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专题强化练(十四) 磁场中的“圆”模型
(40分钟 50分)
一、选择题
1.(6分)如图所示,在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强
度大小为 B,∠a=60°,∠b=90°,边长ab=L,一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负
电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场,在磁场中运动时间最长的粒子中,速度的最大值是
(不计粒子重力及粒子间的相互作用)( )
qBL qBL
A. B.
2m 3m
√3qBL √3qBL
C. D.
2m 3m
2.(6分)(多选)(2023·宿州模拟)如图所示,挡板MN位于水平面x轴上,在第一、二象限y≤L区域
存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场,磁场方向垂直纸面向外。在 MN上O点放置了粒子发
qBL
射源,能向第二象限各个方向发射速度大小为v = 的带正电同种粒子,已知粒子质量为m、
0
2m
电荷量为q,不计粒子的重力和粒子间的相互作用,粒子打到挡板上时均被挡板吸收,以下说法
正确的是( )L
A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
2
πm
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
qB
3
C.所有粒子运动的区域面积为 πL2
8
(π+1)L2
D.所有粒子运动的区域面积为
4
3.(6分)(多选)(2023·朔州模拟)如图所示,在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场,磁感
应强度为B,磁场的宽度为d,磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)
的带电粒子,从原点O射入磁场,速度方向与x轴正方向成30°角,粒子恰好不从右边界射出,经
磁场偏转后从y轴的某点离开磁场,忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中运动情况,下列说法
正确的是 ( )
2
A.它的轨道半径为 d
3
2qBd
B.它进入磁场时的速度为
3m
2πm
C.它在磁场中运动的时间为
3qBD.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为√3d
4.(6分)(多选)如图所示,直角三角形ABC区域内有磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外的
匀强磁场,置于A点的粒子源能沿AC方向向磁场内同时发射比荷相同但速率不同的带正电粒
子。已知刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为 t,∠CAB=30°,AB=L,不计粒子间
的相互作用及重力,以下说法正确的是 ( )
π
A.粒子的比荷为
3Bt
B.从AB边不同位置射出磁场的粒子,运动时间不同
πL
C.从AB边中点射出磁场的粒子的速率为
6t
D.从BC边射出的粒子(不含B点),在磁场中的运动时间将大于t
【加固训练】
(2023·佛山模拟)如图所示,宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的离
子组成,所有离子的电荷量均为 q、质量均为m,三种速率的离子水平向右进入匀强磁场,磁场
方向垂直纸面向外。在入口处,紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为 2d 的薄吞噬板
MN。忽略离子重力及离子间相互作用,若使这些离子都能打到吞噬板MN上,则磁感应强度大
小的取值范围是 ( )5mv 10mv 6mv 8mv
A. 0)
的带电粒子,从原点O射入磁场,速度方向与x轴正方向成30°角,粒子恰好不从右边界射出,经
磁场偏转后从y轴的某点离开磁场,忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中运动情况,下列说法
正确的是 ( )
2
A.它的轨道半径为 d
3
2qBd
B.它进入磁场时的速度为
3m
2πm
C.它在磁场中运动的时间为
3qBD.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为√3d
2
【解析】选A、B。粒子运动轨迹如图所示,r+rsin30°=d,解得粒子运动轨道半径为r= d,故A
3
v2 2 qBr 2qBd 2πr
正确;由qvB=m ,r= d,联立解得粒子进入磁场时的速度为 v= = ,故B正确;由T=
r 3 m 3m v
2πm 2 4πm
= ,根据轨迹图由几何关系知t= T,解得粒子在磁场中运动的时间为t= ,故C错误;粒
qB 3 3qB
2√3d
子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y=-2rcos30°=- ,故D错误。
3
4.(6分)(多选)如图所示,直角三角形ABC区域内有磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外的
匀强磁场,置于A点的粒子源能沿AC方向向磁场内同时发射比荷相同但速率不同的带正电粒
子。已知刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为 t,∠CAB=30°,AB=L,不计粒子间
的相互作用及重力,以下说法正确的是 ( )
π
A.粒子的比荷为
3Bt
B.从AB边不同位置射出磁场的粒子,运动时间不同
πL
C.从AB边中点射出磁场的粒子的速率为
6tD.从BC边射出的粒子(不含B点),在磁场中的运动时间将大于t
【解析】选A、C。刚好从B点射出磁场的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。由几何关系
T 1 2πm q π
可得,轨迹所对圆心角为60°,所用时间为 ,所以t= × , = ,故A正确;画出不同粒子在
6 6 qB m 3Bt
磁场中的运动轨迹,由几何关系可得,从AB边不同位置射出磁场的粒子运动的圆心角相同,所
以从AB边不同位置射出磁场的粒子在磁场中运动时间相同,故B错误;由几何关系可得,从AB
L mv q π πL
边中点射出磁场的粒子的轨迹半径 r= ,r= , = ,解得v= ,故C正确;如果BC边右侧
2 qB m 3Bt 6t
存在同样的磁场,粒子从BC边射出后运动到AB边延长线上时轨迹所对圆心角为60°,所用时
间为t,所以从BC边射出的粒子运动时间应小于t,故D错误。
【加固训练】
(2023·佛山模拟)如图所示,宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的离
子组成,所有离子的电荷量均为 q、质量均为m,三种速率的离子水平向右进入匀强磁场,磁场
方向垂直纸面向外。在入口处,紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为 2d 的薄吞噬板
MN。忽略离子重力及离子间相互作用,若使这些离子都能打到吞噬板MN上,则磁感应强度大小的取值范围是 ( )
5mv 10mv 6mv 8mv
A. l>R,朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,可知,某一圆
R
轨迹在图中N左侧与ab相切,则此切点P 就是α粒子能打中的左侧最远点;再考虑N的右侧,
1任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆,交ab于N右侧
的P 点,此即右侧能打到的最远点;粒子运动轨迹如图所示。
2
根据几何关系可得NP = =16 cm
1 √R2-(l-R)2
NP = =24 cm
2 √(2R)2-l2
所求长度为P P =NP +NP =16 cm+24 cm=40 cm。
1 2 1 2
答案:40 cm
7.(10 分)(2023·鞍山模拟)如图所示,在直角坐标系 xOy 内,OP 射线(O 为顶点)与 y 轴夹角为
45°,OP与y轴所围区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。在y轴上的N点有
一个粒子源,向y轴右侧与y轴正方向夹角90°范围内发射速度不同、带负电的同种粒子,粒子
的质量为m、电荷量为q,ON间距离为d。不计粒子的重力和粒子之间的作用力。(可能用到
2tanα
公式tan2α= )
1-tan2α
1
(1)一个粒子在磁场中运动 周期后穿过OP射线,并垂直通过x轴,求粒子穿过x轴的位置坐标。
3(3-√3)d
答案:(1)[ ,0]
2
1
【解析】(1)由于粒子在磁场中运动 周期,即偏转120°角后垂直通过x轴,则粒子的入射方向
3
与+y方向成60°射入,轨迹如图所示。
根据几何关系有x=R +R cos60°,
1 1
(3-√3)d (3-√3)d
d=R sin60°+xtan45°,得x= ,故粒子穿过x轴的位置坐标为[ ,0]。
1
2 2
(2)经磁场偏转后,穿过OP射线的粒子中,在磁场中运动时间最长的粒子的速度大小为多少?运
动时间为多少?
Bqd(√2-1) 5πm
答案: (2)
m 4Bq
【解析】(2)由qvB=mv2 ,得R =mv,
2
R Bq
2
沿y轴正方向射入并且与OP射线相切的粒子在磁场中运动的时间最长,根据几何关系有
45°
R =dtan ,得R =(√2-1)d
2 2
2
Bqd(√2-1) 2πR 5 5πm
所以v= ,根据T= 2和t= T,得t= 。
m v 8 4Bq
【解题指南】解决本题需注意以下两点:
(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹,由几何关系可得粒子运动的轨迹半径,结合题意求得粒子打在x轴上的坐标;
(2)根据几何关系求解粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角,根据周期公式求解时间;求出粒
子进入磁场时的速度。
