文档内容
宜昌市协作体高二期中考试
数 学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章~第二章第3节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.直线 和直线 的位置关系为
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直
2.已知向量 ， ，且 ，则x=
A.-3 B.-1 C.1 D.0
3.已知直线l的一个方向向量为 ，则直线l的倾斜角为
A.0 B. C. D.
4.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概
率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为
A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82
5.如图，已知 是边长为 1的小正方形网格上不共线的三个格点，点 P为平面 ABC外一点，且
， ，若 ，则
A. B. C.6 D.
6.已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为A. B. C. D.
7.若平面内两条平行直线 与 间的距离为 ，则实数a=
A. B.2 C. 或2 D. 或1
8.在正三棱锥P-ABC中， ，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到
平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则
A. B. C. D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知直线 ，则
A.l不过原点 B.l在x轴上的截距为
C.l的斜率为 D.l与坐标轴围成的三角形的面积为
10.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1,2,3的三个号签；乙
袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互
不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；
事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是
A. B.
C.事件C与D互斥 D.事件A与事件D相互独立
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC D 中，E，F，G，H分别是DD ，AB ，CD，BC的中点，则
1 1 1 1 1 1 1
下列说法正确的有
A.E，F，G，H四点共面 B.BD与EF所成角的大小为C.在线段BD上存在点M，使得MC ⊥平面EFG
1
D.在线段AB上任取一点N，三棱锥N-EFG的体积为定值
1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的方程为 ，则坐标原点到直线l的距离为________.
13.在长方体ABCD-ABC D 中，若 ，则直线BD 与CD之间的距离为________.
1 1 1 1 1
14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，
小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，
a,b,c,d,e这5个数字未知，且b,d为偶数，则 的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点 ， ，B，C关于原点O对称.
（1）求BC边上的高所在直线的一般式方程；
（2）已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程.
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱ABC-ABC 中， ， ， ，点D满足 .
1 1 1
（1）用 表示 ；
（2）若三棱锥A-ABC的所有棱长均为2，求 及 .
1
17.（本小题满分15分）
在菱形ABCD中， ，AB=2，将菱形ABCD沿着BD翻折，得到三棱锥A-BCD如图所示，此时.
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）若点E是CD的中点，求直线BE与平面ABC所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大
赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题
的概率分别是 和 .假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响.
（1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；
（2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；
（3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率.
19.（本小题满分17分）
在空间直角坐标系Oxyz中，定义：过点 ，且方向向量为 （ ）的直线的点方
向式方程为 ；过点 ，且法向量为 （ ）的平面
的点法向式方程为 ，将其整理为一般式方程为 ，其中
.
（1）求经过 ， 的直线的点方向式方程；
（ 2 ） 已 知 平 面 ， 平 面 ， 平 面
，若 ， ，证明： ；
（3）已知斜三棱柱 ABC-ABC 中，侧面 ABBA 所在平面 经过三点 ， ，
1 1 1 1 1
，侧面BCC B 所在平面 的一般式方程为 ，侧面ACC A 所在平面 的一般式方
1 1 1 1程为 ，求平面ABBA 与平面ACC A 的夹角大小.
1 1 1 1宜昌市协作体高二期中考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 直线 和直线 的斜率分别为 ，-2，因为 ，所以 .故
选A.
2.C 因为 ，故 ，即 .故选C.
3.D 因为直线l的一个方向向量为 ，所以l的斜率 ，又 ，所以 ，因为
，所以 .故选D.
4.C 设摸出红球的概率为 ，摸出白球的概率为 ，摸出黑球的概率为 ，所以
，
， 且 ， 所 以 ，
，所以 ，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.故选C.
5.B 因 为 ， 所 以 ， 则
， 所 以
.故选B.
6.D 依题意，向量 在向量 上的投影向量为 ，所以投影
向量的坐标为 .故选D.
7.A ①当 时，可得 ， ，由 ，则此时不符合题意；②当 时，可得
直 线 l 的 斜 率 ， 直 线 l 的 斜 率 ， 由 ， 整 理 可 得 ， 则
1 2，解得 或 ，当 时，可得 ， ，整理l 的方程可
2
得 ，由两平行直线之间的距离 ，所以此时不符合题意：当 时，可得
， ，整理 l 的方程可得 ，由两平行直线之间的距离
2
，所以此时符合题意.综上可得 .故选A.
8.B 在正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，又PA=1， ，所以 ，所以PA⊥PB，同理
可得PA⊥PC，PC⊥PB，即PA，PB，PC两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正
方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得 ，如图，建立空间直角坐标系，则
， ， ， ，所以 ， ， ，设平
面ABC的法向量为 ，则 令 ，则 ，所以 ，则点O到平
面ABC的距离 ，所以 .故选B.
9.ACD 因为 ，所以l不过原点，所以A正确；令 ，得 ，所以l在x轴上的截
距为 ，所以 B 错误；把 化为 ，所以 l 的斜率为 ，所以 C 正确；把
化为 ，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为 ，所以D正确.故选ACD.
10.ABD 样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，
(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种可能的结果，则 ， ，A正确；事件C
包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种可能的结果，则 ，B正确；事件D包含的样本点
有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共
15种可能的结果，故事件C与D不互斥，C错误： ，由 ，得
A，D相互独立，D正确.故选ABD.
11.AD 以A为原点，以AB，AD，AA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
1
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，设 ，则 ，所以 解得
故 ，即E，F，G，H四点共面，故A正确；因为 ， ，所以
，所以BD与EF所成角的大小为 ，故B错误；假设在线段
BD 上存在点 M，符合题意.设 ，则 ，若
MC ⊥ 平 面 EFG ， 则 ， . 因 为 ， ， 所 以
1
此方程组无解，所以在线段BD上不存在点M，使得MC ⊥平面EFG，故C错误；因为
1
，所以AB//EG，又 平面EFG， 平面EFG，所以AB//平面EFG，故AB
1 1 1
上的所有点到平面EFG的距离即为B到平面EFG的距离，是定值，又△EFG的面积是定值，所以在线段
AB上任取一点N，三棱锥N-EFG的体积为定值，故D正确.故选AD.
112. 方法一：直线 l 过点 与 ，记 到直线 l 的距离为 d，则在△AOB 中，
，而 ， ， ，所以 .
方法二：直线 l 的方程改写为 ，由点到直线的距离公式，原点到直线 l 的距离为
.
13. 以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA 为 z 轴建立空间直线坐标系 Axyz，则 ，
1
， ，设与BD ，CD都垂直的一个向量 ，且 ， ，
1
取 ，则 ， ，所以 ，所以直线BD 与CD之间的距离为 .
1
14. 这个试验的等可能结果用下表表示：
a 1 1 3 3 5 5 1 1 3 3 5 5
b 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8
c 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 3
d 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2
e 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1
共有12种等可能的结果，其中 的结果有6种，所以 的概率为 .
15.解：（1）因为B，C关于原点O对称，所以 ，························································1分
，············································································································2分
所以BC边上高所在直线的斜率为 ，··················································································3分因为 ，所以BC边上高所在直线的方程为 ，
所以BC边上高所在直线的一般式方程为 .······························································5分
（2）因为过点B的直线l平分△ABC的面积，
所以直线l经过边AC的中点 ，·····················································································7分
又 ，所以直线l的方程 .·······················································································13分
16.解：（1）因为 ，
所以 ，·············································································································2分
所以
.·························································································7分
（2）因为三棱锥A-ABC的所有棱长均为2，
1
所以 ， ，······································································9分
，··························································································11分
又
.···························································································13分
所以
.·····································································································15分
17.（1）证明：因为四边形ABCD是菱形， ，所以△BAD与△BCD均为正三角形，
取BD的中点O，连结OA，OC，则OA⊥BD，·········································································2分
因为AB=2，所以 ，
因为 ，所以OA⊥OC，·············································································4分
又 ，BD， 平面BCD，所以OA⊥平面BCD.····················································5分因为 平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.······································································6分
（2）解：由（1）可知，OA，OB，OC两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，
y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
因为E是CD的中点，所以 ，所以 ， ， ，··
······································································································································9分
设 为平面ABC的一个法向量，则
令 ，得 ， ，所以 .·······································································11分
，········································································13分
设直线BE与平面ABC所成角为 ，则 ，所以直线BE与平面ABC所成角的正弦值
为 .····························································································································15分
18.解：（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件M，
所以 ，
即乙至少有1个回答正确的概率是 .····················································································5分
（2）记“甲答对第i个问题”为事件 ，“乙答对第i个问题”为事件 ，则甲回答正
确 的 个 数 比 乙 回 答 正 确 的 个 数 恰 好 多 2 个 为 事 件，
所以
，
即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是 .···············································11分
（3）记“甲答对第 i 个问题”为事件 ，则甲恰好回答 5 次被退出比赛为事件
，
所以
，
即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是 .···········································································17分
19.（1）解：由 ， 得，直线AB的方向向量为 ，······················1分
故直线AB的点方向式方程为 .··················3分
（2）证明：由平面 可知，平面 的法向量为 ，···························4分
由平面 可知，平面 的法向量为 ，············································5分
设交线l的方向向量为 ，则 ， ，·················································6分
即 令 ，解得 ， ，故 ，·············································8分
又平面 的法向量为 ，，········································································9分
因为 ，所以 .·····································································································10分
（3）解：设侧面ABBA 所在平面 的法向量 ，··················································11分
1 1
因平面 经过三点 ， ， ，则 ， ，
所以 即 令 ，解得 ， ，········································12分
故平面 的法向量 ，
平面 的法向量为 ，
由（2）可求得平面 与平面 的交线的方向向量为 ，··············································14分
平面 的法向量为 ，
由 ，
解得 ，则 ，···························································································15分
所以 ，·········································································16分
故平面ABBA 与平面ACC A 夹角的大小为 .·······································································17分
1 1 1 1
