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八年级数学月练习
一、单选题
1. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质求解,逐项分析即可.
【详解】解: 与 不是同类项,不能合并,故A选项错误,不合题意;
与3不是同类项,不能合并,故B选项错误,不合题意;
,故C选项正确,符合题意;
,故D选项错误,不合题意;
故选C.
【点睛】本题考查二次根式,熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
2. 下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是( )
A. a=1.5,b=2,c=3 B. a=7,b=24,c=25
C. a=6,b=8,c=10 D. a=3,b=4,c=5
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理,进行计算即可解答.
【详解】解:A.∵1.52+22≠32,∴该三角形不是直角三角形,故A选项符合题意;
B.∵72+242=252,∴该三角形是直角三角形,故B选项不符合题意;
C.∵62+82=102,∴该三角形是直角三角形,故C选项不符合题意;
D.∵32+42=52,∴该三角形是直角三角形,故D选项不符合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查直角三角形的判定,掌握勾股定理是本题解题关键.
3. 如图,E、F是 ABCD对角线AC上两点,且AE=CF,连接DE、BF,则图中共有全等三角形的对数是
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学科网(北京)股份有限公司( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC,AB=CD,AD∥CB,进而可得∠DAE=∠BCF,然后可证明
△ADC≌△CBA,△AED≌△CFB,△DEC≌△BFA.
【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,
在△ADC和△CBA中,
,
∴△ADC≌△CBA(SSS),
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,
∴∠DAE=∠BCF,
在△ADE和△CBF中,
∴△AED≌△CFB(SAS),
∴DE=BF,
∵AE=CF,
∴AC-AE=AC-CF,
∴CE=AF,
在△DEC和△BFA中,
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学科网(北京)股份有限公司∴△DEC≌△BFA(SSS),
图中全等三角形共有3对,
故选:C.
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定,关键是掌握平行四边形的对边相等.
4. 在二次根式 , , , 中,最简二次根式共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义:被开方数不含分母,被开方数中不能含能开得尽方的因数或者因式,
即可.
【详解】 ,被开方数含分母,不是最简二次根式;
,是最简二次根式;
,被开方数中能含能开得尽方的因数,不是最简二次根式;
,是最简二次根式.
∴最简二次根式为: , .
故选:B.
【点睛】本题考查最简二次根式的定义,解题的关键是掌握最简二次根式的定义.
5. 估计 的值在( )
A. 7与8之间 B. 8与9之间 C. 9与10之间 D. 10与11之间
【答案】A
【解析】
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学科网(北京)股份有限公司【分析】先运用二次根式混合运算法则计算,得 ,再根据 ,
得出 ,即可得出答案.
【详解】解:
,
∵ ,
∴ ,
即 ,
故选:A.
【点睛】本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小,熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键.
6. 如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是 ,内壁高 ,若这支铅笔长为
,则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】本题考查了勾股定理 应用,先根据勾股定理算出 的长度,再进行求解即可,熟练掌握
知识点是解题的关键.
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学科网(北京)股份有限公司【详解】解:根据题意可得图形: ,
在 中: ,
所以 .
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米~6厘米之间.
观察选项,只有选项A符合题意.
故选:A.
7. 如图,露在水面上的鱼线 长为 .钓鱼者想看看鱼钧上的情况把鱼竿 提起到 的位置,此时
露在水面上的鱼线 长为 ,若 的长为 ,试问的鱼竿 有多长?设 长 ,则下所列方
程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查勾股定理的应用, 是解题关键.利用钓鱼竿长度不变列出方程即可.
【详解】解:设 长 ,则 ,
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学科网(北京)股份有限公司在 中, ,
在 中, ,
,
,
即 .
故选A.
8. 如图,在 的网格中,每个小正方形的边长均为1,点 都在格点上,则下列结论错误的是(
)
A. 的面积为10 B.
C. D. 点 到直线 的距离是2
【答案】A
【解析】
【分析】求出 ,根据三角形的面积公式可以判断A;根据勾股定理逆定理可以判断B;根据勾股
定理可以判断C;根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D.
【详解】解: , , ,
,
,故B、C正确,不符合题意;
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学科网(北京)股份有限公司,故A错误,符合题意;
设点 到直线 的距离是 ,
,
,
,
点 到直线 的距离是2,故D正确,不符合题意;
故选:A.
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离,熟练掌握以上知
识点是解题的关键.
9. 如图,四边形 中,对角线 与 相交于点O,不能判断四边形 是平行四边形的是(
)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定,熟知平行四边形的判定条件是解题的关键.
【详解】解:A、 ,一边平行,另一边相等的四边形不一定是平行四边形,也有可
能是等腰梯形,故此条件不能判断四边形 是平行四边形,符合题意;
B、 ,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,故此条件能判断四边形 是
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学科网(北京)股份有限公司平行四边形,不符合题意;
C、 ,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故此条件能判断四边形 是
平行四边形,不符合题意;
D、 ,对角线互相平分的四边形是平行四边形,故此条件能判断四边形 是平
行四边形,不符合题意;
故选:A.
10. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴和y轴上,点B坐标为 且 ,在坐
标轴上求作一点P,使得 是等腰三角形,则符合条件的点P的个数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求得 ,再分类讨论:以 为腰,以 为底,分别根据
等腰三角形的性质和勾股定理求点P坐标即可.
【详解】解:如图,以 为腰时, 、 、 、 是等腰三角形,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
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学科网(北京)股份有限公司∴ ,
在 中, ,
∴ ,
∵ ,
在 中, ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
以 为底时,如图, 是等腰三角形,过点 作 于点D,
在 中, ,
设 ,则 ,
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学科网(北京)股份有限公司∵ ,
在 中, ,
∴ ,
解得 ,
∴ ,
故选:A.
【点睛】本题考查坐标与图形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方
程,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
二、填空题
11. 在函数 中,自变量 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根 的非负性即可完成.
【详解】解:由题意得,
∴
故答案为: .
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围,关键是掌握算术平方根的非负性.
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学科网(北京)股份有限公司12. 在平行四边形 中,如果 ,那么 的度数是________.
【答案】 ##57度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质直接解答即可.
【详解】解:∵四边形 是平行四边形,
∴ ,
故答案为: .
【点睛】此题考查了平行四边形的性质:对角相等,熟记平行四边形的性质是解题的关键.
13. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案,得到两个大小不同的正方形.若正方形ABCD
的面积为10,AH=3,则正方形EFGH的面积为____.
【答案】4
【解析】
【分析】根据正方形的面积,可得AD2=10,再根据勾股定理求出DH的值,从而得四个直角三角形的面积
之和,进而即可求解.
的
【详解】解:∵正方形ABCD 面积为10,AH=3,
∴AD2=10,
∴在 中,DH= ,
∴ ,
∵四个直角三角形全等,
∴正方形EFGH的面积=10- =4,
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学科网(北京)股份有限公司故答案是:4.
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图,掌握勾股定理,是解题的关键.
14. 如图,正方形 的边长为4,点 在 边上, ,若点 在正方形的某一边上,满足
,且 与 的交点为 .则 _________.
【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论,点F在AD上或点F在AB上,依据全等三角形的性质以及矩形的性质,
即可得到CM的长.
【详解】解:分两种情况:
①如图1所示,当点F在AD上时,
由CF=BE,CD=BC,∠BCE=∠CDF=90°可得,Rt BCE≌Rt CDF(HL),
∴∠DCF=∠CBE, △ △
又∵∠BCF+∠DCF=90°,
∴∠BCF+∠CBE=90°,
∴∠BMC=90°,即CF⊥BE,
∵BC=4,CE=3,∠BCE=90°,
∴BE=5,
∴CM= ;
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学科网(北京)股份有限公司②如图2所示,当点F在AB上时,
同理可得,Rt BCF≌Rt CBE(HL),
∴BF=CE, △ △
又∵BF∥CE,
∴四边形BCEF是平行四边形,
又∵∠BCE=90°,
∴四边形BCEF是矩形,
∴CM= BE= ×5= .
故答案为: 或 .
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用,全等三角形的判定是
结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
15. 如图,在 中, , , ,射线 于点 ,点 、 分别在线
段 和射线 上运动,并始终保持 ,要使 和 全等,则 的长为______.
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学科网(北京)股份有限公司【答案】5或12
【解析】
【分析】本题要分情况讨论:①Rt ABC≌Rt DAE,此时AE=BC=5,可据此求出E点的位置.
②Rt CBA≌Rt DAE,此时AE=A△B=12,E、△B重合.
【详解△】解:①△当AE=CB时,
∵∠B=∠EAP=90°,
在Rt ABC与Rt DAE中,
△ △
,
∴Rt ABC≌Rt DAE(HL),
即AE△=BC=5;△
②当E运动到与B点重合时,AE=AB,
在Rt CBA与Rt DAE中,
△ △
,
∴Rt CBA≌Rt DAE(HL),
即AE△=AB=12,△
∴当点E与点B重合时, CBA才能和 DAE全等.
综上所述,AE=5或12.△ △
故答案为:5或12.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免
漏解.
16. 如图,在平面直角坐标系中,点 ,点 是x轴上的一个动点.
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学科网(北京)股份有限公司(1)用含x的式子表示线段 的长是_____;
(2)结合图形,判断式子 的最小值是____.
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】(1)直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可;
的
(2)根据题意得出求PA+PB 最小值,作点B关于x轴的对称点B’,连接AB’与x轴交于点P’,此时
PA+PB取得最小值,利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果.
【详解】解:(1) ,
故答案为: ;
(2)由题意可得: ,即为求PA+PB的最小值,
作点B关于x轴的对称点B’,连接AB’与x轴交于点P’,此时PA+PB取得最小值,如图所示:
PA+PB=AB’= ,
即 的最小值为5,
故答案为:5.
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学科网(北京)股份有限公司【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等,理解题意,作出相应
图形求解是解题关键.
三、解答题
17. 计算:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用二次根式的乘除法则运算即可得;
(2)利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得.
【小问1详解】
解:原式=
=
=
【小问2详解】
解:原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算,完全平方公式和平方差公式,解题的关键是掌握这些知识点.
18. 已知 ,求代数式 的值.
【答案】
【解析】
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学科网(北京)股份有限公司【分析】先将式子化成 ,再把 代入,可求得结果.
【详解】 =
当 时, ,
∴ =
= .
【点睛】本题主要考核了求代数式的值,解题关键是熟练掌握完全平方公式,将式子先变形再代入求值.
19. 老李家有一块草坪如图所示,家里想整理它,需要知道其面积,老李测量了草坪各边得知: 米,
米, 米, 米,且 .请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积.
【答案】 平方米
【解析】
【分析】连接 ,根据勾股定理,求得 ,再根据勾股定理的逆定理,判断 是直角三角形.这
块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和.
【详解】解:连接 ,如图,
,
,
米, 米,
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学科网(北京)股份有限公司米,
米, 米,
,
为直角三角形,
这块草坪的面积 (平方米).
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.
体会数形结合的思想的应用.
20. 如图,在四边形 中,E,F分别为 , 上的点,且 ,连接 , ,若四边
形 是平行四边形.求证:四边形 是平行四边形.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得 , ,则 ,再证 ,即可得出结论.
【详解】证明:∵四边形 是平行四边形,
∴ , ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
即 ,
∴四边形 是平行四边形.
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学科网(北京)股份有限公司【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的性质,证出 是解题的关
键.
21. 如图,在 中,点E,F分别在AD,BC上,且 .求证: .
【答案】见解析
【解析】
【分析】先得到AE∥FC,而AE=CF,所以AFCE是平行四边形,即可证明.
【详解】解:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥CF,
又∵AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF=CE.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.平行四边形
的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应,每种方法都对应着一种性质,在应用时应注意它们的区别与
联系.
的
22. 如图,在 正方形网格中,每个小方格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三
角形 .
(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的两边长是有理数,另外一边长是无理数;
(3)在图③中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数.
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析
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学科网(北京)股份有限公司【解析】
【分析】(1)作出边长分别为3,4,5的三角形即可.
(2)根据要求作出图形即可.
(3)根据要求作出图形即可.
【详解】解:(1)如图1中,△ABC即为所求(答案不唯一).
(2)如图2中,△ABC即为所求(答案不唯一).
(3)如图3中,△ACB即为所求(答案不唯一).
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图,勾股定理,勾股定理的逆定理等知识,解题的关键是学会利用数
形结合的思想解决问题.
23. 如图,已知 中, , 是角平分线, , ,求 的长.
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形得判定与性质及勾股定理,过点 作 于 ,
根据角平分线的性质求出 ,根据勾股定理求出 ,证明 ,根据勾股定理列式计算即可得到
答案.
【详解】解:过点 作 于 ,
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学科网(北京)股份有限公司是角平分线, , ,
,
在 中, ,
在 和 中,
,
,
,
在 中, ,即 ,
解得 .
24. 材料一:平方运算和开方运算是互逆运算.如a2±2ab+b2=(a±b)2,那么 .如
何将双重二次根式 化简?我们可以把 转化为 完全平
方的形式,因此双重二次根式 得以化简.
材料二:在直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y')给出如下定义:若 ,则称
点Q为点P的“横负纵变点”.例如:点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负
纵变点”为(﹣2,﹣5).
请选择合适的材料解决下面的问题:
(1)点 的“横负纵变点”为______,点 的“横负纵变点”为______;
(2)化简: ;
(3)已知a为常数(1≤a≤2),点M( ,m)且 ,点 是
点M的“横负纵变点”,求点 '的坐标.
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学科网(北京)股份有限公司【答案】(1)( , );( , )
(2) +
(3)(﹣ ,﹣ )
【解析】
【分析】(1)根据“横负纵变点”的定义, ,即可;
(2)根据材料一,双重二次根式的化简,将 化为 ,再根据
,即可化简;
(3)根据 ,得 ;将 化简得
;根据 ,得
,求出 的值,求出 的坐标,根据横负纵变点”的定义,
,即可求出 的坐标.
【小问1详解】
∵
∴点( , )的“横负纵变点”为( , )
∵
∴点( , )的“横负纵变点”为( , )
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学科网(北京)股份有限公司故答案为:( , );( , ).
【小问2详解】
∴ 化简得: .
【小问3详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
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学科网(北京)股份有限公司∴
∴点 ( , )
∵
∴ ( , )
故 的坐标为:( , ).
【点睛】本题考查了二次根式的加减,新定义等知识,解题的关键是理解新定义公式,化简最简二次根式.
25. 在数学课上,老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种,好学的小聪通过网络搜索,又
得到了两种平均数的定义,他把三种平均数的定义整理如下:
对于两个数a,b,
称为a,b这两个数的算术平均数,
称为a,b这两个数的几何平均数,
称为a,b这两个数的平方平均数.
小聪根据上述定义,探究了一些问题,下面是他的探究过程,请你补充完整:
(1)若a = -1,b = -2,则M = ,N = ,P = ;
(2)小聪发现当a,b两数异号时,在实数范围内N没有意义,所以决定只研究当a,b都是正数时这三种
平均数的大小关系.结合乘法公式和勾股定理的学习经验,他选择构造几何图形,用面积法解决问题:
如图,画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线,则图1中阴影部分的面积可以表示N2.
①请分别在图2,图3中用阴影标出一个面积为M2,P2的图形;
②借助图形可知当a,b都是正数时,M,N,P的大小关系是: (把M,N,P从小到大排列,并用
“<”或“≤”号连接).
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学科网(北京)股份有限公司【答案】(1) , , ;(2)①见解析;② .
【解析】
【分析】(1)将 分别代入 求值即可得;
(2)①分别求出 ,再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得;
②根据(2)①中的所画的图形可得 ,由此即可得出结论.
【详解】解:(1)当 时,
,
,
,
故答案为: , , ;
(2)① ,
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示:
,
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学科网(北京)股份有限公司则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示:
②由(2)①可知, ,当且仅当 ,即 时,等号成立,
都是正数,
都是正数,
,
故答案为: .
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点,较难的是题(2)①,正
确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键.
26. 在平面直角坐标系 中,对于点 ,给出如下定义:当点 满足 时,称
点Q是点P的等积点.已知点 .
(1)在 , , 中,点P的等积点是 .
(2)点Q是P点的等积点,点C在x轴上,以O,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形,求点C的坐
标.
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学科网(北京)股份有限公司(3)已知点 和点 ,点N是以点M为中心,边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的
任意一点,对于线段 上的每一点A,在线段 上都存在一个点R使得A为R的等积点,直接写出m
的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【解析】
【分析】(1)根据定义,计算确定即可.
(2)根据平行四边形的性质,运用平移的思想分类计算即可.
(3)根据定义,确定等积点的范围,利用正方形的性质,确定四个顶点的坐标,根据性质建立不等式计算即
可.
【小问1详解】
∵ , , , ,
∴ , , ,
∴点P的等积点是 ,
故答案为: .
【小问2详解】
设点 ,
∵ ,点Q是P点的等积点,
∴ 即 ,
故点Q在直线 上,
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学科网(北京)股份有限公司∴点 ,
当点O平移得到点P时,平移规律是向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,
∵O,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形,
∴点 向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点C,
∴点 ,
∵点 在x轴上,
∴点 ,
解得 ,
∴点 ;
当点P平移得到点O时,平移规律是向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,
∵O,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形,
∴点 向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到点C,
∴点 ,
第28页/共30页
学科网(北京)股份有限公司∵点 在x轴上,
∴点 ,
解得 ,
∴点 ;
综上所述,点 或 .
【小问3详解】
设点 ,
∵ ,点Q是P点的等积点,
∴ 即 ,
故点Q在直线 上,
设点B的等积点坐标 ,
∵ ,
∴ 即 ,
故点B的等积点在直线 上,
∵点 ,点N是以点M为中心,边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点,
设该正方形为 ,则 ,
∵ 为 的等积点, 在 上,
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学科网(北京)股份有限公司∴每一点A在直线 与直线 在第一象限交成的锐角内部或边上,
当 在直线 上时,m取得最小值,
故 ,
解得 ;
当 在直线 上时,m取得最大值,
故 ,
解得 ;
故m的取值范围是 .
【点睛】本题考查了新定义问题,平行四边形的判定,平移规律,正方形的性质,正确理解新定义是解题
的关键.
第30页/共30页
学科网(北京)股份有限公司