文档内容
门头沟区 2022-2023 学年度第一学期期末调研试卷
九年级数学
1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
考生须知
3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．请使用2铅
笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答．
4．考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如果 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 得到 ，再代入 即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B
【点睛】此题考查了比例的基本性质，由比例的基本性质得到 是解题的关键．
2. 已知 的半径为4，点 在 内，则 的长可能是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A【解析】
【分析】根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得OP的范围即可解答．
【详解】解：∵ 的半径为4，点 在 内，
∴0≤OP＜4，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：在 中， ， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A
的正弦是解题的关键．
4. 如果将抛物线 向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】解：抛物线 向上平移3个单位长度可得 ，
故选：C
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．
5. 如图， ， 相交于点O，且 ．如果 ， ，那么 的值是（
）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据 得出 ，然后直接代入数据求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，得
出 ．
6. 如图，线段 是 的直径，如果 ，那么 的度数是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角得出 ，从而求出 的度数，最后利用
同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
7. 二次函数 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）A.
B.
C.
D. 一元二次方程 的近似解为 ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质逐项分析即可作出判断．
【详解】解：A．由二次函数 的图象可知，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ ， ，
∴ ，
故选项正确，符合题意；
B．∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知抛物线与x轴有两个交点，即方程 有两个不相等的实数根，则
，故选项错误，不符合题意；
D．∵抛物线 的图象与x轴有一个交点在0和 之间，抛物线的对称轴直线 ，
∴图象与x轴另一个交点在2和3之间，
∴一元二次方程 的近似解为 ， 不成立，
故选项错误，不符合题意．
故选：A．【点睛】此题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是
（ ）
A. 圆的面积y与它的半径x；
B. 正方形的周长y与它的边长x；
C. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
D. 小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意写出两个变量之间的函数关系分别断即可．
【详解】解：A、圆的面积y与它的半径x的关系式为 ，变量y与变量x之间的函数关系不可以用
如图所示的图像表示，故此选项不符合题意；
B、正方形的周长y与它的边长x的关系式为 ，变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的
图像表示，故此选项不符合题意；
C、设铁丝的长度为a，则矩形的面积 ，变量y与变量x之间的函数关系可以
用如图所示的图像表示，故此选项符合题意；
D、设路程为s，则所用时间y与平均速度x的关系式为 ，变量y与变量x之间的函数关系不可以用
如图所示的图像表示，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是判断两个变量之间所满足的函数关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果 ，那么锐角 ___________度．
【答案】45
【解析】【分析】根据三角函数的值，求角的度数.
【详解】解：∵ ， 为锐角，
∴ ，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
10. 如果一个扇形的圆心角为 ，半径为2，那么该扇形的面积为___________（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵扇形的圆心角为 ，半径为2，
∴该扇形的面积为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式 ．
11. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ， ，那么 与 的大小
关系是 ___________ （填“ ”，“ ”或“ ”）时．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质即可判定．
【详解】解： 在反比例函数 中，
随 的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键．12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么 的面积与 的面
积的比是___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明 ，再根据相似三角形的面积
比等于相似比的平方求得答案．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
故答案为：
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解
题的关键．
13. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当 时，y随x的增大而增大．这个二次函数的
表达式可以是___________．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】首先由①得到 ；由②得到 ；只要举出满足以上两个条件的 的值即可得出所
填答案．
【详解】解：二次函数 ，
①开口向下，
；
②当 时， 随着 的增大而增大， ，即 ；
∴只要满足以上两个条件就行，
如 时，二次函数的解析式是 ．
故答案为： ．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的
题目．
14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，
立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿 不知道有多长，
量出它在太阳下的影子 长150寸，同时立一根15寸的小标杆 ，它的影子 长5寸，则竹竿
的长为多少？”．答：竹竿 的长为___________寸．
【答案】450
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长 寸，标杆长 寸，影长 寸，
∴ ，
解得 ．
答：竹竿长为450寸，
故答案为：450．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度
米，拱高 米，那么桥拱所在圆的半径 ___________米．
【答案】10
【解析】
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：连接 ， ， ，
可得： ， ，
∵ ，拱高 米，
∴ ，
设 ，则 ，
根据题意可得： ，
即 ，
解得： ，即圆弧形桥拱所在圆的半径是 米．
故答案为：10
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
16. 如图1，在等边 中，D是 中点，点P为 边上一动点，设 ， ，如果y与x的
函数关系的图象如图2所示，那么 ___________．
【答案】4
【解析】
【分析】从图2的函数图象可知y的最小值为 ，结合等边三角形的图形可知，当点P运动到
位置时， 长为最小值，利用等边三角形的特殊角可求出 的长．
【详解】解：由图2可得y的最小值为 ，
∵ 为等边三角形，分析图1可知，当P点运动到 时， 长为最小值，
∴此时 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵D为 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解P点运动到何处时 长最小是关键，同时也考
察了学生对函数图象的观察能力．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题
每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式、绝对值分别化简后进行合并即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 如图，在 中，点D在 上，连接 ．请添加一个条件 ，使得
，然后再加以证明．
【答案】 （答案不唯一），证明见解析
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【详解】解：添加 ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形 的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
19. 下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．已知：如图1， ．
求作：等边 ，使得等边 内接于 ．
作法：
①如图2，作半径 ；
②以M为圆心， 长为半径作弧，交 于点A，B，连接 ；
③以B为圆心， 长为半径作弧，交 于点C；
④连接 ， ．
∴ 就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ， ， ．
由作图可知 ，
∴ ， 是等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．（ ）（填推理的依据）
∵ ，
∴ 是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2） ，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【解析】
【分析】（1）按照作图方法补全图形即可；
是
（2）连接 ， ， ， ，证明 ， 等边三角形．得到 ．由圆
周角定理得到 ，由 即可得到结论．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
证明：连接 ， ， ， ．
由作图可知 ，
∴ ， 是等边三角形．
∴ ．
∴ ．∵ ，
∴ ．（ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）
∵ ，
∴ 是等边三角形．
故答案为： ，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【点睛】此题考查了基本作图、等边三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，准确作图和证明是解题的
关键．
20. 已知二次函数
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当 时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2） 与
（3）
【解析】
【分析】(1)把解析式化成顶点式，即可解答；
(2)令 ，解方程即可求得；
(3)根据此二次函数图象的开口方向及与x轴的交点坐标，即可求得【小问1详解】
解： ，
故此二次函数图象的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：令 ，则 ，
解得 ， ，
故此二次函数图象与x轴的交点坐标为 与 ；
【小问3详解】
解： ，
此二次函数图象的开口向上，
又 此二次函数图象与x轴的交点坐标为 与 ，
当 时，x的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题及性质，熟练掌握和运用二次函数的性质是解决本题的
关键．
21. 如图，在 中， ，点D在 上， ，过点B作 ，交 的延
长线于点E．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）由等角的余角相等得到 ，又由 即可得到
；
（2）由勾股定理求得 ，得到 ，由 得到 ，则
，即可求得答案．
【小问1详解】
证明：在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是
解题的关键．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图
象的一个交点为 ．
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）当 时，对于x的每一个值，一次函数 的值大于反比例函数
的值，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为： ；
（2）k的取值范围是 ．【解析】
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比
例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
【小问1详解】
解：对于 ，当 时， ，
∴一次函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点为 ，
∴ ，
∴反比例函数 解析式为： ；
的
【小问2详解】
解：解方程组 ，得 或 ，
由题意得： ，
解得： ，
则k的取值范围是 ．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解
题的关键．
23. 定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的
一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测
得定都阁顶端A的俯角α为 ，定都阁底端B的俯角β为 ，此时无人机到地面的垂直距离 为
米，求定都阁的高 ．（结果保留根号）【答案】 米
【解析】
【分析】过点A作 于点D，则 ， ，得到四边形 是矩
形，则 ， ，设 ，则 ，
得到 ，在 中， ，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作 于点D，则 ， ，由题意得 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ , ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
即 为 米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边
角关系求解．24. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物
线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），
现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 …
.
1
垂直高度y/m 0.7 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
6
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系 中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高 的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶
端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
【答案】（1）见解析 （2）3.2
（3）
（4）1或9
【解析】
【分析】（1）描点，连线即可；
（2）观察函数图象可得答案；
（3）用待定系数法可得解析式；
（4）结合解析式，令 可解得答案．【小问1详解】
解：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
【小问2详解】
解：由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为 ，
故答案为：3.2；
【小问3详解】
解：设二次函数表达式为 将 ， ， 代入得：
，
解得：
∴二次函数表达式为 ；
【小问4详解】
解：在 中，令 得：
，
解得 或 ，
∴石柱距喷水枪的水平距离为 或 ．
故答案为：1或9．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出函数解析式．
25. 如图，在等腰 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，过点D作 ，
垂足为E．（1）求证： 是 的切线；
（2）如果 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由 ，得到 ，先证明 ，得到
的
，则 ，由 是 半径，即可得到结论；
（2）由 ，得到 ，由勾股定理得到 ，由 ,得到
,连接 ，由 得到 ，由勾股定理即可求得 的长．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵等腰 中， ，∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
连接 ，∵ 为 的直径，
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ．
【点睛】此题考查了切线的判定定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，其中
，设抛物线的对称轴为 ．
（1）当 时，如果 ，直接写出 ， 的值；
（2）当 ， 时，总有 ，求t的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2）【解析】
【分析】（1）根据题意，当 时， ，由抛物线的对称轴为 ，得到 关于对称轴对称的
点的坐标为 ，即可写出答案；
（2）首先由 ，得到图象开口向下，满足 ， ，可得到 ，求出点 关于对称
轴对称的点为 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，当 时， ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ 关于对称轴对称的点的坐标为 ，
∵ ，且 ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：根据题意可知，当 时， ，
∵ ,
∴图象开口向下，满足 ， ，
∴当 时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为 ,
∴ ，
∴点 关于对称轴对称的点为 ，
∵ ，图象开口向下， , ，
∴ 解得 ，∴ ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 如图，在 中， ，点D在 上，连接 ，在直线 右侧作 ，且
，连接 交 于点F．
（1）如图1，当 时，
①依题意补全图1，猜想 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， 的数量关系，并证明．
（2）如图2，当 时，直接用含m的等式表示线段 ， 的数量关系．
【答案】（1）①见解析； ，证明见解析；② ；证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形，根据余角的性质，证明 即可；
②先证明 ，得出 ，说明 ，再证明 ，即可得出
结论；
（2）过点 E 作 于点 G，先证明 ，得出 ，从而得出
，证明 ，得出 ，即可得出答案．【小问1详解】
解：①根据题意补全图形，如图所示：
，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
② ，理由如下：
过点E作 于点G，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解： ，理由如下：
过点E作 于点G，如图所示：∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，余角的性质，解题的关键
是作出辅助线，构造全等三角形．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：当点 ，满足
时，称点N是点M的等积点．已知点 ．（1）在 ， ， 中，点M的等积点是 ；
（2）如果点M的等积点N在双曲线 上，求点N的坐标；
（3）已知点 ， ， 的半径为1，连接 ，点A在线段 上．如果在 上存在点
A的等积点，直接写出a的取值范围．
【答案】（1） 、
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等积点的定义进行判断即可；
（2）先求出点M的等积点一定在直线 ，再根据点M的等积点N在双曲线 上，求出直线与
双曲线的交点坐标即可；
（3）根据点M的等积点在直线 上，点P的等积点在直线 上，从而得出点A的等积点在直线
和直线 于第一象限交成的锐角的内部或边上，画出图形求出边界点的坐标，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵ ，∴ 是M的等积点；
∵ ，
∴ 不是M的等积点；
∵ ，
∴ 是M的等积点；
故答案为： 、 ；
【小问2详解】
解：设点M的等积点为 ，则 ，
即 ，
∴点M的等积点一定在直线 ，
又∵点M的等积点N在双曲线 上，
∴联立 ，
解得： ， ，
点N的坐标为 或 ．
【小问3详解】
解：根据解析（2）可知，点M的等积点在直线 上，
设点P的等积点为 ，则 ，即 ，∴点P的等积点在直线 上，
∵点A在线段 上，
∴点A的等积点在直线 和直线 于第一象限交成的锐角的内部或边上，
点Q在直线 上，直线 与 的交点为 ，与直线 的交点 ，与x轴的交
点 ，
∴ ，
， ，
如图，当 正好与直线 相切于点F时， 上一定存在点A的等积点，当 正好与直线
相切于点E时， 上一定存在点A的等积点，且圆心Q在 与 之间时， 上一定存在点A
的等积点，
连接 ， ，则 ，
∵直线 与 相切于点E，直线 与 相切于点 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
此时 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
此时 ，
∴a的取值范围为 ．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，求直线与双曲线的交点坐标，切线的性质，勾股定理，
坐标特点，解题的关键是理解题意，作出相应的图形，求出边界点的坐标．
