文档内容
八年级数学月练习
一、单选题
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可．
【详解】解： 与 不是同类项，不能合并，故A选项错误，不合题意；
与3不是同类项，不能合并，故B选项错误，不合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，故D选项错误，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
2. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a＝1.5，b＝2，c＝3 B. a＝7，b＝24，c＝25
C. a＝6，b＝8，c＝10 D. a＝3，b＝4，c＝5
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A．∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B．∵72+242＝252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C．∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D．∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本题解题关键．
3. 如图，E、F是 ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是
第1页/共30页
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD，AD∥CB，进而可得∠DAE=∠BCF，然后可证明
△ADC≌△CBA，△AED≌△CFB，△DEC≌△BFA．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
∴△AED≌△CFB（SAS），
∴DE=BF，
∵AE=CF，
∴AC-AE=AC-CF，
∴CE=AF，
在△DEC和△BFA中，
第2页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴△DEC≌△BFA（SSS），
图中全等三角形共有3对，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，关键是掌握平行四边形的对边相等．
4. 在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不能含能开得尽方的因数或者因式，
即可．
【详解】 ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，被开方数中能含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
，是最简二次根式．
∴最简二次根式为： ， ．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
5. 估计 的值在（ ）
A. 7与8之间 B. 8与9之间 C. 9与10之间 D. 10与11之间
【答案】A
【解析】
第3页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【分析】先运用二次根式混合运算法则计算，得 ，再根据 ，
得出 ，即可得出答案．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 ，内壁高 ，若这支铅笔长为
，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】本题考查了勾股定理 应用，先根据勾股定理算出 的长度，再进行求解即可，熟练掌握
知识点是解题的关键．
第4页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意可得图形： ，
在 中： ，
所以 ．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
7. 如图，露在水面上的鱼线 长为 .钓鱼者想看看鱼钧上的情况把鱼竿 提起到 的位置，此时
露在水面上的鱼线 长为 ，若 的长为 ，试问的鱼竿 有多长?设 长 ，则下所列方
程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查勾股定理的应用， 是解题关键．利用钓鱼竿长度不变列出方程即可．
【详解】解：设 长 ，则 ，
第5页/共30页
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
在 中， ，
，
，
即 ．
故选A．
8. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 都在格点上，则下列结论错误的是（
）
A. 的面积为10 B.
C. D. 点 到直线 的距离是2
【答案】A
【解析】
【分析】求出 ，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股
定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解： ， ， ，
，
，故B、C正确，不符合题意；
第6页/共30页
学科网（北京）股份有限公司，故A错误，符合题意；
设点 到直线 的距离是 ，
，
，
，
点 到直线 的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．
9. 如图，四边形 中，对角线 与 相交于点O，不能判断四边形 是平行四边形的是(
)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：A、 ，一边平行，另一边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可
能是等腰梯形，故此条件不能判断四边形 是平行四边形，符合题意；
B、 ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形 是
第7页/共30页
学科网（北京）股份有限公司平行四边形，不符合题意；
C、 ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形 是
平行四边形，不符合题意；
D、 ，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形 是平
行四边形，不符合题意；
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点B坐标为 且 ，在坐
标轴上求作一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求得 ，再分类讨论：以 为腰，以 为底，分别根据
等腰三角形的性质和勾股定理求点P坐标即可．
【详解】解：如图，以 为腰时， 、 、 、 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第8页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
以 为底时，如图， 是等腰三角形，过点 作 于点D，
在 中， ，
设 ，则 ，
第9页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方
程，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11. 在函数 中，自变量 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根 的非负性即可完成．
【详解】解：由题意得，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，关键是掌握算术平方根的非负性．
第10页/共30页
学科网（北京）股份有限公司12. 在平行四边形 中，如果 ，那么 的度数是________．
【答案】 ##57度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质直接解答即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
13. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD
的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据正方形的面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积
之和，进而即可求解．
的
【详解】解：∵正方形ABCD 面积为10，AH＝3，
∴AD2=10，
∴在 中，DH= ，
∴ ，
∵四个直角三角形全等，
∴正方形EFGH的面积=10- =4，
第11页/共30页
学科网（北京）股份有限公司故答案是：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键．
14. 如图，正方形 的边长为4，点 在 边上， ，若点 在正方形的某一边上，满足
，且 与 的交点为 ．则 _________．
【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，
即可得到CM的长．
【详解】解：分两种情况：
①如图1所示，当点F在AD上时，
由CF=BE，CD=BC，∠BCE=∠CDF=90°可得，Rt BCE≌Rt CDF（HL），
∴∠DCF=∠CBE， △ △
又∵∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠BMC=90°，即CF⊥BE，
∵BC=4，CE=3，∠BCE=90°，
∴BE=5，
∴CM= ；
第12页/共30页
学科网（北京）股份有限公司②如图2所示，当点F在AB上时，
同理可得，Rt BCF≌Rt CBE（HL），
∴BF=CE， △ △
又∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵∠BCE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CM= BE= ×5= ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是
结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15. 如图，在 中， ， ， ，射线 于点 ，点 、 分别在线
段 和射线 上运动，并始终保持 ，要使 和 全等，则 的长为______．
第13页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【答案】5或12
【解析】
【分析】本题要分情况讨论：①Rt ABC≌Rt DAE，此时AE=BC=5，可据此求出E点的位置．
②Rt CBA≌Rt DAE，此时AE=A△B=12，E、△B重合．
【详解△】解：①△当AE=CB时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt ABC与Rt DAE中，
△ △
，
∴Rt ABC≌Rt DAE（HL），
即AE△=BC=5；△
②当E运动到与B点重合时，AE=AB，
在Rt CBA与Rt DAE中，
△ △
，
∴Rt CBA≌Rt DAE（HL），
即AE△=AB=12，△
∴当点E与点B重合时， CBA才能和 DAE全等．
综上所述，AE=5或12．△ △
故答案为：5或12．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免
漏解．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 是x轴上的一个动点．
第14页/共30页
学科网（北京）股份有限公司（1）用含x的式子表示线段 的长是_____；
（2）结合图形，判断式子 的最小值是____．
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
的
（2）根据题意得出求PA+PB 最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时
PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）由题意可得： ，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示：
PA+PB=AB’= ，
即 的最小值为5，
故答案为：5．
第15页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应
图形求解是解题关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【小问1详解】
解：原式=
=
=
【小问2详解】
解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
第16页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【分析】先将式子化成 ，再把 代入，可求得结果.
【详解】 ＝
当 时， ，
∴ ＝
＝ ．
【点睛】本题主要考核了求代数式的值，解题关键是熟练掌握完全平方公式，将式子先变形再代入求值．
19. 老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知： 米，
米， 米， 米，且 ．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
【答案】 平方米
【解析】
【分析】连接 ，根据勾股定理，求得 ，再根据勾股定理的逆定理，判断 是直角三角形．这
块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
米， 米，
第17页/共30页
学科网（北京）股份有限公司米，
米， 米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积 （平方米）．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
体会数形结合的思想的应用．
20. 如图，在四边形 中，E，F分别为 ， 上的点，且 ，连接 ， ，若四边
形 是平行四边形．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，则 ，再证 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
第18页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出 是解题的关
键．
21. 如图，在 中，点E，F分别在AD，BC上，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先得到AE∥FC，而AE=CF，所以AFCE是平行四边形，即可证明．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形
的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与
联系．
的
22. 如图，在 正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三
角形 ．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
第19页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）根据要求作出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3中，△ACB即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数
形结合的思想解决问题．
23. 如图，已知 中， ， 是角平分线， ， ，求 的长．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形得判定与性质及勾股定理，过点 作 于 ，
根据角平分线的性质求出 ，根据勾股定理求出 ，证明 ，根据勾股定理列式计算即可得到
答案．
【详解】解：过点 作 于 ，
第20页/共30页
学科网（北京）股份有限公司是角平分线， ， ，
，
在 中， ，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ．
24. 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么 ．如
何将双重二次根式 化简？我们可以把 转化为 完全平
方的形式，因此双重二次根式 得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称
点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负
纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点 的“横负纵变点”为______，点 的“横负纵变点”为______；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（ ，m）且 ，点 是
点M的“横负纵变点”，求点 '的坐标．
第21页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）（ ， ）；（ ， ）
（2） +
（3）（﹣ ，﹣ ）
【解析】
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义， ，即可；
（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将 化为 ，再根据
，即可化简；
（3）根据 ，得 ；将 化简得
；根据 ，得
，求出 的值，求出 的坐标，根据横负纵变点”的定义，
，即可求出 的坐标．
【小问1详解】
∵
∴点（ ， ）的“横负纵变点”为（ ， ）
∵
∴点（ ， ）的“横负纵变点”为（ ， ）
第22页/共30页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：（ ， ）；（ ， ）．
【小问2详解】
∴ 化简得： ．
【小问3详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
第23页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴
∴点 （ ， ）
∵
∴ （ ， ）
故 的坐标为：（ ， ）．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．
25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又
得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种
平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用
“＜”或“≤”号连接）．
第24页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ， ， ；（2）①见解析；② ．
【解析】
【分析】（1）将 分别代入 求值即可得；
（2）①分别求出 ，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
②根据（2）①中的所画的图形可得 ，由此即可得出结论．
【详解】解：（1）当 时，
，
，
，
故答案为： ， ， ；
（2）① ，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：
，
第25页/共30页
学科网（北京）股份有限公司则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：
②由（2）①可知， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正
确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
26. 在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：当点 满足 时，称
点Q是点P的等积点．已知点 ．
（1）在 ， ， 中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐
标．
第26页/共30页
学科网（北京）股份有限公司（3）已知点 和点 ，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的
任意一点，对于线段 上的每一点A，在线段 上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m
的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】(1)根据定义，计算确定即可．
(2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可．
(3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即
可．
【小问1详解】
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴点P的等积点是 ，
故答案为： ．
【小问2详解】
设点 ，
∵ ，点Q是P点的等积点，
∴ 即 ，
故点Q在直线 上，
第27页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴点 ，
当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，
∴点 ，
∵点 在x轴上，
∴点 ，
解得 ，
∴点 ；
当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴点 ，
第28页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∵点 在x轴上，
∴点 ，
解得 ，
∴点 ；
综上所述，点 或 ．
【小问3详解】
设点 ，
∵ ，点Q是P点的等积点，
∴ 即 ，
故点Q在直线 上，
设点B的等积点坐标 ，
∵ ，
∴ 即 ，
故点B的等积点在直线 上，
∵点 ，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，
设该正方形为 ，则 ，
∵ 为 的等积点， 在 上，
第29页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴每一点A在直线 与直线 在第一象限交成的锐角内部或边上，
当 在直线 上时，m取得最小值，
故 ，
解得 ；
当 在直线 上时，m取得最大值，
故 ，
解得 ；
故m的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题
的关键．
第30页/共30页
学科网（北京）股份有限公司
