文档内容
\s\up7(专题七 带电粒子在电场中运动的综合问题)
素养目标 1.根据图像分析物理过程．(科学思维) 2.建立电学问题力学化模型，能应用
动力学观点和能量观点分析电学问题．(科学思维)
考点 电场中“三类”典型图像问题
(1)反映了电场强度随位置变化的规律．
Ex图像 (2) 图线与 x 轴围成的“面积”表示电势差 ，“面积”大小表示电势差大小，根据电场
方向判定两点的电势高低
(1)φx图线斜率的绝对值等于电场强度的大小，斜率为零处电场强度为零．
φx图像
(2)φ降低的方向为x轴上电场强度的方向
(1)图线斜率的绝对值等于电场力的大小，|k|＝＝＝qE.
E x图像 (2)在E x图像中，可根据E 与q的关系判断电势φ的高低，从而大致确定E的方向，
p p p
亦可将E x图像转换为Ex图像，从而直观确定电场的强弱分布和方向
p
典例1 (2024·湖北七市模拟)如图甲所示，绝缘光滑水平面上有A、O、B三点，以O
点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标轴x轴，A点坐标为－2 m，B点坐标为2 m，
空间中存在水平电场，图乙、丙左侧图线为四分之一圆弧，右侧图线为一条倾斜线段．现
把一质量为m、电荷量为q的负点电荷，以初速度v 由A点向右射出，若负点电荷可以沿
0
直线到达B处，则下列说法正确的是(忽略负点电荷形成的电场)( )
A．若A、B两点间的电势变化如图乙所示，负点电荷到达B点时速度大于v
0
B．若A、B两点间的电势变化如图乙所示，负点电荷到达坐标为－ m和 m处时，电
场力的功率不相等
C．若A、B两点间的电场强度变化如图丙所示，负点电荷从 A到B速度先增大再减
小
D．若A、B两点间的电场强度变化如图丙所示，负点电荷到达坐标为－ m和 m处时，
所受电场力相同
1．[φx图像的分析]如图甲所示，空间存在着平行于纸面的匀强电场，但方向未知，现
用仪器在纸面内沿互成90°角的x、y两个方向探测各点的电势情况，设O点的电势为零，得到各点电势φ与到O点距离的函数关系图像，分别如图乙、图丙所示．下列关于该电场
的电场强度E的说法，正确的是( )
A．E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左上
B．E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左下
C．E＝100 V/m，与y轴正方向成30°角斜向右上
D．E＝200 V/m，与y轴负方向成30°角斜向左下
2．[E x图像的分析]在x轴上O、P两点分别放置电荷量为q 、q 的点电荷，一带负电
p 1 2
的试探电荷在两电荷连线上的电势能E 随x变化的关系如图所示，其中A、B两点电势能
p
为零，BD段中C点电势能最大，则 ( )
A．q 是负电荷，q 是正电荷，且q>q
1 2 1 2
B．B、C间场强方向沿x轴负方向
C．C点的电场强度大于A点的电场强度
D．将一正点电荷从B点移到D点，电场力先做负功后做正功
考点 电场中的力、电综合问题
1．用动力学的观点分析带电粒子的运动
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，这两个力的合力为一恒力．
(2)类似于处理偏转问题，将复杂的运动分解为正交的简单直线运动，化繁为简．
(3)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重
力是否需要考虑，以及运动学公式里的物理量的正、负号及矢量性．
2．用能量的观点来分析带电粒子的运动
(1)运用能量守恒定律分析，注意题中有哪些形式的能量出现．
(2)运用动能定理分析，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有功，判断是分阶
段还是全过程使用动能定理．
典例2 (2023·新课标卷)密立根油滴实验的示意图如图所示．两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小
油滴．两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率
分别为v 、；两板间 加上电压后 ( 上板为正极 ) ，这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直
0
向下匀速运动．油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例
系数视为常数．不计空气浮力和油滴间的相互作用．
(1)求油滴a和油滴b的质量之比；
(2)判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比．
1．[应用能量观点分析带电质点的运动]如图所示，竖直面内有矩形ABCD，∠DAC＝
30°，以O为圆心的圆为矩形的外接圆，AC为竖直直径，空间存在范围足够大、方向由A
指向B的匀强电场(图中未画出)．将质量均为m的小球P、Q以相同速率从A点抛出，小
球P经过D点时的动能是小球在A点时动能的4倍．已知小球P不带电，小球Q带正电，
电荷量为q，重力加速度为g，该电场的电场强度大小为.则小球Q经过B点时的动能是小
球在A点时动能的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
2．[带电质点在复合场中的圆周运动]如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于
竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向
左的匀强电场中，现有一质量为 m、带正电的滑块(可视为质点)置于水平轨道上，滑块受
到的电场力大小为mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g.
(1)若滑块从水平轨道上距离B点s＝3R的A点由静止释放，滑块到达与圆心O等高的
C点时速度为多大？
(2)若滑块从水平轨道上距离B点s＝10R的A点由静止释放，求滑块到达D点时受到
轨道的作用力大小；
(3)改变s的大小，仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并从 G点飞出轨道，
求s的最小值．答案及解析
考点 电场中“三类”典型图像问题
典例1 (2024·湖北七市模拟)如图甲所示，绝缘光滑水平面上有A、O、B三点，以O
点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标轴x轴，A点坐标为－2 m，B点坐标为2 m，
空间中存在水平电场，图乙、丙左侧图线为四分之一圆弧，右侧图线为一条倾斜线段．现
把一质量为m、电荷量为q的负点电荷，以初速度v 由A点向右射出，若负点电荷可以沿
0
直线到达B处，则下列说法正确的是(忽略负点电荷形成的电场)( )
A．若A、B两点间的电势变化如图乙所示，负点电荷到达B点时速度大于v
0
B．若A、B两点间的电势变化如图乙所示，负点电荷到达坐标为－ m和 m处时，电
场力的功率不相等
C．若A、B两点间的电场强度变化如图丙所示，负点电荷从 A到B速度先增大再减
小
D．若A、B两点间的电场强度变化如图丙所示，负点电荷到达坐标为－ m和 m处时，
所受电场力相同
解析： 由题图乙可知AO段与BO段电势差相等，电场力做功大小相等，且AO段电
场力对电荷做正功，OB段电场力对电荷做负功，故负点电荷到达B点时速度等于v，A错
0
误；φx图像斜率的绝对值表示电场强度的大小，则由题图乙可知O点到B点是匀强电场，
如图所示，该电场强度的大小与虚线表示的电场强度大小相等，由于左侧图线为四分之一
圆弧，将虚线平移至与圆弧相切，切点处的电场强度大小与右侧电场强度大小相等，根据
几何关系可知该切点的横坐标为－ m，即当负点电荷分别处于－ m和 m时，电场力大小
相等，而负点电荷在坐标为－ m和 m处电势不同，在两位置间移动时，电场力对其做功，
负点电荷在两点动能不同，速度不同，由P＝Fv可知电场力的功率不相等，B正确；由题
图丙可知从A到B电场方向向右不变，则负点电荷一直受到向左的电场力，从 A到B速度
一直减小，C错误；由题图丙可知负点电荷到达坐标为－ m和 m处时，电场强度大小不
同，方向相同，电场力不同，D错误．故选B.1．[φx图像的分析]如图甲所示，空间存在着平行于纸面的匀强电场，但方向未知，现
用仪器在纸面内沿互成90°角的x、y两个方向探测各点的电势情况，设O点的电势为零，
得到各点电势φ与到O点距离的函数关系图像，分别如图乙、图丙所示．下列关于该电场
的电场强度E的说法，正确的是( )
A．E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左上
B．E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左下
C．E＝100 V/m，与y轴正方向成30°角斜向右上
D．E＝200 V/m，与y轴负方向成30°角斜向左下
解析：根据电势φ与到O点距离的图像斜率代表场强可知，E ＝＝100 V/m，其方向
x
沿x轴负方向，E＝＝100 V/m，其方向沿y轴负方向，E＝＝200 V/m，其方向与y轴负方
y
向成θ角，tan θ＝＝，所以θ＝30°，斜向左下，D正确．
答案：D
2．[E x图像的分析]在x轴上O、P两点分别放置电荷量为q 、q 的点电荷，一带负电
p 1 2
的试探电荷在两电荷连线上的电势能E 随x变化的关系如图所示，其中A、B两点电势能
p
为零，BD段中C点电势能最大，则 ( )
A．q 是负电荷，q 是正电荷，且q>q
1 2 1 2
B．B、C间场强方向沿x轴负方向
C．C点的电场强度大于A点的电场强度
D．将一正点电荷从B点移到D点，电场力先做负功后做正功
解析：由题图和φ＝知A点的电势为零，越靠近O点电势越低，越靠近P点电势越高，
所以O点的电荷带负电，P点的电荷带正电，由题图知C点场强为零，根据E＝和电场叠
加原理，可以得到q>q ，故A正确；负点电荷从B到C点，电势能增大，根据φ＝可知电
1 2
势减小，由于沿着电场线方向电势降低，则知 B、C间场强方向沿x轴正方向，故B错误；
E x图像的斜率k＝＝＝qE，则C点的电场强度小于A点的电场强度，故C错误；因为
pB、C间电场强度方向沿x轴正方向，C、D间电场强度方向沿x轴负方向，则将一正点电
荷从B点移到D点，电场力先做正功后做负功，故D错误．
答案：A
考点 电场中的力、电综合问题
典例2 (2023·新课标卷)密立根油滴实验的示意图如图所示．两水平金属平板上下放
置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小
油滴．两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率
分别为v 、；两板间 加上电压后 ( 上板为正极 ) ，这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直
0
向下匀速运动．油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例
系数视为常数．不计空气浮力和油滴间的相互作用．
(1)求油滴a和油滴b的质量之比；
(2)判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比．
解析：(1)设油滴半径为r，密度为ρ，则油滴质量m＝πr3ρ
则速率为v时所受阻力f＝krv
当油滴匀速下落时，有mg＝f
联立解得r＝∝
可知＝＝
则＝＝.
(2)两板间加上电压后(上板为正极)，这两个油滴很快达到相同的速率，可知油滴 a做
减速运动，油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电．当再次匀速下落时，
对 a 由受力平衡 可得|q|E＋f＝mg
a a a
其中f＝mg＝mg
a a a
对 b 由受力平衡 可得f－qE＝mg
b b b
其中f＝mg＝2mg
b b b
联立解得＝＝.
答案：(1)8∶1 (2)油滴a带负电，油滴b带正电 4∶1
1．[应用能量观点分析带电质点的运动]如图所示，竖直面内有矩形ABCD，∠DAC＝
30°，以O为圆心的圆为矩形的外接圆，AC为竖直直径，空间存在范围足够大、方向由A
指向B的匀强电场(图中未画出)．将质量均为m的小球P、Q以相同速率从A点抛出，小
球P经过D点时的动能是小球在A点时动能的4倍．已知小球P不带电，小球Q带正电，
电荷量为q，重力加速度为g，该电场的电场强度大小为.则小球Q经过B点时的动能是小
球在A点时动能的( )A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
解析：由于匀强电场由A指向B，可知AD为等势线，设圆的半径为R，小球P经过D
点时的动能是小球在A点时动能的4倍，根据动能定理可得mg·R＝4E －E ＝3E ，小球
k0 k0 k0
Q从A点抛出到B点的过程中，根据动能定理可得mgRcos 60°＋qER＝E －E ，又E＝，
kB k0
联立解得E ＝4E ，则小球Q经过B点时的动能是小球在A点时动能的4倍．B正确．
kB k0
答案：B
2．[带电质点在复合场中的圆周运动]如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于
竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向
左的匀强电场中，现有一质量为 m、带正电的滑块(可视为质点)置于水平轨道上，滑块受
到的电场力大小为mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g.
(1)若滑块从水平轨道上距离B点s＝3R的A点由静止释放，滑块到达与圆心O等高的
C点时速度为多大？
(2)若滑块从水平轨道上距离B点s＝10R的A点由静止释放，求滑块到达D点时受到
轨道的作用力大小；
(3)改变s的大小，仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并从 G点飞出轨道，
求s的最小值．
解析：(1)设滑块到达C点时的速度为v ，从A 点到C点整个过程分析，由动能定理
C
得F ·(s＋R)－μmgs－mgR＝mv－0，解得v ＝.
电 C
(2)设滑块到达D点时的速度为v ，对从A到D过程由动能定理可得F ·s－μmgs－
D 电
mg·2R＝mv－0，解得v ＝，对通过D点时的滑块分析可得F ＋mg＝，解得F ＝0.
D N N
(3)将电场与重力场看成等效重力场，滑块在竖直平面内做圆周运动，要使滑块从 G点
飞出，则必须可以通过等效最高点，当恰好通过等效最高点时，满足题意的s最小．
等效重力由重力和电场力的合力提供，G′＝＝mg，等效重力与重力的夹角满足tan θ＝＝，所以θ＝37°，滑块恰好通过等效最高点时的速度设为v，v最小时，轨道对滑块的压
力为0，则此时满足G′＝m，对从A点静止释放至到达等效最高点过程分析，可得F (s
电 min
－Rsin 37°) －μmgs －mgR(1＋cos 37°)＝mv2－0，解得s ＝11.5R.
min min
答案：(1) (2)0 (3)11.5R
