文档内容
北师大附属实验中学 2022-2023 学年度第一学期期中试卷
九年级数学
班级___________姓名___________学号___________成绩___________
考生须知：
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题；答题纸共3页．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，作图题用2B铅笔绘图，其他试题
用黑色字迹签字笔作答．
一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小
题2分，共16分）
1. 抛物线 的顶点坐标是( )
A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解： 抛物线的解析式为： ，
为
其顶点坐标 ： ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为 ，此时顶点坐标是 ，
对称轴是直线 ，此题考查了学生的应用能力．
2. 一元二次方程 有一根为零的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将x=0代入已知方程，求得c=0．【详解】根据题意知，x=0满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，则c=0．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ， ，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心
为图中的（ ）
A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形作线段 和 的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图
作线段 和 的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．4. 将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图像的表达式是（
）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图像平移的规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案．
【详解】解： 二次函数 的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位，
平移后 的函数图像的表达式为： ；
故选A．
【点睛】此题考查了二次函数图像的平移变换，熟练掌握其平移的规律是解此题的关键．
5. 如图，点A，B，C均在 上，当 时， 的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形 的性质，可得 ，得出 ，再根据圆周角定理，得
，即可得解．
【详解】解： 点A，B，C均在 上， ，
，
，，
，
；
故选C．
【点睛】此题考查了圆的性质、圆周角定理、三角形内角和定理与等腰三角形判定与性质，熟练掌握并运
用相关性质是解此题的关键．
6. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A. 点B在⊙A内 B. 点C在⊙A上
C. 直线BC与⊙A相切 D. 直线BC与⊙A相离
【答案】C
【解析】
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH＝ BC＝4，则利用勾股定
理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的
位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝ BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝ ＝ ＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和
⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；直线l和⊙O相离 d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰
三角形的⇔性质． ⇔ ⇔
7. 二次函数 的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，点 在二次函数的图像上，故选项B、C不符合题意；然后从对称轴与b的取值来
分析，可知符合题意的选项．
【详解】解：当 时， ，
点 在二次函数的图像上，
选项B、C不符合题意；
二次函数的对称轴为： ，
对于选项A：当 时，可知 ，故对称轴 在y轴的左侧，故选项A不符合题意；
对于选项D：当 时，观察图像可知 ，故对称轴 在直线 的左侧，故选项D符
合题意；
故选D．【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
8. 如图，在边长为2的正方形 中，点M在AD边上自A至D运动，点N在 边上自B至A运动，
M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接 ， 交于点P，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定点P的运动轨迹为以 为直径的一段弧，再求 的最小值即可
【详解】解：如图1，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
又 ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴点P的运动轨迹为以 为直径的一段弧，如图2所示，
连接 交弧于点P，此时， 的值最小，
在 中， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及圆的性质，知道线段最短时点
的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 如图， ， ，则 ___________．
【答案】 ##60度
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角关系定理，得出 ，再根据“有一个内角为 的等腰三角形是等
边三角形”即可得出答案．【详解】解： ，
，
是等腰三角形，
又 ，
为等边三角形，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了弧、弦、圆心角关系定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理与性质是解
此题的关键．
10. 请写出一个过坐标原点，对称轴为直线 的抛物线的解析式___________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】设所求抛物线的解析式为 ，然后根据条件确定系数即可．
【详解】解：设所求抛物线的解析式为 ，
抛物线过坐标原点 ，
，
对称轴为直线 ，
即 ，
取 ，则 ，
抛物线的解析式为： ；
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，熟练掌握抛物线上点的特征、对称轴方程和待定系数法是解此题的关键．
11. 如图， ， 是⊙ 的切线，A，B为切点， ，当 时， 的长为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质求出 ，根据切线长定理求出 ，根据含30度角的直角三角形的性
质以及勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：连接
∵ ， 是⊙ 的两条切线， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是切线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，掌握圆的切线垂直于经
过切点的半径是解题的关键．12. 如图，直线 与抛物线 交于A，B两点，其中点 ，点 ，不等
式 的解集为___________．
【答案】2x>2
【解析】
【分析】观察图像，找到抛物线的图像在直线的下方的部分图像，由此可知不等式的解集．
【详解】解：如下图所示，当20， ，
， ，
.
【点睛】此题考查了作差法比较二次函数的函数值大小以及二次函数的性质，掌握作差法比较大小是解答
此题的关键.
27. 如图， 中， ， ，线段 绕点C逆时针旋转 （ ），得
到线段 ，作 的角平分线交 于点M，交 于点N．
（1）当 时，根据题意补全图形；
（2）当 时，求 的度数；
（3）当 时，用等式表示线段 ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）答案见详解；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）按照题目要求补全图形即可；
（2）先求出 ， ，然后根据三角形内角和定理求出 的度数即可；
（3）根据已知条件先证明 ，再证明 ，得 ，根据三角形相似的性质，即可确定 ， 之间的数量关系．
【小问1详解】
解：如图1所示：
【小问2详解】
解：如图1， ，
，
平分 ，
，
， ，
，
，
；
【小问3详解】
解： ．
证明：如图2，连接 ，
，
，
，
，
，，
平分 ，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰
三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练运用这些性质判定两个三角形相似是解此题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，给定线段 和点P，若满足 或者 ，则称
点P为线段 的偏序点．（1）已知点 ，
①在点 ， ， ， 中，是线段 的偏序点的有___________；
②若直线 上存在线段 的偏序点，求b的取值的范围．
（2）已知点 ， ， 是以1为半径的圆，并且圆心C在x轴上运动，若线段 上
的点均为 的某条直径的偏序点，直接写出点C的横坐标c的取值的范围．
【答案】（1）① ；② ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）①根据题中给出的偏序点的定义，一一进行判断即可；
②分两种情况进行讨论：当直线在点O左侧时；当直线在点A右侧时；然后即可求解；（2）分两种情况讨论：一是当 在线段 的左侧时，点M、点N到圆上的最短距离都要小于2；二
是当 在线段 的右侧时，点M、点N到圆上的最短距离也都要小于2；分别求出满足的条件后再综
合即可得出答案．
【小问1详解】
解：① ，
，
是线段 的偏序点；
，
不是线段 的偏序点；
，
不是线段 的偏序点；
，
是线段 的偏序点；
故答案为： ；
② ，若直线 上存在线段 的偏序点，如图1所示．
当直线在点O左侧时，点O到直线 的距离小于2， 即 ，
在等腰 中， ，即 ；
当直线在点A右侧时，点A到直线 的距离小于2，即 ，
在等腰 中， ，即 ；
故b的取值的范围是： ；【小问2详解】
解：如图2，线段 上的点均为 的某条直径的偏序点，
的
当 在线段 左侧时，
点M到圆上的最短距离要小于2，
此时 ，
则 ，
同时，点N到圆上的最短距离也要小于2，
此时 ，
则 ，，
当 在线段 的左侧时， ；
当 在线段 的右侧时，
点M到圆上的最短距离要小于2，
此时 ，
则 ，
同时，点N到圆上的最短距离也要小于2，
此时 ，
则 ，
，
当 在线段 的右侧时， ；
如图所示，当点 在 点左侧时， ，
当点 在 点右侧时， 上点 到圆上的最短距离小于 时符合题意（即线段 上的点不能在
内），当 与 相切于点 时，∵ ，则 ，
∴
∴
综上所述： 或
故线段 上的点均为 的某条直径的偏序点，点C的横坐标c的取值的范围是： 或
．
【点睛】此题是一道新定义题，主要考查了对新定义“偏序点”的理解、两点距离公式、勾股定理等知识，
对“偏序点”的正确理解是难点，熟练运用两点距离公式、运用数形结合与分类讨论的思想方法是解此题
的关键．
