
（3）若干天后，该居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品（两种物品至少各买1个），共花费105
元，则有哪几种不同的购买方案？直接将方案列举出来．
【答案】（1）45，35
（2）该居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架
（3）共有2种购买方案，方案1：购买1个艺术饰品，4个垃圾桶；方案2：购买2个艺术饰品，1个垃圾
桶
【解析】
【分析】（1）利用单价=总价÷数量，总价=单价×数量，即可分别求出a，b的值；
（2）设该居民购买了x个垃圾桶，y个塑料鞋架，根据该居民购买各家居用品的数量及所花费的总金额，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设该居民购买了m个艺术饰品，n个垃圾桶，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一
次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【小问1详解】
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．
故答案为：45，35；
【小问2详解】
设该居民购买了x个垃圾桶，y个塑料鞋架，
依题意得： ，
解得： ．
答：该居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架；
【小问3详解】
设该居民购买了m个艺术饰品，n个垃圾桶，
依题意得： ，
∴ ．
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 ，
∴共有2种购买方案，如下，
方案1：购买1个艺术饰品，4个垃圾桶；
方案2：购买2个艺术饰品，1个垃圾桶．
【点睛】本题考查了二元一次方程组 的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
25. 如图，已知线段 ，点 是线段 外一点，连接 ， ．将线段
沿 平移得到线段 ．点 是线段 上一动点，连接 ， ．
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（1）依题意在图1中补全图形，并证明： ；
（2）过点C作直线 ．在直线 上取点 ，使 ．
①当 时，画出图形，并直接用等式表示 与 之间的数量关系；
②在点 运动的过程中，当点 到直线 的距离最大时， 的度数是________（用含 的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①点 在直线 的上方时， ；点 在直线
的下方时， ；② ．
【解析】
【分析】（1）作 ，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点 到直线 的最大距离就是线
段 的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：补全图形如图所示，作 ，
∵将线段 沿 平移得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即
【小问2详解】
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解：①分两种情况：
点 在直线 的上方时，如图所示：
由平移的性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ；
点 在直线 的下方时，如图所示：
，
∴ ，
整理，得 ；
②作 ，如图所示：
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∵ ，
∴点 到直线 的距离就是线段 的长，
∵ ，
∴点 到直线 的最大距离就是线段 的长，此时 ，作 于点 ，如图所示：
由平移的性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画
出图形是解题的关键．
四、附加题（本题共10分，第1题2分，第2题4分，第3题4分，计入总分，但总分不超
过100分）
26. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，七年级举办了“古诗词”大赛，现有
小刚、小强、小敏三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第 1，2，3 名（没有并列），
对应名次的得分都分别为 a，b，c（a＞b＞c 且 a，b，c 均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，
得分最高者为冠军．如下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小敏同 学第三轮的得分为______
分．
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最后得
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮
分
小刚 a a 24
小强 a b c 13
小敏 c b 11
【答案】1
【解析】
【分析】根据三位同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合a＞b＞c且a，b，c均
为正整数确定a，b，c的值，从而确定小敏同学第三轮的得分．
【详解】解：由题意可得：（a+b+c）×6=24+13+11=48，
∴a+b+c=8，
∵a，b，c均为正整数，
若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为4×6=24，
∴a 4，
又∵>a＞b＞c，
∴b+c最小取3，
∴a=5，b=2，c=1，
∴小刚同学最后得分24分，他4轮第一，2轮第二；
小强同学最后得分13分，他1轮第一，3轮第二，2轮第三；
又∵表格中第二轮比赛，小强第一，小敏第三，
∴第二轮比赛中小刚第二，
∴第三轮中小刚第一，小强第二，小敏第三，
∴小奕的第三轮比赛得1分，
故答案为：1．
【点睛】本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解
题关键．
27. 如图1是一个 的灯泡方阵，规定：每盏灯只有“开”，“关”两种状态；按其中任意一个开关一
次，将导致自身和所有相邻灯的开关状态发生改变．例如，如图2，若初始状态为全部开灯，按 将
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导致灯 ， ， ， ， 均变为关的状态．
（1）若灯泡方阵的初始状态为图3，请补全如下操作过程．
（2）若初始状态为全部开灯，要求只把灯 变为关的状态，则需要按开关的最少次数为_________．
【答案】（1）图见解析； ；
（2）5
【解析】
【分析】本题考查的是图形的变化规律，根据题目所给出的灯泡变化规律求解是解题的关键．
（1）根据题目的规定和例子找出灯泡变化的规律，再据此画图即可；
（2）根据题意可知，如果要求只改变 的状态，只有在 以及周边按动开关才可以使按开关的次数
最少，利用图形即可分析求出．
【小问1详解】
当按（2，1）时，灯泡方阵的状态如下图：
∴对比第3个灯泡方阵的状态，发现第3个灯泡方阵的状态只改变了 ， 和 ，
∴①是按 ，
∵将第3个灯泡方阵的状态与第4个灯泡方阵的状态对比，发现第4个灯泡方阵的状态改变了 ，
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， 和 ，
∴②是按 ．
【小问2详解】
根据题意可知，只有在 以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少．
具体原因如下：假设开始按动前所有开关闭合，要只改变 的状态，
在按动 后， ， 也改变，
下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动 ，但会导致周边的 ， 也改变，
∴会有更多按动开关的次数，
∴接下来逐一恢复，则至少按开关3次，这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动
5次可以满足要求，
如下图所示：
28. 一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将
一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为 ．例如∶ 时， ．
（1）对于“相异数”n，若 ，请你写出一个n的值；
（2）若a，b都是“相异数”，其中 ， ，（ ， ，x，y都是正
整数），规定： ，当 时，求k的最小值．
【答案】（1）答案不唯一，只要是1、2、3组合的三位数都对
（2）k的最小值为
【解析】
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【分析】本题考查了二元一次方程的运用，解题的关键是读懂题意，学会求二元一次方程的正整数解．
（1）由定义可得；
（2）根据题意先求出 ， ， ，代入可得二元一次方程
，求出x，y的解代入可得k的值．
【小问1详解】
任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且不为零，那么称这个数为“相异数”，如
果 ，
∴ （也可为213或321等）；
【小问2详解】
， ， ，
，
，
， ，
或 或 或 或 或 ，
a是“相异数”，
， ．
b是“相异数”， ， ．
或 或 ，
或 或
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， ， ，
k的最小值为 ．
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