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专题 01 数与式、方程与不等式
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1
1．（2025·河南安阳·模拟预测）− 的相反数是（ ）
2025
1 1
A． B．2025 C．− D．−2025
2025 2025
2．（2025·山西长治·模拟预测）山西省农业农村厅，山西省水利厅联合印发《全省推进农业节水增效行动
方案（2024－2027年）》（简称（方案》起旨在大力推进农业节水，提高农业用水效率，推动农业高质量
发展《方案》提出要坚持节水优先方针，到2025年，全省总灌溉面积达到2356万亩，农业用水总量控制
在43亿立方米之内．数据“2356万亩”用科学记数法表示为（ ）
A．2.356×107亩 B．23.56×106亩
C．2356×104亩 D．2.356×108亩
3．（2025·河南安阳·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， 在数轴上的
x x2−(m+n)x+mn=0 m n
对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快
慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周
√ l
期公式为2π ，其中l（单位：m）表示摆锤的长，g=10m/s．若某摆钟的摆锤长为0.9m，则在5min
g
内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：π≈3.14）
A．60 B．135 C．159 D．300
5．（2025·广东佛山·一模）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 （ ）
3−√2 a b (2+√2a)⋅b=
A．2 B．−1 C．0 D．−√2
6．（2023·河北衡水·二模）数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式
子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）
（1）(−a3) 2 =(−a2) 3 （×）
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（2）a3−a2＝a（×）
（3）a6÷a2＝a3（×）
（4）3a2−(−a2)＝2a2（√）
（5）a4・a2＝a8（×）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足|a+b+c|+ √b−4 + √5−2a =0，那么ab+bc
的值为（ ）
A．0 B．16 C．−16 D．−32
8．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组¿无解，则k的取值范围为（ ）
A．k>2 B．k≥2 C．k<−2 D．k≤−2
9．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图
案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12
块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 为常数，且 ，下
x ax2+bx+c=0(a,b,c a≠0)
列说法：
①若4a+2b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有一个根为0；
③若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个不相等的实根，则关于x的一元二次方程x2+c=0有两个不
相等的实根；
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
√5−1 1
1．（2025·陕西西安·一模）比较大小： （填“>”“<”“=”）．
3 3
12．（2025·陕西西安·一模）分解因式：ax2−4a y2= ．
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1
13．（2024·云南昆明·一模）若关于x的方程 x2−2kx−4k+1=0有两个相等的实数根，则
2
4k5+20k2+10
的值为 ．
k
3x−4 A B
14．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知 = + ，则A+B= ．
(x−1)(x−2) x−1 x−2
15．（2025·湖南娄底·模拟预测）若关于x的一元二次方程−2x2+bx+c=0有两个不相等的实数根
，已知 ，则 ．
x ，x (x >x ) x +x =2，x −x =4 c=
1 2 1 2 1 2 1 2
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的
“杨辉三角”．此图揭示了 （ 为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．
(a+b) n n
请仔细观察，填出 的展开式中所缺的项： ．
(a+b) 4 (a+b) 4=a4+4a3b+ +b4
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·山东临沂·一模）（1）计算：
(π−2024) 0−3×tan30°−|1−√3|+2−1
（2）解不等式组¿并求出它的所有整数解的和．
18．（2024·内蒙古包头·模拟预测）（1）先化简，再求值： ．其中 ，
(x−y) 2−3xy+x(x+5 y) x=1
y=−3；
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5 x−3
（2）解方程： −3= ．
x−4 4−x
19．（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：( 3 ) −x2−4x−4，其中 满足
+x+1 ÷ x
1−x x−1
x2+3x+2=0．
20．（2025·江西·模拟预测）一次数学活动课上，江老师要求大家化简(a2−1 b2−1) a+b，下面是
− ÷
a−b a−b √a2
小西和小赣两位同学的运算过程：
a2−b2 a2 a2−1 a b2−1 a
小西：原式= × 小赣：原式= × − ×
a−b a+b a−b a+b a−b a+b
a2 a(a2−b2−2)
=a+b× =a2 = =a−2
a+b a2−b2
(1)小赣第一步的运算依据是______；
(2)江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程；
(3)若a，b满足√a−2+|1−b|=0，求这个式子的值．
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21．（2024·广东广州·三模）已知 ( b) ( b2+2ab)．
A= 1+ ÷ a+
a a
(1)化简A；
(2)若a、b是方程x2−x−1=0的两根，求A的值．
22．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知 ， 是抛物线 与 轴交点的横
x x (x ≠x ) y=x2−2mx+m2−m+1 x
1 2 1 2
坐标．
(1)求m的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
x2+x2−x x =7 m
1 2 1 2
23．（2025·广西柳州·一模）某店销售某种进价为40元/kg的产品，已知该店按60元/kg出售时，每天可
售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg．
(1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低x元，则每天的销售量是______千克；
（用含x的代数式表示）
(2)若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？
(3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
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24．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出
一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵
1+2+3+4+5+6=21，21能被3整除，∴615 432能被3整除．
对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明：
（i）星星同学对三位数进行了证明：设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c．
∵100a+10b+c=+a+b+c＝3()+a+b+c，∴若a+b+c能被3整除，则该三位数能被3整除．
（ii）宁宁同学对四位数进行了证明：
设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d．
∵1000a+100b+10c+d=+(a+b+c+d)=3()+(a+b+c+d)，
∴若a+b+c+d能被3整除，则该四位数能被3整除．
(1)请写出横线上所缺内容．
(2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下：
1000a+100b+10c+d=1001a−a+99b+b+11c−c+d……
请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件．
25．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：．
（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；
1 1
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为 ×2×3，第2个图案中，“★”的个数可表示为 ×3×4，
2 2
1
第3个图案中，“★”的个数可表示为 ×4×5，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；
2
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【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多
4．
7
