文档内容
2023年高考押题预测卷03【全国卷甲卷】
理科数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C C B C B D A B B A B
参考答案：
1．D【详解】解：由题意得 ，
，故选：D.
2．C【详解】因为复数 ，
所以复数z在复平面内所对应的点为 ， 该点位于第三象限.故选：C．
3．C【详解】 ，当结果为偶数时，输出，直到 ，则
当 时，输出 ；当 时，输出 ；
当 时，输出 ；当 时，输出 ；
当 时，输出 ；当 时，输出 ；
当 时， ，输出 ，结束.故选：C.
4．B 【详解】解：由频率分布直方图可知，前3组的频率分别为 ，第4组的频率为
所以，中位数 ，即 满足 ，对应的评价是良好. 故选：B.
5．C 【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明 ， 可得
四边形 为平行四边形，进而证得BC⊥面APC，通过勾股定理可求得PB的值.
【详解】如图所示，由题意知， ，
所以 ， ，
所以AB的中点即为△ABC外接圆的圆心，记为 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以在 中，取AC的中点M，连接PM，则△APC的外心必在PM的延长线上，记为 ，
所以在 中，因为 ， ，所以 为等边三角形，
所以 ，
（或由正弦定理得： ）
所以 ，
在 中， ， ， ，
设外接球半径为R，则 ，解得： ，
设O为三棱锥P-ABC的外接球球心，则 面ABC， 面APC．
所以在 中， ，
又因为在 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 面APC，
所以BC⊥面APC，
所以 ，
所以 ，即： .
故选：C.
6．B【分析】根据 ，结合双曲线的结合性质求得 ，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】由题意知，双曲线 的离心率为 ，
可得 ，即 ，解得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故选：B.
7．D
【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数 的对称轴和中心对称点及周期，利用
相关性质得出具体函数值，即可得出结果.
【详解】∵ ，∴ 关于 对称，
∵ 为奇函数，∴由平移可得 关于 对称，且 ，
，即上两式比较可得
∴函数 是以4为周期的周期函数. ， ，
∴ ， ∴ .
故选：D.
8．A
【分析】根据三视图得到该四棱台腰长为 ，上底长为4，下底长为2的正四棱台求解.
【详解】解：由三视图可知该四棱台为正四棱台，且腰长为 ，
因为上底长为4，下底长为2，
所以该棱台的高为 ，
棱台的体积 ，
故选： .
9．B【分析】分甲取打扫 区域和甲去打扫 或 区域两种情况，结合分步乘法计数原理和分类加法计数
若甲去打扫 区域，则甲的安排方法只有一种，再安排乙，丙，丁三人共 种安排方法，由分步乘法计数
原理可得有 种安排方法，
若甲去打扫 区域或 区域，则甲的安排方法只有两种，再安排乙，由于乙不能去打扫 区域，故乙的安
排方法有两种，再安排丙，丁两人，共 种安排方法，由分步乘法计数原理可得有 种安排方
法，
由分类加法计数原理可得共有 种安排方法.故选：B.
10．B
【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.
【详解】A： ，即 在定义域上递增，不符合；
B： ，
在 上 ，在 上 ，在 上 ，
所以 在 、 上递减， 上递增，符合；
C：由 且定义域为 ，为偶函数，
所以题图不可能在y轴两侧，研究 上性质： ，故 递增，不符合；
D：由 且定义域为R，为奇函数，
研究 上性质： ，故 在 递增，
所以 在R上递增，不符合；
故选：B
11．A【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的 ，
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的 ，
由此可得，第 次操作之后所得图形的面积是 ，
即经过4次操作之后所得图形的面积是 .故选：A
12．B【分析】令 ，结合 ， 判断AC；将不等式 转化为
， ，再构造函数求解最值即可判断B；借助特殊值 判断D.
【详解】解：令 ，则 ，且 ， ，
当 ， ，∴存在一个较小的正数 使得 都有 ，
当 时， ，∴存在一个较小的正数 使得 都有 ，
故A，C都不正确，
对于选项B，当 ，则显然成立，当 时，即证明 ，
也即证明 ， ，
令 ，则 ，
所以， 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
所以， 的最小值为 ，
令 ，则 ，
所以， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
所以， 的最大值为 ，
所以， ，
因为不同时取等，
所以， ，即选项B正确，
对于选项D，当 时， （成立），即 ，所以选项D不正确．
故选：B．
13． /
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，结合数量积运算律求出 ，即可求出夹角的余弦值.
【详解】单位向量 ， 满足 ，则 ，
因此 ，所以 ， 夹角的余弦值为 .
故答案为：
14．
【详解】因为 的展开式中各项系数之和为 ,
令 ,得 ,所以 6.
因为 展开式的通顶公式为 ,
令 ,得 ;令 ,得 ,
所以展开式中 的系数为 .故答案为：
15．
【分析】根据两角和的正弦公式，辅助角公式，化简可得 解析式，根据题意，求得周期，可得 值，根据 ，结合正弦型函数的性质，可求得a值，根据x的范围，求得 的范围，可得
的最值，结合题意，分析即可得b的范围.
【详解】由题设， ， ，
由 相邻两个对称轴之间的距离为 ，故 ，
又 ，即 ，
故 ，解得 ．
，
当 时， ，此时 的最大值为 ，最小值为 ，
若存在 ， ，使 成立，
则只需 ，
，故 的取值范围为
16． 【详解】 ，则 ，
则 时， ， 单调递增.
时， 恒成立，即 恒成立，
则 在 上恒成立，
则 即 在 上恒成立，
令 ， ，则则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
则当 时 取得最小值 ，则
则实数 的取值范围是
故答案为：
17．(1) (2)
【详解】（1）若选① ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，
又 ，则 ， ，则 ；
若选② ，则 ，又 ，则 ，
又 ，得 ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
．
（3）
18．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）延长PE交AB于M，延长PF交CD于 ，
因为E，F分别为 和 的重心，
所以M，N分别为AB，CD的中点，且 ，又因为底面ABCD为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面PBC，所以 平面PBC．
（2）（方法一）因为 平面ABCD，所以 ．
又因为 ，且 ，所以 平面PAD，所以 ，
又因为 ，所以 和 均为等腰直角三角形， ．
又因为N为CD的中点，所以 ，
故如图建立空间直角坐标系，因为 ，
易得P（0，0，2），M（1，0，0），N（0，1，0），C（1，1，0）， ， ，
设平面PMN的一个法向量为 ，则由 ， ，得
令 ，得 ，
又因为平面PAD的一个法向量为 ，
设平面PEF与平面PAD所成二面角的平面角为 ，则 ，
如图所示二面角为锐角，所以 ．（方法二）过 作 ，且 ，连接NQ和DQ，
取AD的中点为H，易知 平面PAD，过H作 于O，
则 ，所以 为平面PEF与平面PAD所成二面角的平面角，
因为 ， ，
所以在 中， ．
19．(1) (2)分布列见解析，一班赢下这场比赛
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，
其概率为 ，
若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，
其概率为 ，于是一班总分不少于100分的概率为 ；
（2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，
， ，
， ．
所以X的分布列为：
X 60 80 100 120
P
，
设三班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，
， ，
， ，
的分布列：
，
因为 ，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.
20．(1) (2)
【详解】（1）设 ，由题意有 且 ，化简得 ，即 ．
（2）当其中一条直线的斜率不存在时，则 、 一条为长轴长、另一条为过 的通径长，
令 ，则 ，可得 ，故通径长为 ，而长轴长为 ，易得 ．
当 直线的斜率存在且不为0时，设直线 的斜率为 ，则直线 为 ，
，化简整理得 ，
设 ，则 ，
，
，则直线 的斜率为 ，同理 ，
，
令 ，则 ，当 ，即
时等号成立，
而 ，则四边形 面积 的最小值为 .
21．(1) (2)证明见解析【详解】（1） ，即切点为 ，
该点处的斜率 ．
则 ，故 ．
（2）由（1）知 ．
则 等价于 ，
故
设 ，则 ，所以当 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即当 时， ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ．
令 ，则 ，
当 ，则 在 上为增函数．
因为 ，所以 ，又 ，
由于 ，即 ，
则 ，即 ．
22．(1) (2) 或
【分析】（1）根据参数方程消去参数即可得 的普通方程，即可根据直角坐标与极坐标之间的转化公式
可求得答案;（2）设 ，根据 可求得 的值，即可求得答案.
【详解】（1）由曲线 的参数方程 ( 为参数)，消去参数 后得，
可得 的普通方程为 ，
把 代入得 的极坐标方程为 ．
（2）由题意，在极坐标系中， ， 点 在曲线 上，设 ．
在 中，由余弦定理有 ，
即 ，
化简得 ，
故 或 ．
23．(1) (2)
【分析】（1）分别求解 , , 三种情况下 的解集,综合即可得结果;
（2）对任意的 ,存在 ,使得 成立,等价于 的值域是 的值域的子集,分别
求得 和 的值域,即可得结果.
【详解】（1）由 ,
当 时, ,得 ,即 ;
当 时, ,得 成立,即 ;当 时, ,得 ,即 ;
综上,不等式 的解集是 .
（2）对任意的 ,存在 ,使得 成立,
等价于对任意的 ,存在 ,使得 成立,
即 的值域是 的值域的子集,
,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的值域为 ,
因为 ,
所以 的值域为 ,所以 ,解得 .
所以 的取值范围是 .
