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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
通州区 2023—2024 学年第一学期九年级期中质量检测
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个．
1. 下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A. 3cm、5cm、6cm、9cm B. 3cm、5cm、8cm、9cm
C. 3cm、9cm、10cm、30cm D. 3cm、6cm、7cm、9cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进
行判断．
【详解】解：A． ，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B． ，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C． ，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D． ，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的
乘积，则四条线段叫成比例线段．
2. 抛物线 的顶点坐标为（ ）
A. （－1，2） B. （1，2） C. （1，－2） D. （2，1）
【答案】A
【解析】
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【分析】根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵ 为二次函数的顶点式，
∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据顶点式直接写出顶点的坐标．
3. 如图所示，点��，��分别在 ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB=2：1，那么AE：AC
等于（ ） △
A. 2：1 B. 2：5 C. 2：3 D. 3：5
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ，求出AE=2EC，再代入 求出即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用定理得出比例式，通过比例的基本性
质得出结论．
4. 将抛物线 向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式．
【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．
5. 如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图， 与 相交于点O，
，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A. 0.4 B. 0.8 C. 1 D. 1.6
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似
三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选：A
6. 如图，已知 是 的边 上一点，根据下列条件，不能判定 的是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【详解】∵ 是公共角，
∴再加上 或 都可以证明 ，故A，B可证明
，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明 ．
∵ ，
若再添加 ，即 ，可证明 ，故D可证明 ．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
7. 若二次函数 的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与 x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程
有两个实数根，即 ，求出不等式的解集即可．
【详解】 函数 的图象与x轴有公共点，
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方程 有两个实数根，即 ，
解得： ．
故选：A．
8. 函数 的自变量x的取值范围为全体实数，其中 部分的图象如图所示，对于此函数
有下列结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当 时，y随x的增大而减小；
④当 时，关于x的方程 有4个实数根；
其中正确的结论个数是．（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题，根据函数
解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
【详解】解：如图：
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①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确；
②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误；
③如图所示：当 时，y随x的增大而减小，则正确；
④如图所示：当 时，关于x的方程 有4个实数根，则正确；
则正确的个数有3个，故选C．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由 变形为 ，整理后取倒数即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∴
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∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．
10. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．
【答案】答案不唯一（ ，任何 ， 的二次函数均可）
【解析】
【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．
【详解】解：∵顶点在坐标原点，
为
∴可设抛物线解析式 y=ax2，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2，
故答案为：答案不唯一（ ，任何 ， 的二次函数均可）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，
对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
11. 两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为_____．
【答案】4∶9
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质可直接进行求解．
【详解】解：由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：
两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为4∶9；
为
故答案 4∶9．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推
广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做 将矩形窗框 分为上下两部分，其中E为边
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的黄金分割点，即 ．已知 为2米，则线段 的长为______米．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得 ，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴ ．
∵AB=2米，
∴ 米．
故答案为：（ ）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
13. 如图，抛物线 的对称轴为 ，点 ，点 是抛物线与 轴的两个交点，若点 的
坐标为 ，则点 的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，即可求解．
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【详解】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，
则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，
则：点Q的横坐标为-1+4=3，
故答案为（3，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，掌握抛物线的对称性是解题的关键．
14. 点 ， 为抛物线 上两点，则 ______ ．（用“ ”或“ ”号连
接）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的对称性将点化在对称轴的同一侧，结合函数的性
质比较即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
抛物线 的对称轴为：直线 ，
∴ 的对称点为： ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 如图， 中， ， ， ， ，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似证明
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三角形相似是解题的关键．证明 ，得到 ，结合已知代入计算即可．
【
详解】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
解得 （舍去）．
故答案为： ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为
，点P在矩形 的内部，点E在 边上，且满足 ，当 是等腰三角形
△
时，点P的坐标为___________．
【答案】 或
【解析】
【分析】由题意知， ，点P在线段 上，分两种情况：当 时，点P是线段 的垂
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直平分线与 的交点，即点P是 的中点；当 时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐
标．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，点P在线段 上．
∵A点的坐标为 ，
∴ ，由勾股定理得： ；
如图1所示，当 时，点P是线段 的垂直平分线与 的交点，即点P是 的中点，
∴点P是 的中点，
∴点P的坐标为 ；
如图2所示，当 时，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，
注意分类讨论思想的运用．
三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；
第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 已知一条抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，求抛物线的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟知顶点式的特征是解本题的关键；根据顶点坐标设抛
物线解析式为 ，代入已知点坐标计算即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线表达式为 ，
∵抛物线经过点 ，
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∴将 代入 ，
得： ，
∴ ，
∴ ．
18. 如图， 的高 ， 相交于点O．
（1）写出一个与 相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；
（2）请任选一对进行证明．
【答案】（1） ， ， （写出一个即可）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由于 是直角三角形，因此可观察图中的几个直角三角形，根据“两角对应相等，两三角形相
似”即可找到与 相似的三角形；
（2）可选择 与 ，根据“两角对应相等，两三角形相似”证明即可．
【小问1详解】
与 相似的三角形有 ， ， ，
故答案为： ， ， （写出一个即可）．
【小问2详解】
证明：∵ 的高 ， 相交于点O，
∴ ．
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∵ ，
∴ ．
19. 已知抛物线 ．
（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系 中画出函数图象．
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 ，抛物线与x轴交点为 和
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数的图象，
（1）利用配方法对函数解析式进行变形，从而可判断出抛物线的顶点坐标；
（2）先列表、再描点、连线，即可得到答案．
准确将二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
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∴抛物线的顶点坐标为 ，
令 ，则 ，抛物线与y轴交点为 ，
令 ，则 ， ，
∴抛物线与x轴交点为 和 ．
【小问2详解】
列表如下：
x 0 1 2 3
y 0 0
画图如下：
20. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树 的高度，他调整自己的位置，设法使斜边
保持水平，并且边 与点 在同一直线上．已知纸板的两条直角边 ， ，测
得边 离地面的高度 ， ，求树 的高度．
【答案】树高5.5m．
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【解析】
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 BC的长，再加上AC
即可得解．
【详解】解：在△DEF和△DCB中，
，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
即
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，
即树高5.5m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出
△DEF和△DBC相似是解题的关键．
21. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，
（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；
（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知 AFE∽△CFD；
△
（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得 ，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长．
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【详解】（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC，
∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，
∴△AFE∽△CFD，
（Ⅱ）由（1）知 AFE∽△CFD，
△
∴ ，
而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3，
∴AE＝2，AC＝5，
∴ ，
而AC＝5，
∴AF＝ ，CF＝ ，
故CF的长为： ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长
度．
22. 已知二次函数 在 和 时的函数值相等．
（1）求二次函数 图像的对称轴；
（2）过 作x轴的平行线与二次函数 的图像交于不同的两点M、N．当 时，
求b的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可．
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(2)设 ， ，根据对称轴为直线 ， ，得到 ，求得值后，利用对
称轴和点的坐标计算即可；
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【小问1详解】
∵二次函数 在 和 时函数值相等，
∴对称轴为直线 ．
【小问2详解】
∵过 作x轴的平行线与二次函数 的图像交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，设 ， ，
∵对称轴为直线 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴点M的坐标为 ，点N的坐标为
∴ ， ，
∴ ， ．
23. 已知：如图， ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且AB：AC＝AE：AD，判断BE与BD的数
量关系并证明． △
【答案】BE=BD，理由见解析
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【解析】
【分析】根据题意证明 EAB∽△DAC即可得出∠AEB=∠ADC，从而得出∠BED=∠BDE，结果可得．
【详解】解：BE=BD，△理由如下：
AD平分∠BAC，
∠CAD=∠DAB，
AB ：AC＝AE ：AD，
EAB∽△DAC，
△∠AEB=∠ADC，
∠BED=∠BDE，
故BE=BD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明 EAB∽△DAC是解题的关键．
的△
24. 跳绳是大家喜爱 一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳
子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点
所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对
应的抛物线表达式为 ．
（1）求绳子所对应的抛物线表达式；
（2）身高 的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
【答案】（1）
（2）绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的最值．
（1）根据待定系数法即可求解；
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（2）先将函数关系式化为顶点式，求出函数的最值，再与小明的身高作比较，即可作答．
【小问1详解】
根据题意，抛物线 经过点 ， ．
∴ ，
解得 ，
∴绳子所对应的抛物线表达式为： ；
【小问2详解】
身高 的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
∵ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
25. 如图，在等腰三角形 中， ，D是 边上的一个动点，（不与B、C重
合）在 边上取一点E，使 ．
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（1）求证： ；
（2）设 ，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据三角形的外角性质得到 ，根
据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
，
，
又 ，
；
【小问2详解】
解： ，
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，
， ， ，
，
，
由题意得： ，
．
26. 某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤 元的价格销售，平均每天可售出
公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加 公斤，为了尽快减少库存，该水
果商决定降价销售．
（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为______元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】（1） 元
（2）答：销售单价定为每公斤 元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是 元；
【解析】
【分析】（1）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润 利润单
价 数量即可得到答案；
（2）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润 利润单价 数量写
出函数关系式，结合函数性质即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
每天的销售利润为： （元），
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故答案为： 元；
【小问2详解】
解：销售单价定为每公斤 元，由题意可得，
，
∵ ，
∴当 时 最大， （元），
答：销售单价定为每公斤 元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是 元．
27. 已知抛物线 ．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点 ， 在该抛物线上，若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）把抛物线解析式转化成顶点式即可求解；
（2）分类讨论：当 时，抛物线开口向上时，当 时，抛物线开口向下时，根据点P、Q在对称
轴异侧或同侧和二次函数的图象与性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 ，
∴ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ．
【小问2详解】
解：当 时，抛物线开口向上，
①若点P、Q在对称轴异侧，
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∵ ，
∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴此情况不成立，
②若点P、Q在对称轴同侧，
当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
当 时，抛物线开口向下，
①若点P、Q在对称轴异侧
∵ ，
∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②若点P、Q在对称轴同侧，
的
当 时，y随x 增大而减小，
∵ ，
∴ 与 矛盾，
∵此情况不成立，
综上所述， 或 ．
28. 定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
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（1）[初步理解]如图1，四边形 中，对角线 平分 ， ，求证：
和 为叠似三角形．
（2）[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若 ， ， ，求四边形 的周长．
（3）[拓展提高]如图3，在 中，D是 上一点，连接 ，点E在 上，且 ，F为
中点，且 ．若 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）23
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目所给“叠似三角形”的定义，即可求证；
（2）先证明 ，得出 ，则 ，且
根据 ， ，求出 ， ， ，即可求出四边形 的周长为，
（3）过C作 的平行线交 的延长线于G，通过证明 ，得出 ，
再证明 ，得出 ， ， ，根据 ， ，得出 ，
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，最后根据 即可求解．
【小问1详解】
解： 平分 ，
，
在 中 ，
，
，
，
，
，
所以 和 为叠似三角形；
【小问2详解】
解：∵ ，
，
，
．
，
，
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，
，且
， ，
， ，
四边形 的周长为： ．
【小问3详解】
解：如图，过C作 的平行线交 的延长线于G，
，
，
∵ ，
， ，
，
，
，
，
，
为 中点，
，
又 ， ，
，
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， ，即
， ，
， ，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三
角形对应边成比例以及题目所给“叠似三角形”的定义．
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