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专练 18 高考大题专练(一) 导数的应用
1．[2022·全国甲卷(文)，20]已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x ，
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f(x))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
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(1)若x＝－1，求a；
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(2)求a的取值范围．
2．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
3.[2020·全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴垂直．
(1)求b；
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
4．[2022·全国乙卷(理)，21]已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋axe－x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
5．[2020·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．6．[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x(1－ln x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a－a ln b＝a－b，证明：2<＋<e.
7．[2021·全国乙卷]设函数f(x)＝ln (a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．
(1)求a；
(2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1.
8．[2021·全国甲卷]已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0).
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝ f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
