专题强化练(十四) 磁场中的“圆”模型
(40分钟 50分)
一、选择题
1.(6分)如图所示,在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强
度大小为 B,∠a=60°,∠b=90°,边长ab=L,一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负
电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场,在磁场中运动时间最长的粒子中,速度的最大值是
(不计粒子重力及粒子间的相互作用)( )
qBL qBL
A. B.
2m 3m
√3qBL √3qBL
C. D.
2m 3m
2.(6分)(多选)(2023·宿州模拟)如图所示,挡板MN位于水平面x轴上,在第一、二象限y≤L区域
存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场,磁场方向垂直纸面向外。在 MN上O点放置了粒子发
qBL
射源,能向第二象限各个方向发射速度大小为v = 的带正电同种粒子,已知粒子质量为m、
0
2m
电荷量为q,不计粒子的重力和粒子间的相互作用,粒子打到挡板上时均被挡板吸收,以下说法
正确的是( )L
A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
2
πm
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
qB
3
C.所有粒子运动的区域面积为 πL2
8
(π+1)L2
D.所有粒子运动的区域面积为
4
3.(6分)(多选)(2023·朔州模拟)如图所示,在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场,磁感
应强度为B,磁场的宽度为d,磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)
的带电粒子,从原点O射入磁场,速度方向与x轴正方向成30°角,粒子恰好不从右边界射出,经
磁场偏转后从y轴的某点离开磁场,忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中运动情况,下列说法
正确的是 ( )
2
A.它的轨道半径为 d
3
2qBd
B.它进入磁场时的速度为
3m
2πm
C.它在磁场中运动的时间为
3qBD.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为√3d
4.(6分)(多选)如图所示,直角三角形ABC区域内有磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外的
匀强磁场,置于A点的粒子源能沿AC方向向磁场内同时发射比荷相同但速率不同的带正电粒
子。已知刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为 t,∠CAB=30°,AB=L,不计粒子间
的相互作用及重力,以下说法正确的是 ( )
π
A.粒子的比荷为
3Bt
B.从AB边不同位置射出磁场的粒子,运动时间不同
πL
C.从AB边中点射出磁场的粒子的速率为
6t
D.从BC边射出的粒子(不含B点),在磁场中的运动时间将大于t
【加固训练】
(2023·佛山模拟)如图所示,宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的离
子组成,所有离子的电荷量均为 q、质量均为m,三种速率的离子水平向右进入匀强磁场,磁场
方向垂直纸面向外。在入口处,紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为 2d 的薄吞噬板
MN。忽略离子重力及离子间相互作用,若使这些离子都能打到吞噬板MN上,则磁感应强度大
小的取值范围是 ( )5mv 10mv 6mv 8mv
A. <B< B. <B<
qd qd qd qd
5mv 6mv 8mv 10mv
C. <B< D. <B<
qd qd qd qd
5.(6分)(多选)(2023·长沙模拟)在电子技术中,科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带
电粒子的运动。如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场(图中
未画出),PQ、EF是两条相互垂直的直径,圆形区域左侧有一平行 EF、关于PQ对称放置的线
状粒子源,可以沿平行于PQ的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v 的带正电的粒子,
0
粒子源的长度为√3R,从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从 F点射出磁场,不计粒子重
力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A.匀强磁场的方向垂直纸面向里
B.粒子源发射的粒子均从F点射出磁场
C.匀强磁场的磁感应强度大小为2√3mv
0
3qRπR
D.粒子在磁场中运动的最短时间为
6v
0
二、计算题
6.(10 分)如图所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小
B=0.30 T。磁场内有一块足够大的平面感光板 ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=32
cm 处,有一个点状的 α 粒子放射源 S,它向各个方向发射 α 粒子,α 粒子的速度都是 3.0×106
q
m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比 =5.0×107 C/kg。若只考虑在纸平面内运动的α粒子,
m
则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是多少?(不计粒子的重力)7.(10 分)(2023·鞍山模拟)如图所示,在直角坐标系 xOy 内,OP 射线(O 为顶点)与 y 轴夹角为
45°,OP与y轴所围区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。在y轴上的N点有
一个粒子源,向y轴右侧与y轴正方向夹角90°范围内发射速度不同、带负电的同种粒子,粒子
的质量为m、电荷量为q,ON间距离为d。不计粒子的重力和粒子之间的作用力。(可能用到
2tanα
公式tan2α= )
1-tan2α
1
(1)一个粒子在磁场中运动 周期后穿过OP射线,并垂直通过x轴,求粒子穿过x轴的位置坐标。
3
(2)经磁场偏转后,穿过OP射线的粒子中,在磁场中运动时间最长的粒子的速度大小为多少?运
动时间为多少?解析版
一、选择题
1.(6分)如图所示,在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强
度大小为 B,∠a=60°,∠b=90°,边长ab=L,一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负
电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场,在磁场中运动时间最长的粒子中,速度的最大值是
(不计粒子重力及粒子间的相互作用)( )
qBL qBL
A. B.
2m 3m
√3qBL √3qBL
C. D.
2m 3m
【解析】选D。由左手定则和题意知,沿ba方向射入的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆
周时,运动时间最长,速度最大时的轨迹恰与 ac相切,轨迹如图所示,由几何关系可得最大半径
r=ab·tan30°=√3L,由洛伦兹力提供向心力得 qv B=mv2 ,从而求得最大速度 v =√3qBL,选项
m m m
3 r 3m
A、B、C错误,D正确。2.(6分)(多选)(2023·宿州模拟)如图所示,挡板MN位于水平面x轴上,在第一、二象限y≤L区域
存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场,磁场方向垂直纸面向外。在 MN上O点放置了粒子发
qBL
射源,能向第二象限各个方向发射速度大小为v = 的带正电同种粒子,已知粒子质量为m、
0
2m
电荷量为q,不计粒子的重力和粒子间的相互作用,粒子打到挡板上时均被挡板吸收,以下说法
正确的是( )
L
A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
2
πm
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
qB
3
C.所有粒子运动的区域面积为 πL2
8
(π+1)L2
D.所有粒子运动的区域面积为
4
【解题指南】解决本题需注意以下三点:
(1)由洛伦兹力提供向心力求解半径;
(2)粒子在磁场中运动的最长时间为一个周期;
(3)利用“旋转圆”的方法得到所有粒子运动的区域,由几何关系求解区域面积。【解析】选A、C。由洛伦兹力提供向心力有qBv =mv2,代入数据解得r=L,所以A正确;粒子
0 0
r 2
2πm
在磁场中运动的最长时间为t=T= ,所以B错误;所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分
qB
1 1 3
面积,由几何关系有S= πr2+ π(2r)2= πL2,所以C正确,D错误。
2 4 8
3.(6分)(多选)(2023·朔州模拟)如图所示,在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场,磁感
应强度为B,磁场的宽度为d,磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)
的带电粒子,从原点O射入磁场,速度方向与x轴正方向成30°角,粒子恰好不从右边界射出,经
磁场偏转后从y轴的某点离开磁场,忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中运动情况,下列说法
正确的是 ( )
2
A.它的轨道半径为 d
3
2qBd
B.它进入磁场时的速度为
3m
2πm
C.它在磁场中运动的时间为
3qBD.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为√3d
2
【解析】选A、B。粒子运动轨迹如图所示,r+rsin30°=d,解得粒子运动轨道半径为r= d,故A
3
v2 2 qBr 2qBd 2πr
正确;由qvB=m ,r= d,联立解得粒子进入磁场时的速度为 v= = ,故B正确;由T=
r 3 m 3m v
2πm 2 4πm
= ,根据轨迹图由几何关系知t= T,解得粒子在磁场中运动的时间为t= ,故C错误;粒
qB 3 3qB
2√3d
子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y=-2rcos30°=- ,故D错误。
3
4.(6分)(多选)如图所示,直角三角形ABC区域内有磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外的
匀强磁场,置于A点的粒子源能沿AC方向向磁场内同时发射比荷相同但速率不同的带正电粒
子。已知刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为 t,∠CAB=30°,AB=L,不计粒子间
的相互作用及重力,以下说法正确的是 ( )
π
A.粒子的比荷为
3Bt
B.从AB边不同位置射出磁场的粒子,运动时间不同
πL
C.从AB边中点射出磁场的粒子的速率为
6tD.从BC边射出的粒子(不含B点),在磁场中的运动时间将大于t
【解析】选A、C。刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。由几何关系
T 1 2πm q π
可得,轨迹所对圆心角为60°,所用时间为 ,所以t= × , = ,故A正确;画出不同粒子在
6 6 qB m 3Bt
磁场中的运动轨迹,由几何关系可得,从AB边不同位置射出磁场的粒子运动的圆心角相同,所
以从AB边不同位置射出磁场的粒子在磁场中运动时间相同,故B错误;由几何关系可得,从AB
L mv q π πL
边中点射出磁场的粒子的轨迹半径 r= ,r= , = ,解得v= ,故C正确;如果BC边右侧
2 qB m 3Bt 6t
存在同样的磁场,粒子从BC边射出后运动到AB边延长线上时轨迹所对圆心角为60°,所用时
间为t,所以从BC边射出的粒子运动时间应小于t,故D错误。
【加固训练】
(2023·佛山模拟)如图所示,宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的离
子组成,所有离子的电荷量均为 q、质量均为m,三种速率的离子水平向右进入匀强磁场,磁场
方向垂直纸面向外。在入口处,紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为 2d 的薄吞噬板
MN。忽略离子重力及离子间相互作用,若使这些离子都能打到吞噬板MN上,则磁感应强度大小的取值范围是 ( )
5mv 10mv 6mv 8mv
A. <B< B. <B<
qd qd qd qd
5mv 6mv 8mv 10mv
C. <B< D. <B<
qd qd qd qd
【解析】选C。由分析可知,粒子束上边缘进入速率为v =3v的离子到达吞噬板上边缘时,半径
1
最小,磁感应强度最大,根据qv B
=mv2
,由几何关系得R =d,可得B =6mv;粒子束下边缘进入
1 1 1 1 1
R 2 qd
1
速率为v =5v的离子到达吞噬板下边缘时,半径最大,磁感应强度最小,此时qv B
=mv2
,R =d,得
2 2 2 2 2
R
2
5mv 5mv 6mv
B = ,所以磁感应强度大小的取值范围为 <B< ,故C正确,A、B、D错误。
2
qd qd qd
5.(6分)(多选)(2023·长沙模拟)在电子技术中,科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带
电粒子的运动。如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场(图中
未画出),PQ、EF是两条相互垂直的直径,圆形区域左侧有一平行 EF、关于PQ对称放置的线
状粒子源,可以沿平行于PQ的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v 的带正电的粒子,
0
粒子源的长度为√3R,从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从 F点射出磁场,不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A.匀强磁场的方向垂直纸面向里
B.粒子源发射的粒子均从F点射出磁场
C.匀强磁场的磁感应强度大小为2√3mv
0
3qR
πR
D.粒子在磁场中运动的最短时间为
6v
0
【解题指南】解决本题需注意以下三点:
(1)根据左手定则分析出磁场的方向;
(2)根据几何关系结合牛顿第二定律和周期公式分析出磁感应强度的大小和射出磁场的位置;
(3)根据临界状态分析出最短的时间。
【解析】选B、D。带正电的粒子向下偏转,根据左手定则可知匀强磁场的方向垂直纸面向外,
R √3 R
故A错误;如图甲所示,设粒子的运动半径为r,根据几何关系可得CF= ,[R-(r- R)]2+( )2=r2,
2 2 2
解得r=R,根据洛伦兹力提供向心力,有qv B=mv2 ,解得B=mv ,故C错误;所有粒子在磁场中运
0 0 0
r qR
动半径都相等,运动的圆弧越短,在磁场中运动的时间越短,如图乙所示,由几何关系可得
1 2πr
sin∠HO F= ,解得∠HO F=30°,粒子在磁场中运动的周期T= ,则粒子在磁场中运动的最短
2 2 2 v
030° πR
时间t = T= ,故D正确;任意一点射入磁场,粒子的运动半径等于R,如图丙所示,由几
min 360° 6v
0
何关系可知四边形OIJF恒为一个菱形,OF∥IJ,所以所有的粒子都从F点射出,故B正确。
二、计算题
6.(10 分)如图所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小
B=0.30 T。磁场内有一块足够大的平面感光板 ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=32
cm 处,有一个点状的 α 粒子放射源 S,它向各个方向发射 α 粒子,α 粒子的速度都是 3.0×106
q
m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比 =5.0×107 C/kg。若只考虑在纸平面内运动的α粒子,
m
则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是多少?(不计粒子的重力)
【解析】α 粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用 R 表示轨迹半径,有
v2
qvB=m ,由此得R=20 cm,由于2R>l>R,朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,可知,某一圆
R
轨迹在图中N左侧与ab相切,则此切点P 就是α粒子能打中的左侧最远点;再考虑N的右侧,
1任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆,交ab于N右侧
的P 点,此即右侧能打到的最远点;粒子运动轨迹如图所示。
2
根据几何关系可得NP = =16 cm
1 √R2-(l-R)2
NP = =24 cm
2 √(2R)2-l2
所求长度为P P =NP +NP =16 cm+24 cm=40 cm。
1 2 1 2
答案:40 cm
7.(10 分)(2023·鞍山模拟)如图所示,在直角坐标系 xOy 内,OP 射线(O 为顶点)与 y 轴夹角为
45°,OP与y轴所围区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。在y轴上的N点有
一个粒子源,向y轴右侧与y轴正方向夹角90°范围内发射速度不同、带负电的同种粒子,粒子
的质量为m、电荷量为q,ON间距离为d。不计粒子的重力和粒子之间的作用力。(可能用到
2tanα
公式tan2α= )
1-tan2α
1
(1)一个粒子在磁场中运动 周期后穿过OP射线,并垂直通过x轴,求粒子穿过x轴的位置坐标。
3(3-√3)d
答案:(1)[ ,0]
2
1
【解析】(1)由于粒子在磁场中运动 周期,即偏转120°角后垂直通过x轴,则粒子的入射方向
3
与+y方向成60°射入,轨迹如图所示。
根据几何关系有x=R +R cos60°,
1 1
(3-√3)d (3-√3)d
d=R sin60°+xtan45°,得x= ,故粒子穿过x轴的位置坐标为[ ,0]。
1
2 2
(2)经磁场偏转后,穿过OP射线的粒子中,在磁场中运动时间最长的粒子的速度大小为多少?运
动时间为多少?
Bqd(√2-1) 5πm
答案: (2)
m 4Bq
【解析】(2)由qvB=mv2 ,得R =mv,
2
R Bq
2
沿y轴正方向射入并且与OP射线相切的粒子在磁场中运动的时间最长,根据几何关系有
45°
R =dtan ,得R =(√2-1)d
2 2
2
Bqd(√2-1) 2πR 5 5πm
所以v= ,根据T= 2和t= T,得t= 。
m v 8 4Bq
【解题指南】解决本题需注意以下两点:
(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹,由几何关系可得粒子运动的轨迹半径,结合题意求得粒子打在x轴上的坐标;
(2)根据几何关系求解粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角,根据周期公式求解时间;求出粒
子进入磁场时的速度。
