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2025新教材数学高考第一轮复习
3.4 二次函数、幂函数
五年高考
考点1 二次函数
1.(2013浙江文,7,5分,易)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 ( )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
2.(2017浙江,5,4分,中)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-
m的值 ( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
3.(2014北京,8,5分,中)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可
食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系
p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图,记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可
以得到最佳加工时间为 ( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟
C.4.00分钟 D.4.25分钟
4.(2014江苏,10,5分,中)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1]都有f(x)<0,则实数
m的取值范围为 .
5.(2012江苏,13,5分,中)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式
f(x)0.
f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是 .
考点2 幂函数1.(2014浙江,7,5分,中)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=log x的图象可能是(
a
)
1
2.(2020课标Ⅱ文,10,5分,中)设函数f(x)=x3- ,则f(x)( )
x3
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
1 1
3.(2018上海,7,5分,易)已知α∈ -2,-1,- , ,1,2,3 .若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上
2 2
递减,则α= .
三年模拟
综合基础练
1.(2024 届江西吉安泰和中学质检,6)指数函数 y=(b) x的图象如图所示,则二次函数
a
y=ax2+bx的图象可能是 ( )2.(2023甘肃兰州五十五中开学考,8)函数f(x)=x2-2|x|+5的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,-1)和(0,1)
B.(-∞,-1)和(1,+∞)
C.[-1,0]和[1,+∞)
D.(-1,0)和(0,1)
3.(2023湖北华中师大附中开学考,4)关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数
根x ,x ,且x <10的解集为 .
综合拔高练
x
1.(2024届福建连城一中月考,6)给定函数f(x)= ,g(x)=-x2+x,x∈R.用m(x)表示f(x),g(x)中的
2
较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},则m(x)的最大值为 ( )
1
A. B.1
4
C.0 D.2
2.(2023北京海淀一模,8)已知二次函数f(x),对任意的x∈R,有f(2x)<2f(x),则f(x)的图象可能
是 ( )
3.(2023 辽宁锦州检测,7)设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x-2)=2f(x),且当 x∈(0,2]时,
3
f(x)=x(2-x).若对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤ 成立,则a的取值范围是( )
8
A.[7 ) [5 )
,+∞ B. ,+∞
2 2
C.( 3] ( 5]
−∞,− D. −∞,−
2 2
4.(2023河北承德一中质检,8)关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则实数m的取值范围是 ( )
A.[1 3] (1 2]
, B. ,
2 2 2 3
C.[1 ) (1 2]∪{6-2 }
,2 D. , √7
2 2 3
5.(多选)(2024届江西吉安泰和中学质检,10)已知函数f(x)={x2,−2≤x<1,关于函数f(x)的
−x+2,x≥1,
结论正确的是 ( )
A. f(x)的定义域为R
B. f(x)的值域为(-∞,4]
C.若f(x)=2,则x的值是-√2
D. f(x)<1的解集为(-1,1)
{a,a≤b,
6.(多选)(2024 届山西长治四中月考,12)对任意两个实数 a,b,定义 min{a,b}= 若
b,a>b,
f(x)=2-x2,g(x)=x2-2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是( )
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)=0有两个解
C.函数F(x)有4个单调区间
D.函数F(x)的最大值为0,最小值为-2
7.(2024届重庆渝北中学月考,20)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数,且f(f(x))=4x-1.
(1)求f(x);
(2)求函数y=f(x)+x2-x在x∈[t,t+2]上的最小值.3.4 二次函数、幂函数
五年高考
考点1 二次函数
1.(2013浙江文,7,5分,易)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 ( )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
答案 A
2.(2017浙江,5,4分,中)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-
m的值 ( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
答案 B
3.(2014北京,8,5分,中)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可
食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系
p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图,记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可
以得到最佳加工时间为 ( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟
C.4.00分钟 D.4.25分钟答案 B
4.(2014江苏,10,5分,中)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1]都有f(x)<0,则实数
m的取值范围为 .
答案 ( √2 )
− ,0
2
5.(2012江苏,13,5分,中)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式
f(x)0.
f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是 .
答案 [1 ]
,2
8
考点2 幂函数
1.(2014浙江,7,5分,中)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=log x的图象可能是(
a
)
答案 D
1
2.(2020课标Ⅱ文,10,5分,中)设函数f(x)=x3- ,则f(x)( )
x3
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
答案 A1 1
3.(2018上海,7,5分,易)已知α∈ -2,-1,- , ,1,2,3 .若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上
2 2
递减,则α= .
答案 -1
三年模拟
综合基础练
1.(2024 届江西吉安泰和中学质检,6)指数函数 y=(b) x的图象如图所示,则二次函数
a
y=ax2+bx的图象可能是 ( )
答案 B
2.(2023甘肃兰州五十五中开学考,8)函数f(x)=x2-2|x|+5的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,-1)和(0,1)
B.(-∞,-1)和(1,+∞)
C.[-1,0]和[1,+∞)
D.(-1,0)和(0,1)
答案 C
3.(2023湖北华中师大附中开学考,4)关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数
根x ,x ,且x <10的解集为 .答案 ( 7)
0,
3
综合拔高练
x
1.(2024届福建连城一中月考,6)给定函数f(x)= ,g(x)=-x2+x,x∈R.用m(x)表示f(x),g(x)中的
2
较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},则m(x)的最大值为 ( )
1
A. B.1
4
C.0 D.2
答案 A
2.(2023北京海淀一模,8)已知二次函数f(x),对任意的x∈R,有f(2x)<2f(x),则f(x)的图象可能
是 ( )
答案 A
3.(2023 辽宁锦州检测,7)设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x-2)=2f(x),且当 x∈(0,2]时,
3
f(x)=x(2-x).若对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤ 成立,则a的取值范围是( )
8
A.[7 ) [5 )
,+∞ B. ,+∞
2 2
C.( 3] ( 5]
−∞,− D. −∞,−
2 2
答案 A
4.(2023河北承德一中质检,8)关于x的方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则
实数m的取值范围是 ( )
A.[1 3] (1 2]
, B. ,
2 2 2 3C.[1 ) (1 2]∪{6-2 }
,2 D. , √7
2 2 3
答案 D
5.(多选)(2024届江西吉安泰和中学质检,10)已知函数f(x)={x2,−2≤x<1,关于函数f(x)的
−x+2,x≥1,
结论正确的是 ( )
A. f(x)的定义域为R
B. f(x)的值域为(-∞,4]
C.若f(x)=2,则x的值是-√2
D. f(x)<1的解集为(-1,1)
答案 BC
{a,a≤b,
6.(多选)(2024 届山西长治四中月考,12)对任意两个实数 a,b,定义 min{a,b}= 若
b,a>b,
f(x)=2-x2,g(x)=x2-2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是( )
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)=0有两个解
C.函数F(x)有4个单调区间
D.函数F(x)的最大值为0,最小值为-2
答案 ABC
7.(2024届重庆渝北中学月考,20)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数,且f(f(x))=4x-1.
(1)求f(x);
(2)求函数y=f(x)+x2-x在x∈[t,t+2]上的最小值.
解析 (1)由f(x)是一次函数且单调递减,设f(x)=kx+b(k<0),
因为f(f(x))=4x-1,
所以f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=4x-1,
{
k2=4,
即k2x+(kb+b)=4x-1,所以 {k=−2,
kb+b=−1,解得
b=1,
k<0,
因此f(x)=-2x+1.
3
(2)由(1)可得y=f(x)+x2-x=-2x+1+x2-x=x2-3x+1,其图象开口向上,对称轴为直线x= ,
23
当t≥ 时,函数y=x2-3x+1在x∈[t,t+2]上单调递增,所以y =t2-3t+1;
min
2
3 1
当 t+2≤ , 即 t≤- 时 , 函 数 y=x2-3x+1 在 x∈[t,t+2] 上 单 调 递 减 , 所 以 y =(t+2)2-
min
2 2
3(t+2)+1=t2+t-1;
当-1 3时,t<3
