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4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）
题组一 累加法
1．（2022·陕西·无高三阶段练习）若数列 满足 且 ，则数列 的第100项为
（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，因为 ，
所以 ，
，
，
以上99个式子累加得 ，
．
故选：B．
2．（2022·四川·树德中学）已知数列 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ， ， ， ， 式相加
可得 ，所以 ， ，当且仅当 取到，但 ， ，所
以 时 ，当 时， ， ，所以 的最小值为 .
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
所以 ， ，…， ，
上式累加可得
，
又 ，所以 .
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ，且 （ ），则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ，…， ，
∴ ，即 ，∴ ， ．
∵ 符合上式，
∴ ．
∴ ，
，
，
．
故选：A．
5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{a}中，a＝1，a ＝a＋2n，则通项公式a＝________．
n 1 n＋1 n n
【答案】2n－1
【解析】由题意得a －a＝2n，把n＝1，2，3，…，n－1(n≥2)代入，得到(n－1)个式子，累加即可得(a
n＋1 n 2
－a)＋(a－a)＋…＋(an－an )＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以 ，即a－a＝2n－2，所以
1 3 2 －1 n 1
a＝2n－2＋a＝2n－1．当n＝1时，a＝1也符合上式，所以a＝2n－1．故答案为：2n－1
n 1 1 n
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，求通项 = .
【答案】
【解析】 ， ， ， ，
，以上各式相加得 ，
又 ，所以 ，而 也适合上式， .7．（2022·重庆·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求证： 是等差数列；
(2)若 ，求 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由题 ，即 ， 是公差为4的等差数列.
(2)
，累加可得
，当 时 也满足上式 .
题组二 累乘法
1．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a=1， (n≥2)，求数列{an}的通项公式.
1
【答案】
【解析】因为a=1， (n≥2)，所以 ，
1
所以 ·…· ·1= .
又因为当n=1时，a=1，符合上式，所以a= .
1 n
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项
公式.【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以当 时， ，
因为 ，所以 ，
又因为 时， 满足上式，所以
3．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足： ， ，求 的通
项公式 .
【答案】
【解析】由 得， ，
，
即 ，所以 .
4．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ，求数列 的通项
公式 .
【答案】
【解析】依题意， ，
即 ，所以当 时
当 时也满足上式
所以
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项为 ，且满足 .求
的通项公式.
【答案】 .
【解析】由 ，得 ，
又 ，所以当 时， ，
又 也满足上式，所以 ；
题组三 公式法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前n项积，若 ，则数列 的通项公式
（ ）
A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n
【答案】D【解析】当n=1时， ；当 时， ，于是
是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以 .故选：D.
2．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列 的前 项为 ，已知
，下列说法中正确的是（ ）
A． 为等差数列 B． 可能为等比数列
C． 为等差数列或等比数列 D． 可能既不是等差数列也不是等比数列
【答案】BD
【解析】依题意， ，
当 时， ，
当 时， ， ，
两式相减得 ，
，
，
当 时， ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
当 时， ，则数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
当 ， 交替成立时， 既不是等差数列也不是等比数列.
故选：BD
3．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 , ,则 ______ ．【答案】
【解析】 得,
,
所以有 ,因此 .
故答案为
4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .数列
的通项公式 .
【答案】
【解析】 ，
当 时，
当 时， ，
两式相减得： ，即 ， ，
， ， ， ，
累乘得： ，所以 ，故答案为： .
5．（2022·四川·什邡中学）数列 的前 项和 ，则它的通项公式是_______．
【答案】
【解析】当 时， ，
当 时，
经检验当 时不符合，
所以 ，
故答案为： ，
6．（2022·安徽宿州）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则 的通项公式为
______．
【答案】
【解析】当 时， ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
故答案为：
7．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列 满足 ，则
____.
【答案】
【解析】因为 ，
所以当 时，有 ，
，得 ，
当 时， 也适合 ，
故答案为：
8．（2022·山西太原·二模（文））已知数列 的首项为1，前n项和为 ，且 ，则数列
的通项公式 ___________.
【答案】n
【解析】∵ ，∴
当 时， ，
当 时， 成立，∴ ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
∴ .
故答案为：n
题组四 构造等差数列
1．（2022·全国·课时练习）在数列 中，若 ，则 ________.
【答案】
【解析】取倒数得: ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
2．（2022·湖北·荆州中学）已知数列 满足 ，且 ．则数列 的通项公式为
_______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以数列 是首项为1，公差为1 的等差数列，所以 故答案为： .
3．（2022·全国·课时练习）已知数列 中， ，求数列 的通项公式
；
【答案】 ．
【解析】由 ，得： ，∴ ，
即数列 是首项为1，公差为2的等差数列，∴ ，得 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ．求数列 的通项公式
；
【答案】
【解析】因为 ， 所以令 ，则 ，解得 ，
对 两边同时除以 ，得 ，
又因为 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 ，所以 ；
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式
.
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴数列 是等差数列，公差为 ，又 ，
∴ ，∴ .题组五 构造等比数列
1．（2022·四川师范大学附属中学二模）已知数列 满足 ，且 前8项和为761，则
______．
【答案】
【解析】数列 满足 ，整理得 ，若 ，则 ，显然不符合题意，
所以 ，则 （常数）；所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列；
所以 ，整理得 ；由于前8项和为761，
所以 ，解得 ．故答案为： ．
2．（2022·山西）已知数列 满足 ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】由已知可得 ，设 ，则 ，
所以， ，可得 ，所以， ，且 ，
由题意可知，对任意的 ， ，则 ，
所以，数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
所以， ，因此， .故答案为： .
3．（2021·全国·专题练习）已知数列 满足： ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，即 ，故 ，
又因为 ，所以数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
从而 ，解得 .故选：C.
4．（2022·黑龙江）已知数列 的通项公式为 ， 求数列 的通项公式
.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
所以 ，所以 .
