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2023年高考押题预测卷01【新高考II卷】
数学·全解全析
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A B B C D C B C ABD BCD CD BCD
1．【答案】A
【解析】集合 ， .
要使 ，只需 ，解得： .
故选：A
2．【答案】B
【解析】由 .
故选：B
3．【答案】B
【解析】
如图，长方体 中， 平面 .
在平面 内，除直线 外，其他所有与 平行的直线，都与平面 平行，但是平面 与
平面 不平行；
若 ，根据面面平行的定义可知，平面 内的直线都与平面 平行.
所以，“ 内有无数条直线与 平行”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.4．【答案】C
【解析】5个人去4个社区，只能是 的形式，分组的情况总数为 ，
再把这些分组分配到四个不同地方，有 种情况，因此基本事件总数为 ；
甲、乙去相同的社区的情况有： 种，
由对立事件可得甲、乙二人去不同社区的概率为： .
故选：C.
5．【答案】D
【解析】依题意，在 中， ，如图，
显然 ， 是锐角， ，又函数 在 上递增，
因此当且仅当公共弦 最大时， 最大，此时弦 为圆 的直径，
在 中， ，所以 .
故选：D
6．【答案】C
【解析】设 ，（ ，且 为互质的正整数），
或 或 时 上的无理数 ，
对于A中，由题意， 的值域为 ，其中p是大于等于2的正整数，所以A正确；
对于B中，①若 ，设 ， （ 互质， 互质）， ，则
；
②若 有一个为0，则 ，所以B正确；
对于C中：若 为大于1的正数，则 ，而 的最大值为 ，
所以该方程不可能有实根，所以C错误；
对于D中： 和 内的无理数，则 ， ， ，若 为 内的有理
数，设 （ 为正整数， 为最简真分数），
则 ，所以D正确.
故选：C.
7．【答案】B
【解析】由 得 ，
因为 在区间 内没有最值，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，所以②错误；
当 时， ，
所以 ，故①正确；所以 ，可知 是函数 的一条对称轴，故③正确；
又因为 ，故④错误，
所以正确的是①③，
故答案为：B．
8．【答案】C
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，则 ，且 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则 、 、 、 、 、 ，
，其中 ， ，
，
对于①，当 时， ， ，
若 ，则 ， ， ，此时， 的周长为 ；
若 ，则 ，则 ，
同理可得 ，此时， 的周长为 ，
故当 时， 的周长不是定值，①错；
对于②，当 时， ，则点 到直线 的距离为 ，
所以， ，且点 到平面 的距离也为定值，
故 为定值，②对；
对于③，当 时， ， ， ，
因为 ，则 ，因为 ，解得 或 ，
所以，当 时，有且仅有两个点 ，使得 ，③错；
对于④，设点 ，其中 ， ，
则 ，可得 ，
所以，点 的轨迹是平面 内以点 为圆心，半径为 的半圆及其内部，
故点 的轨迹所围成的面积为 ，④对.
故选：C.
9．【答案】ABD
【解析】指标值 的样本频率是 ，指标值在区间 的产品约有
件，A正确；抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
，
，BD正确；
由直方图得，从第一组至第七组的频率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02，
所以指标值的第60百分位数m在 内， ，解得
，C错误.
故选：ABD
10．【答案】BCD
【解析】根据等差中项， ，解得 ，
，解得 ，设等差数列 的公差为 ，则
，于是等差数列的通项公式为： ，故A选项错误；
根据等差数列前n项和公式， ，B选项正确；
根据B选项可知， ，最大值在 取得，故C选项正确；
，故 的前10项和为：
，D选项正确.
故选：BCD
11．【答案】CD
【解析】设椭圆上任意一点为 ， 则 ，
，由余弦定理得
，当且仅当 等号成立，
此时 在椭圆的上下顶点处， 最小， 最大，
对于A,当 在椭圆的上下顶点时， ，故不存在点 ，使得
，故A错误，
对于B, 当 在椭圆的上下顶点时， 的最小值为 ，此时 为钝角，根据
椭圆的对称性可知：当 为直角时，此时有4个满足位置的点 ，当 为直角时，满足条件的 有2个，
同理 为直角时，也有2个满足条件的 ，故当 为直角三角形时，有8个满足满足条件的 ，故
B错误，
对于C， ,所以 ,故C正确，
对于D，设不妨设 是椭圆在第一象限得的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭
圆的内接矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为 ，故当时， 在椭圆上，此时周长最大为8，当 时，此时 ，此时 在短轴上，不能
构成矩形，故周长大于4，故周长的范围为 ，故D正确，
故选：CD
12．【答案】BCD
【解析】 为等腰三角形，所以 不可能是直角，选项 错误；
如图，直线 和 夹角为 ，平面 平面 = ，菱形 ,所以 ,当平面
平面 时， 为直线 与平面 的平面角，此时直线 与平面 所成角为最大角，为 ，
选项 正确；
为二面角 的平面角，设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ， 的外心
为 ，则 平分 ， ，所以 ，三棱锥
表面积为 ，选项 正确；
设正四面体的外接球球心为 ，半径为 ，勒洛四面体的内切球的半径为 ，则
故 ，即 ，解得 ，由勒洛四面体的对称性可知，内切球切
在每一个球面的中心，而顶点到切点的距离为2，故 ，选项D正确.
故答案为：BCD.13．【答案】
【解析】由 ，得 ，
则 ，解得 ，
则 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 .
故答案为： .
14．【答案】
【解析】设直线与曲线 相切于点 ，
因为 ，所以该直线的方程为 ，即 ，
设直线与曲线 相切于点 ，
因为 ，所以该直线的方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以该直线的方程为 ，
故答案为： .
15．【答案】4【解析】设 ， ，则 ，
设直线 的方程为 ，联立抛物线方程有
， ， ，
则 ，直线 的方程为 ，
令 ，则 ，则 ，
则 得 ，
∴ ，∴ ， ，又 ，
则 ，∴点 ， ，解得 ．
故答案为：4.
16．【答案】
【解析】设 ，且 ，
在 中，由余弦定理得 ，
又由正弦定理得 ，则 ，
在 中， ， ，则 ，且 ，在 中，由余弦定理得
，
所以当 时， 取最大值1，可得 的最大值为9，
所以 长度的最大值为 ．
故答案为： .
17．【解析】（1）由题意得， ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知， ，即 ．
数列 的前n项和为 ，
数列 的前n项和为 ，
故 ．
18．【解析】（1）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由 及正弦定理
得： ，
，
，．
，
，
是直角三角形．
（2）由（1）知， ，
，且 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最大值为 ．
19．【解析】（1）证明：如图，取BD的中点G，连接AG，CG．
因为 ，所以BG=CG(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
又因为AB=AC，G为BD的中点，
所以 ，
所以 ，
又因为AG为公共边，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ， 平面BCD，
所以 平面BCD，又因为 平面ABD，
所以平面 平面BCD；（2）过点C作直线 平面BCD，以C为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，
则 ， ， ， ，
则有 ， ， ．
设平面ACD的一个法向量为 ，
由 得
可取 ，
设直线AB与平面ACD所成的角为 ，
则 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
因为 ，所以 ，
此时三棱锥 体积 ，
故当直线AB与平面ACD所成的角最大时，三棱锥 的体积为 ．
20．【解析】（1）因为焦距长为 ，即 ，
且右顶点A的横坐标为1，则 ，
所以 ，
所以双曲线 的方程为 ；
（2）已知 ，由于 和 关于 轴对称，可知 ， ，则 ，
直线 ，令 ，可得 ，则 ，
直线 ，令 ，可得 ，则 ，
所以 ，则以线段 为直径的圆的半径为 ，
所以以线段 为直径的圆的方程为 ，
令 ，得 ，
又 ，所以 ，即 ；
（3）因为 ，
当且仅当 时，取得最小值，
此时M的坐标是 或 或 或 .
21．【解析】（1）当 时，赌徒已经输光了，因此 .
当 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率 .
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即 ，
所以 ，
所以 是一个等差数列，
设 ，则 ，
累加得 ，故 ，得 ，
（3） ，由 得 ,即 ,
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会 的概率输光．
22．【解析】（1）由题可知 ，
因为 ，所以， 在 处的切线方程为 ．
（2） 存在两个非负零点 ，设 ，
由（1）可知 在 处的切线方程为 ，
注意到 ，
所以， 在 处的切线方程为 ．
下证：当 时， ，且 ．
（i）要证 ，即证 ，只需证 ．①
设 ，故 在 上单调递增，
故 ，即 恒成立．
要证①，只需证 ．
当 时上式成立；当 时，即证 ，
此时，由于 ，故 ，
于是，当 时， ．
（ii）要证 ，只需证 ，
即证 ．
设 ，
则 ．设 ，
则 ．
当 时， ，
当 时， ，故 ．
于是 恒成立，故 在 上单调递减．
从而 ，即 恒成立，故 在 上单调递增，
从而 ，于是 ．
设 的零点为 的零点为 ，
则 ．
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ．
