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北京四中 2022-2023 学年度第一学期初三年级 12 月练习（数学学科）
数学练习
考生须知
1.本练习卷共8页，共28道小题，满分100分.练习时间120分钟.
2.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.
3.选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.
一.选择题（共16分，每小题2分）
1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称和中心对称的定义及性质直接判断即可．
【详解】解：A选项旋转 度后与原图不重合，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B选项不是轴对称图形，故B不符合题意；
C选项旋转 度后与原图重合，是中心对称图形，同时也是轴对称图形，故C选项符合题意；
D选项旋转 度后与原图不重合，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称和中心对称的判断，解题关键是熟知轴对称和中心对称定义及性质．
2. 二次函数 的最大值是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式是顶点式，即可得到结论．
【详解】解：二次函数 的最大值是3，故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，
第二种是配方法，第三种是公式法．
3. 点 ， 是反比例函数 图象上的两点，那么 ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y，
1
y，从而可判断它们的大小．
2
【详解】解：∵A（1，y），B（3，y）是反比例函数 图象上的两点，
1 2
∴ ＝−6， ＝−2，
∴y＜y．
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象是双曲
线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点
也是关于原点对称．
4. 如图， ， ， 是⊙ 上的三个点，如果∠ °，那么∠ 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】在弧AB上取一点D，连接AD,BD，利用圆周角定理可知 ,再利用圆内接四边
形的性质即可求出∠ 的度数.
【详解】
如图，在弧AB上取一点D，连接AD,BD，
则
∴
故选C
【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题
的关键.
5. 根据图中圆规作图的痕迹，只用直尺可成功找到三角形内心的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据内心的定义判断即可．
【详解】解：A、由作图可知，可作三角形一角平分线与一边的垂直平分线，不能找到三角形内心，故此
选项不符合题意；
B、由作图可知，可作三角形两角平分线，找出两角平分线交点，这点就是三角形内心，故此选项符合题
意；
C、由作图可知，可作三角形两边垂直平分线，两边垂直平分线交点上三角形外心，不能找到三角形内心，故此选项不符合题意；
D、由作图可知，可作三角形一边垂直平分线和一边的垂线，两垂线交点不是内心，不能找到三角形内心，
故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的内心等知识，解题的关键是理解内心是三角形的角平分线的交
点．
6. 如图，点P在 的边AC上，如果添加一个条件后可以得到 ，那么以下添加的条件
中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A.当 时，又∵ ，∴ ，故此选项不符合题意；
B.当 时，又∵ ，∴ ，故此选项不符合题意；
C.当 ，即 时，又∵ ，∴ ，故此选项不符合题意；
D.无法得到 ，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
7. 一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系xOy中的图象如图所示，
当 时，x的取值范围是（ ）A. B. 或
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，根据A、B两点坐标即可得答案.
【详解】∵ ，
∴一次函数图象在反比例函数图象上方，
∵A（-1，3），B（3，-1），
∴ 时，x<-1或0<x<3，
故选：B.
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确理解函数图象是解题关键.
8. 如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点，
是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形
中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
【详解】∵ ，
∴当 时， ，
解得： ，
∴A点与B点坐标分别为：( ，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度= ，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
即：OE= BD，
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE= BD=2，
即OE的最小值为2，故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知 ，则 ______．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
10. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点 的抛物线的表达式：______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为2即可．
【详解】解：根据题意得： （答案不唯一），
为
故答案 ： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
11. 如图，在 中，D，E两点分别在 边上， ，如果 ，则 与
的面积之比为______．【答案】
【解析】
【分析】由 ，根据相似三角形的判定方法得到 ，然后根据相似三角形面积的比
等于相似比的平方求解．
【详解】】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三
角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图
象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．【详解】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝ 的图象上，可得： ，
解得：k＝4，
因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形ODPC的面积等于4，
故答案为4
【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．
13. 如图等边 内接于 ，若 的半径为1，则阴影部分的面积为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由等边 内接于 ，求得 ，再根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵等边 ，
∴ ，
∵等边 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，圆周角定理，扇形面积，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积的
计算公式是解题的．14. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”
其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的
直径是多少步．”该问题的答案是________步．
【答案】6
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，
得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为 =17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点睛】考点：三角形的内切圆与内心．
15. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ
的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为_______m．
【答案】2.4
【解析】
【分析】过N点作ND⊥PQ于D，先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再求出PQ即可．
【详解】解：如图，过N点作ND⊥PQ于D，∴ ，
又∵AB=2，BC=1.5，DN=PM=1.2， NM=0.8，
∴ ，
∴QD=1.6，
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.6+0.8=2.4（m）．
故答案为：2.4．
【点睛】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列
出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
16. 已知双曲线 与直线 交于点 ， .
（1）若 ，则 ______；
（2）若 时， ，则k______0，b______0（填“ ”、“ ”或“ ”）.
【答案】 ①. 0 ②. ③.
【解析】
【分析】（1）联立两个函数解析式，整理为： 再由根与系数的关系求解
从而得到： ， 关于原点对称，从而可得答案；
（2）由（1）的结论，结合 ，可得： ＞ ，由 可得
结合： ，可得 ＞ ，从而可得答案．
【详解】解：（1）由题意得： ，且两函数的交点为： ， ．
，
， 为 与 的交点，
由两函数的交点的性质可得： ， 关于原点对称，
， 互为相反数，
故答案为：
（2）由（1）得：
同理可得： ，
当 时， ，且 ＞ ，
，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考
查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本题共68分）
17. 解下列方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：
或
解得： ，
【小问2详解】
解：解得： ，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法
有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18. 如图，BO 是 ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD．
（1）求证： AO△B∽△COD．
（2）若 AB＝△2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长．
【答案】（1）答案见解析；（2）2．
【解析】
【详解】试题分析：由BD是∠ABC的角平分线得 ，再由BC=CD得
所以 ，又 ，从而 ∽ ；
（2）根据 ∽ 可求出结果.
试题解析：（1）证明： BO是 的角平分线
BC=CD
又
∽
（2） ∽又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD
OC=2
19. 如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的 ，某同学要站在 的中点C的位置上，于是他想：只
要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到 上，就能找到 的中点C，老师肯定了他的想法．
（1）尺规作图：请按照这位同学的想法，在图中作出点C；
（2）这位同学确定点C为 的中点的依据是______．
【答案】（1）见解析 （2）垂径定理
【解析】
【分析】（1）用过一点作已知直线的垂线的方法，画出AB的垂线，与 的交点即为C点；
（2）根据题意，满足垂径定理的条件，及“垂直于弦的直径”，由此可得该直线平分这条弦所对的弧．
【小问1详解】
如图，以A、B为圆心，相同的长度（大于 ）为半径画弧相交于一点连接这一点和圆心O，这条连线
即为AB的垂线，与 的交点即为点C
点C的位置即为图中所示
【小问2详解】
由垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”可知，直径在过圆心点O的直线上，且 ， 平分线段AB且平分
故答案为：垂径定理
【点睛】本题考查了尺规作图和垂径定理，掌握基本尺规作图的方法和垂径定理的“知二得三”是解决本
题的关键．
20. 如图，四边形 各顶点的坐标分别为 ， ， ， ，
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内，画出四边形 的位似图形 ，使得对应边长变为
原来的 ；
（2）请分别写出点 和 的坐标： ______， ______.
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】（1）根据位似变换的定义可知点A、B、C、D的横纵坐标都变为原来的 ，即为对应点的坐标，
作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据（1）中所作的图形即可写出．
【小问1详解】
解：如图所示，四边形 即为所求．
【小问2详解】由（1）可得 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的
对应点．
21. 已知关于x的一元二次方程 ①有两个实数根 ， ．
（1）求实数k的取值范围；
（2）从因式分解法可知，方程①也可转化为 ②．把方程②的左边展开化成一般形式后，
可以得到方程①两个根的和、积与系数分别有如下关系： ______， ______；（用含k的
式子表示）
（3）是否存在实数k，使得 成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到
，然后解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）将方程①也可转化为 ②．，再把方程②的左边展开，得
与方程①比较可得出答案；
（3）根据（2）得 ， ，再代入 中求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，∴ ，
化简整理，得 ，
解得： ；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程 ①有两个实数根 ， ．
∴ ②．，
∴ ，
比较①②得： ， ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
由（2）得 ， ，
∴ ，
整理，得
解得： ， ，
又由（1）知 ，
∴ ．
∴存在，当 时，使得 成立．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，探究一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与函数 的图象交于A，B两点，且点A
的坐标为 ．
（1）求a和k的值；
（2）已知点 ，过点P作平行于y轴的直线，交直线 于点C，交函数 的图
象于点D．
①当 时，求线段CD的长；
②若 ，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出a的值进而求出A的坐标，再把A的坐标代入反比
例函数解析式求出k的值即可；
（2）①将点P坐标分别代入直线解析式和反比例函数解析式，可求出点C，点D的坐标，即可求出
的长；②根据图象法即可求解．【小问1详解】
解：∵ 在直线 的图象上，
∴ ，
∴点A的坐标为 ，
∵ 在函数 的图象上，
∴ ；
【小问2详解】
解：①将 代入 ，得： ，
∴点C坐标为 ，
将 代入 ，得： ，
∴点D坐标为 ，
∴ ；
②如图，
∵直线 与反比例函数 的图象交于A，B两点，∴点A坐标为 ，点B坐标为 ，
∴由图象可知，当 或 时， ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数 的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解
决问题是本题的关键．
23. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA， 米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物
线且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上．已知在与池
中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．
（1）求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离 ，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱
抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 处达到最高，则喷水管 要升高多少？
【答案】（1）
（2） m
【解析】
【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为 ，点 ，设抛物线的解析式为
，待定系数法求出解析式即可；
（2）设改造后的抛物线的解析式为 ，将点 代入计算即可．
【小问1详解】解：由题意得抛物线的顶点坐标为 ，点
设抛物线的解析式为 ，将点A坐标代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
设喷水管 要升高hm，
则抛物线的解析式为 ，
将 代入，得 ，
∴喷水管 要升高 m．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
24. 如图，四边形 内接于 ， ，AC是对角线．过点D作 的切线交BC的延长
线于点E．
（1）求证： ；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若 ， ， ，求AF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接 ，则 是 的直径，因为 是 的切线，所以
，再根据四边形 内接于 ， ，所以
，则 ，从而得到 ，又由圆周角定理知
，即可得出结论；
（2）补画出图，先证明 ，再证明 ，得 ，即 ，则
，然后在 中，由勾股定理，得 ，即 ，求
解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
，
∵ ，
∴ 是 的直径，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，
∵ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ ，或 (不符合题意舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾
股定理，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
25. 小岩根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行探究.
下面是小岩的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量x的取值范围是______；
（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中：
.
1
x … 0 1 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 …
2
y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 m 2 1.5 1 …
则m的值为______；
（3）如下图，在平面直角坐标系 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图
象；
（4）获得性质.解决问题：
①通过观察、分析、证明，可知函数 的图象是轴对称图形，它的对称轴是______；②过点 作直线 轴，与函数 的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），
则 的值为______.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）见解析； （4）①直线 ；②2．
【解析】
【分析】（1）根据分母不等于0，求解即可；
（2）将 代入解析式，求解即可；
（3）根据表格描点，连线画图即可；
（4）①根据图象直接写出对称轴即可；②根据P点的坐标和直线 轴，求出M和N的横坐标，计算
即可．
【小问1详解】
解：分母不等于0，即 ，
解得 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：将 代入 ，
得 ，
解得 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
函数图象如下：【小问4详解】
①由图象可得 的对称轴为：直线 ；
故答案为：直线 ；
②∵点P的坐标为 ，
∴直线 的解析式为： ，
∵直线 轴，与函数 的图象交于点 ，
∴ ，解得 ， ，
∵点 在点 的左侧，
∴ ， ，
．
故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据题意获取信息是解题关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上.
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知 ，当 时，y的取值范围是 ，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，当 时，若函数值y的最大与最小值的差不超过4，直接写出n的
取值范围.
【答案】（1）直线
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）将点 代入抛物线解析式，求出 ，根据对称轴公式求出对称轴即可；
（2）分别讨论 的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y取最大值与最小值
时，对应的x的取值，进而求出a、m的值；
（3）分四种情况，①当 时，②当 时，③当 时，④当 时，分别求出最大值
与最小值，列不等式求出范围即可．
【小问1详解】
解：将点 代入抛物线 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
由（1）知，抛物线的对称轴为直线∵ ，
∴ ，
∵ ，抛物线的开口向上，
∴当 时，函数值在 上取得最小值2，
∴抛物线解析式为 ，
将点 代入，得 ，
∴ ，
∴函数解析式为 ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时取得最大值，
当 时，y随x的增大而增大，当 时取得最大值，
∵对称轴为直线
∴ 与 的函数值相等，
∵
∴当 时的函数值大于当 的函数值，
∴当 时，函数值在 上取得最大值6，
∴ ，
解得 （负值舍去）；
【小问3详解】
由（2）知， ， ，
①当 时， 在对称轴的左侧，
∵二次函数的开口向上，∴当 时有最大值，当 时有最小值，
∴ ，
解得 ，不合题意，舍去；
②当 时，在 中最小值为2，
当 时取得最大值，
∴ ，
解得 ；
③当 时，在 中最小值为2，
当 时取得最大值，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
④当 时， 在对称轴的右侧，
∵二次函数的开口向上，
∴当 时有最大值，当 时有最小值，
∴ ，
解得 ，不合题意，舍去；
综上，n的取值范围为 ．
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，解不等式，分
类讨论，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．
27. 在 中， ， ， ．将 绕点 B 逆时针旋转 （）得到 ，点A，点C旋转后的对应点分别为点 ，点 ．
（1）如图1，当点 恰好为线段 的中点时， ______°， ______；
（2）当线段 与线段 有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
②连接 ，请直接写出 的长的取值范围．
【答案】（1） ，2
（2）①图见解析； ，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由 ， 可知 是等腰三角形，根据 为 的中点，即
可求得 ，即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；根据已知条件证明 即可得到 ②根据
是等腰三角形和 ，可得到 ， 平分 ，进而得到 ，根
据 的取值范围即可得到 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∵点 恰好为线段 的中点，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ，2
【小问2详解】
解：①补全图形，如下图：
，证明如下：
如上图，过点 作 的平行线，交 于点 ，记 ，
∵将 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
，， ，
，
∴ ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
∴ ；
是
②由（1）得 等腰三角形，
∵ ，
∴ 是 的中线，
∴ ， 平分 ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
又∵线段 与线段 有交点时，
由（1）得：当 时， 最大，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的性质
与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
28. 在平面直角坐标系 中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q
两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的近邻点．
（1）当 的半径为3时，
①在点 ， ， 中， 的近邻点是______；
②点P在直线 上，若P为 的近邻点，求点P的横坐标 的取值范围；（2） 的圆心为 ，半径为3，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B．若线段AB上的所
有点都是 的近邻点，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）① 和 ；② 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据相邻点的定义，即可求解；②满足条件的P只需在以O为圆心，半径为2和4两圆
之间即可，所以P横坐标范围是 或 ；
（2）根据题意可得线段 上的点应在以点C为圆心，以2为半径和以4为半径的同心圆组成的圆环中，
然后分四种情况讨论：当外圆过点B时，当内圆经过点B时，当内圆与 相切时，切点为点P，当外圆
经过点A时，即可得出．
【小问1详解】
解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ 的半径为3，
∴点 与 的最小距离为 ，点 与 的最小距离为1，点 与 的最小距离为 ，
∴ 的关联点为 和 ；
故答案为： 和
②∵点P在直线 上，且P为 的近邻点，
∴当直线 上的点P到原点的距离在2到4之间时符合题意；
∴ 设点P的坐标为 ，当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ 点P的横坐标的取值范围为 或 ；
【小问2详解】
∵ 与轴、轴的交点分别为A、B两点，
∴ 令 得， ，解得 ，
令得 得， ，
∴ ，
∵ 的圆心为 ，
∴点A到点C的距离为： ，点B到点C的距离为： ，
∵线段 上的所有点都是 的关联点，
∴线段 上的点应在以点C为圆心，以2为半径和以4为半径的同心圆组成的圆环中，
如图，当外圆过点B时，此时 ，
∴ ，∴ ，
当内圆经过点B时，如图：
此时 ，
∴ ，
∴点C横坐标取值范围： ；
当内圆与 相切时，切点为点P，如图：
此时 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点P为切点，即 ，
∴ ，
∴ ，
当外圆经过点A时，如图：此时 ，
∴ ，
∴点C横坐标的取值范围：
综上： 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，同心圆
等，解题的关键是熟练掌握各个知识点，正确画出图形，进行分类讨论．
