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专题 01 集合综合归类
目录
题型一：相等集合.................................................................................................................................................................1
题型二：相等集合求参.........................................................................................................................................................3
题型三：集合中的元素.........................................................................................................................................................5
题型四：集合元素个数求参.................................................................................................................................................9
题型五：子集与真子集关系...............................................................................................................................................11
题型十：并集运算求参.......................................................................................................................................................26
题型十一：补集与全集.......................................................................................................................................................28
题型十二：补集与全集运算求参.......................................................................................................................................30
题型十三：韦恩图应用.......................................................................................................................................................32
题型十四：交并补混合型运算...........................................................................................................................................34
题型十五：交并补综合运算求参.......................................................................................................................................38
题型十六：集合新定义型...................................................................................................................................................40
题型一：相等集合
集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1．（2023·浙江·三模）设函数 的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，
，则( )
A． B． C．A=B D．
【答案】C
【分析】先设 ，由元素与集合的关系可得 ,即 ,
再设 ，同理可得 ，即 ,即可得 .
【详解】解：设 ，则 ，则 ，即 ,即 ,
设 ，则 ，不妨设 ，则 ，
当 时，因为函数 为单调递增函数，则 ，即 ，与已知矛盾，
当 时，因为函数 为单调递增函数，则 ，即 ，与已知矛盾，
当 时，因为函数 为单调递增函数，则 ，即 ，与已知相符，
综上可得 ，即 ，即 ，即 ,
即 ，
故选C.
【点睛】本题考查了集合的包含关系及元素与集合的关系，属中档题.2．（21-22高三上·浙江金华模拟）已知集合 ，
则满足 且 的集合N的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】分 、 、 三种情况，
分别构造函数，利用导数判断函数单调性和零点个数可得答案.
【详解】因为 ，所以 成等差数列，
因为 ，所以 中的三个元素成等差数列，
因为 ，所以 ，
当 时，
令 ，由
得 ， 时 ，即 在 上无解，
此时 构不成集合N；
当 时，令 ， ，
因为 ，所以 ， 在 单调递增，
且 ，
，所以 在 有一个零点，
即 有一个解，此时 构成集合N；
当 时，令 ，
，
因为 ，所以 ， 在 单调递减，
且 ，
，所以 在 有一个零点，
即 有一个解，此时 构成集合N；
综上，集合 的个数为2个.故选：C.
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合 ， ，
，则M，N，P的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】先将集合 中元素化为统一形式，然后进行判断即可.
【详解】 ，
,
，
故 ,
故选：
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 ， ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将集合特征相关表达式变形，可得集合间关系，即可得答案.
【详解】 ， ，故 ；
当 时， ，当 时， ，则 .
故选：B．
5．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知 ， ，若集合 ，则
的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用集合相等，求出 ，再根据互异性求出 的取值情况并检验即可.
【详解】根据题意, ,故 ，则 ,
则 ，由集合的互异性知 且 ，
故 ，则 ， 即 或 （舍），
当 时， ，符合题意，
所以 .
故选：B.
题型二：相等集合求参
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无
关）
1．（22-23高三 ·江苏苏州·阶段练习）设 ､ ､ 是两个两两不相等的正整数.若 ， ， ，
， ，则 的最小值是（ ）
A．1000 B．1297 C．1849 D．2020
【答案】B
【分析】不妨设 ，则 ，根据集合相等的定义可得，分析可得 为偶数，从而可得可
得 为奇数，再分析计算即可得出答案.
【详解】解：不妨设 ，则 ，
因为 ， ， ， ， ，
所以 ，
因为 为偶数，
所以 ， ， 必为两奇一偶，从而可得 为奇数，
又因为 ，所以 为不小于3的奇数，
若 ，则 ， ， ， ， ，
故 ，且 ，所以 ，不符合要求，
若 ，则 ， ， ， ， ，故 ，解得 ，
此时， ，
所以 的最小值是1297.
故选：B.
【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设 ，判断 ， ，
三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力.
2．（2022·上海杨浦·预测）已知函数 ，记集合 ，集合
，若 ，且都不是空集，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，代入集合 得到 ，讨论 和 两种情况，得到 无解，计
算得到答案.
【详解】 都不是空集，设 ，则 ； ，则 .
当 时：方程的解为 此时 ，满足；
当 时： 的解为 或
，则 或
，则 无解，
综上所述： ，
故选
【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】求出集合 ，利用 ，求出 的值即可.
【详解】结合题意：因为 ，结合复合函数的单调性可知: 在 单调递增，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .故选:A.
4．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知函数 ，若非空集合
，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设 的解集为 ，从而得 ，进而得到 且 ，又
， 为方程 的两个根，可得 ，由此得到关于 的不等式组，解之即可得解.．
【详解】因为 ，
不妨设 的解集为 ，则由 得 ，
所以 ，
又 ， ，所以 且 ，
因为 的解集为 ，所以 是 ，即 的两个根，
故 ，即 ，
此时由 ，得 ，则 ，
因为 ，显然 ，且 开口向上，对称轴为 ，
所以 ，则 ，
又 ，解得 ，即 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设 的解集为 ，进而得到 且 ，从
而得解.
5．（23-24高三·北京·阶段练习）已知函数 ，集合 ，集合
，若 ，且都不是空集，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】因为集合 都不是空集，设 ，则 ， ，则 ，即可求出
的值，然后对 分类讨论即可求解.
【详解】因为集合 都不是空集，设 ，则 ，
，则 ，
所以 ， ，
当 时，方程的解为 ，此时 ，满足题意；
当 时，方程的解为 或 ，
，则 或 ，
由 ，则 无解，
则 ，解得 ；
综上 ，所以 ，
故选:B.题型三：集合中的元素
集合中元素个数判断：
1.若集合是点集，则多是图像交点。
2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。
1．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知 是等差数列， ，存在正整数 ，使得
， .若集合 中只含有4个元素，则 的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】考虑 不符合题意， 时，列举出满足条件的集合，再考虑 时不成立，得到答案.
【详解】当 时， ，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当 时， ，取 ，此时 ，满足条件；
当 时， ，即 ， ，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同
的正弦值，故不满足；
当 时， ，取 ，此时 ，满足条件；
当 时， ，取 ，此时 ，满足条件；
当 时， ，取 ，此时 ，满足条件；
故选：C
2．（23-24高三·上海嘉定·）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的
元素都为正数；②对于任意 ，都有 ；③对于任意 ，都有 ；则下列
说法正确的是（ ）
A．若P有2个元素，则Q有3个元素
B．若P有2个元素，则 有4个元素
C．若P有2个元素，则 有1个元素
D．存在满足条件且有3个元素的集合P
【答案】C
【分析】若集合 中有 个元素，设 ，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断
出选项ABC；假若 有 个元素，设 ，再根据题设条件推导分析，可得到 中还有第四个元素，
推出矛盾，从而可判断出D选项.
【详解】若 有2个元素，设 ，则 ，
因为 至少有 个元素，所以 中除 外至少还有一个元素，
不妨设 ， ，则 ，
若 ，则 且 ，所以 ，与假设矛盾，所以 ，
所以 或 ，
当 时，则 ，所以 ，
若 ，则 ，与 矛盾，所以 ，同理可知 ，
所以此时 ， ；
当 时，则 ，所以 ，
若 ，则 ，与 矛盾，所以 ，同理可知 ，
此时 ， ；
由上可知，当 有2个元素，则 有 个元素， 有 个元素， 有 个元素，
故A错误，B错误，C正确；
不妨假设 有 个元素，设 ，则 为互不相等的正数，
由③可知： ，
又因为 为互不相等的正数，所以 也为互不相等的正数，
由②可知： 都是集合 的元素，
因为 为互不相等的正数，所以 都是不等于 的正数，所以 ，
又因为 为互不相等的正数，所以 ，
考虑到 和 ，若 ，则 为互不相等的正数，
又因为 ，所以 ，所以 是与 不相等正数，
因为 都是集合 的元素，所以集合 中至少有 个元素，这与假设矛盾，
因此考虑 的情况，所以 ，同理可得 ，所以 ，
所以 ，这与集合中元素的互异性矛盾，所以 有 个元素不可能成立，故D错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在
于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中
元素个数的目的.
3．（2022·全国·模拟预测）若函数 满足对 都有 ，且 为R上
的奇函数，当 时， ，则集合 中的元素个数为
（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】根据已知可推出函数 周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化
为函数图象的交点问题解决.
【详解】由 为R上的奇函数,①，
又 ②，
由②－① 为周期为2的周期函数,
而又 ，
当 时 当 时, ．
又当 时， 单调递增，且 ．
故可作出函数 的大致图象如图：
而集合A中的元素个数为函数 与 图象交点的个数，
由以上分析结合函数 性质可知，3为集合A中的一个元素，
且y=f（x）与 在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，
∴集合 中的元素个数为13．
故选：C．
4．（22-23高三·北京·模拟）对于集合 ，给出如下三个结论：①如果
，那么 ；②如果 ，那么 ；③如果 ， ，那么
.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】①根据 ，得出 ，即 ；
②根据 ，证明 ，即 ；
③根据 ， ，证明 ．
【详解】解：集合 ， ， ，
对于①， ， ，
则恒有 ，
，即 ， ，则 ，①正确；
对于②， ， ，
若 ，则存在 ， 使得 ，
，
又 和 同奇或同偶，
若 和 都是奇数，则 为奇数，而 是偶数；
若 和 都是偶数，则 能被4整除，而 不能被4整除，
，即 ，②正确；
对于③， ， ，可设 ， ， 、 ；
则
那么 ，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选 ．
【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．
5．（22-23高三·山东青岛·阶段练习）对于正实数 ，记 为满足下述条件的函数 构成的集合：
且 ，有 .下列结论中正确的是
A．若 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则
D．若 且 ，则
【答案】A
【详解】试题分析：对于 即有 ，令k=
，有-α＜k＜α，不妨设 ，即有-α ＜k＜α ，-α ＜k＜α ，因此有-α -α ＜
1 f 1 2 g 2 1 2
k+k＜α +α ，因此有 ．故选A．
f g 1 2
考点：本题考查了元素与集合关系的判断
点评：本题的难点进行简单的合情推理，在能力上主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力
题型四：集合元素个数求参
集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关
基础知识的积累和应用。
1．（23-24高三上·上海·模拟）设 且 ，n为正整数，集合 ．有以下两个命题：
①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则 ，
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
【答案】A
【分析】
对于①命题，令函数 ，分 和 两种情况，利用零点存在定理得即可判断；对于
②命题，通过举例说明.
【详解】对于①命题，设 ，令函数 ，因为 ， ，
所以存在 有 ，
当 时， ，
所以存在 有 ，
对于 ，因为 是偶函数，
所以 和 情况一样，故①是真命题；
对于②命题，通过①得出一下结论： 越小，集合 元素数量越少，同理得出如果集合 只能有一个元素，
只能是 的区间存在一个零点，
因此先讨论 的零点情况（如果 只有一个零点， 也只有一
个零点），
其图象如下图：
即 时，也满足
故②是假命题.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于零点存在定理的应用以及由①得出的结论.
2．（22-23高三·北京·阶段练习）设集合 的最大元素为 ，最小元素为 ，记 的特征值为 ，
若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知 ， ， ，…， 是集合 的元素个数均不相同的非
空真子集，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】根据题设描述只需保证各集合中 （ ）尽量小，结合已知及集合的性质有 最大
时 ，进而分析 的取值.
【详解】由题设 ， ， ，…， 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使 最大，则各集合中 （ ）尽量小，
所以集合 ， ， ，…， 的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设 ，有 ，
当 时， ，
当 时， ，
只需在 时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故 的最大值为11.
故选：B
【点睛】关键点点睛：注意 最大则各集合中 （ ）尽量小，并求出该情况下特征值之和
关于n的公式，再分析其最大取值.3．（22-23高三江西南昌·阶段练习）各项互不相等的有限正项数列 ，集合 ，集合
,则集合 中的元素至多有个（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据各项互不相等的有限正项数列 ，不妨假设数列是单调递增的，进而分类讨论，利用数列
的求和公式可求得答案
【详解】因为各项不相等的有限正项数列 ，
所以不妨假设数列是单调递增的，
因为集合 ，集合 ，
所以 时， 最多可取 ，
时， 最多可取 ，
……，
时， 最多可取 ，
所以集合 中的元素至多有 ，
故选：A.
4．（22-23高三·上海杨浦·阶段练习）已知集合 ，对于它的任一非空子集A，可以将A
中的每一个元素k都乘以 再求和，例如 ，则可求得和为 ，对S
的所有非空子集，这些和的总和为
A．508 B．512 C．1020 D．1024
【答案】B
【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是 .
【详解】因为元素 在集合S的所有非空子集中分别出现 次，则对S的所有非空子集中元素
k执行乘以 再求和操作,则这些和的总和是
.
故选B
【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.
5．（2023高三·全国·阶段练习）已知函数 ， ， ， ，
集合 只含有一个元素，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解出不等式 后，结合集合交集的定义计算即可得.
【详解】 ，即 或 ，
对 ，即 ，
解得 ，
对 ，即 ，解得 ，
即 ，
由 只含有一个元素，且 ，故有 ，即 .
故选：D.
题型五：子集与真子集关系
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的
思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
1．（20-21高三·江苏扬州·阶段练习）已知集合 ，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足
A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
【答案】A
【分析】利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应 的集合
个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】集合 知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可： 的集合为 ，
而 有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为 ，而B有 种，
集合对(A,B)的个数为 ；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为 ，而B有 种，
集合对(A,B)的个数为 ；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为 ，
而B有 种，集合对(A,B)的个数为 ；
∴一共有 个，
故选：A
【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属
于难题.
2．（22-23高三·湖北武汉·强基 ）设A是集合 的子集，只含有3个元素，且不含相邻的
整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32 B．56 C．72 D．84
【答案】B
【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.
3．（22-23高三·湖南常德·阶段练习）设集合 ,对 的任意非空子集A，定义
为集合A中的最大元素，当A取遍 的所有非空子集时，对应的 的和为 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意， 的任意非空子集A共有 个，在所有非空子集中每个元素出现 次，可知含有n
的子集有 个，不含n含 有 个，不含 ，含 的有 个以此类推有 个子集不含
n,n-1,n-2,…k-1,而含有k.利用错位相减法求出其和.
【详解】由题意， 的任意非空子集A共有 个，在所有非空子集中每个元素出现 次，可知含有n
的子集有 个，不含n含 有 个，不含 ，含 的有 个以此类推有 个子集不含
n,n-1,n-2,…k-1,而含有k,因为 为集合A中的最大元素
所以 ，错位相减可得 ，所以 = ，故选
A.
【点睛】解决此类问题的关键是读懂并弄通题意，找出规律是关键，然后结合数列求和，采用错位相减法
即可求出.
4．（21-22高三·福建福州·）给定全集 ，非空集合 满足 ， ，且集合 中的最大元
素小于集合 中的最小元素，则称 为 的一个有序子集对，若 ，则 的有序
子集对的个数为
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】B
【详解】 时， 的个数是
时， 的个数是
时， 的个数是 ，
时， 的个数是1
时， 的个数是 ，时， 的个数是
时， 的个数是1，
时， 的个数是
时， 的个数是1
时， 的个数是1
时， 的个数是
时， 的个数是1、
时， 的个数是1
时， 的个数是1
时， 的个数是1
的有序子集对的个数为49个，
5．（2022高三上·河北衡水·专题练习）对于任意两个正整数 ，定义某种运算 ，法则如下：当
都是正奇数时， ；当 不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合
的真子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，当 都是正奇数时， ；当 不全为正奇数时， ；
若 都是正奇数，则由 ，可得 ，此时符合条件的数对为（
满足条件的共8个；
若 不全为正奇数时， ，由 ，可得 ，则符合条件的数对分别为
共5个；
故集合 中的元素个数是13，
所以集合 的真子集的个数是
故选C．
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想
进行列举，
题型六：子集型求参
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有 ，则要讨论集合B 是否是空
集。
1．（2023·广东深圳·模拟预测）已知 且 ，若集合 ， ，
且 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】求出集合B，再由给定条件，对a分类讨论，利用数形结合及构造函数的方法，利用导数探讨函
数最小值求解作答.
【详解】依题意， ， ，且 ，
当 时，作出函数 与 的大致图象，
则 ，即 ，
所以 ，即 ；
当 时，设 ，
若 ， ，则 恒成立， ，满足 ，
于是当 时， ，当且仅当 ，即不等式 对 成立，
，由 得 ，当 时， ，当 时，
，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
于是得 ，即 ，变形得 ，解得 ，
从而得当 时， 恒成立， ，满足 ；
综上，实数a的取值范围是 或 .
故选：B.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决
问题.
2．（22-23高三·江苏常州·模拟）对于集合A，B，我们把集合 且 叫做集合A与B的差集，
记作 ．若集合 ，集合 ，且 ，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先结合差集的定义，由 得 ，再利用基本不等式化简集合 ，分类讨论 的取值得
到集合 ，从而利用集合的包含关系求得a的取值范围.
【详解】根据差集的定义，由 可得 ，因为 ， ，
又因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，故 ，
由 得 ，
令 ，得 或 ，
当 ，即 时，上述不等式解得 ，即 ，显然此时集合 没有任何包
含关系，不满足题意；
当 ，即 时，上述不等式化为 ，显然无解，即 ，显然 不成立，不满足题
意；
当 ，即 时，上述不等式解得 ，
因为 ，所以由数轴法可得 ，故 ；
综上： ，即 .
故选：A.
3．（2022·广东广州·二模）已知 且 ，若集合 ，且 ﹐则
实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合M，再由给定条件，对集合N分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答.
【详解】依题意， ， ，令 ，
当 时，函数 在 上单调递增，而 ，则 ，使得
，
当 时， ，当 时， ，此时 ，因此， ，
当 时，若 ， ，则 恒成立， ，满足 ，
于是当 时， ，当且仅当 ，即不等式 对 成立，
，由 得 ，当 时， ，当 时，
，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，于是得 ，
即 ，变形得 ，解得 ，从而得当 时， 恒成立， ，满足
，所以实数a的取值范围是 或 .
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决
问题.
4．（20-21高三上·湖北模拟）已知集合 ，集合 ，若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，由 单调性和 可求得集合 ，将问题转化为
在 上恒成立，化简不等式得 ，构造函数 ，由
导数可确定其单调性；分别在 、 和 三种情况下，根据不等式恒成立求得取值范围.
【详解】令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ， 的解集为 ， ，
为 的解集的子集，
即当 时， 恒成立；
由 得： ，
即 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
①当 时， ， ， ，即 在 上恒成立，
当 时， ，则 ；
当 时， ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ， ；
综上所述： ；
②当 时， ， ，又 ， ，
， 满足题意；
③当 时，
若 恒成立，则 在 上恒成立，
令 ，则 ，
在 上单调递减， ，即 ，又 ，，
令 ，则 ，
又 ，则 ，
即 在 上不恒成立，
不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题以集合为载体，考查了利用导数求解不等式恒成立问题，解题关键是能够根据
集合的包含关系将问题转化为不等式恒成立，通过同构的思想将问题进一步转化为函数的函数值之间的比
较问题，通过构造函数，结合函数的单调性来进行求解.
5．（22-23高三·上海普陀·模拟）设 .若对任意 ，都存在 ，使得
，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知， ，若对任意 ，都存在 ，使得
成立，得 ，只需 ， 即可，进而
将选项中的角，依次代入验证，即可求解.
【详解】因为对任意 ，都存在 ，使得 成立，
所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，
若对任意 ，都存在 ，使得 成立，
得 ，只需 ， 即可，
因为 ，则 ，
对于A：当 时， ，则 ，因为 ，
所以 的取值不符合条件，故A错误；
对于B：当 时， ，则 ，因为 ，
的取值符合条件，故B正确；
对于C：当 时， ，则 ，
因为 ， 的取值不符合条件，故C错误；对于D：当 时， ，则 ，
因为 ， 的取值不符合条件，故D错误；
故选：B
题型七：交集
交集：
1．（23-24高三·上海·模拟）已知函数 ， 为高斯函数，表示不超过实数 的最大整数，
例如 ， .记 ， ，则集合 ，
的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出集合 ，然后利用集合的交集运算从而求解.
【详解】由题意得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
综上： ，所以 ，故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对 分情况讨论具体的取值求出集合 ，
从而求解.
2．（22-23高三·上海浦东新·模拟）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：① ， ；②对于X的任意子集A，B，当 且 时，有 ；③对于X的
任意子集A，B，当 且 时，有 ，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：
是集合 得一个“M—集合类”.若 ，则所有含 的“M—集合
类”的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】确定M中一定含有 ，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答
案.
【详解】 的子集有 ，
由题意知M中一定含有 ，
则M中可以含有的其他元素从剩余的 5个集合中选取；
当剩余的5个集合都不选时， ，共1个；
当只取1个时， 或 ，
或 ，满足题意，此时M有3个；
当取2个时， 或 ，
或 ，满足题意，此时M有3个；
当取3个时， 或 ，
或 或 ，满足题意，此时M有4个；
当取4个时，没有符合题意的情况；
当5个全选时， ，共1个，
故所有含 的“M—集合类”的个数为 ，
故选：D
3．（20-21高三·四川眉山·阶段练习）设 ， 与 是 的子集，若 ，则称 为
一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定 与 是两个不同的“理想配集”）的
个数是（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，子集 和 不可以互换，从子集 分类讨论，结合计数原理，即可求解.
【详解】由题意，对子集 分类讨论：
当集合 ，集合 可以是 ，共4种结果；
当集合 ，集合 可以是 ，共2种结果；
当集合 ，集合 可以是 ，共2种结果；
当集合 ，集合 可以是 ，共1种结果，
根据计数原理，可得共有 种结果.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理
进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
4．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）已知集合 ，则集合
中元素的个数是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据对称性画出图像，计算圆心 到直线 的距离 得到答案.
【详解】根据对称性画出图像，如图所示：考虑第一象限，圆心 到直线 的距离为 ，相离
根据对称性得到集合 中元素的个数是
故选
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，集合的交集，意在考查学生的综合应用能力.
5．（21-22高三·上海模拟）设 ，则所有 的交集为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对勾函数的性质逐一考查所给函数的值域，结合交集的定义整理计算即可求得最终结果.
【详解】利用对勾函数的性质可得：
函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数的最小值为2，最大值为 ，结合k的值可得所有的 的交集为 .
【点睛】该题考查的是有关集合的交集的求解问题，在解题的过程中，需要明确对勾函数的性质，在哪个
区间上单调增，在哪个区间上单调减，从而求得相应函数的值域，再结合交集的特征求得结果.
6.（2024年高考1卷）已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 ，由交集 的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .故选：A.
题型八：交集运算求参交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B _A；
②A∩B B；
③A∩A＝A；
④A∩ ＝ ；
⑤A∩B=B∩A.
1．（2023·上海普陀·一模）设 、 、 、 、 是均含有 个元素的集合，且 ，
，记 ，则 中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，分析可知 ，然后对 的取值由小到大
进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设 、 、 、 是集合 互不相同的元素，若 ，则 ，不合乎题意.
①假设集合 中含有 个元素，可设 ，则 ，
，这与 矛盾；
②假设集合 中含有 个元素，可设 ， ，
， ， ，满足题意.
综上所述，集合 中元素个数最少为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大
进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
2．（22-23高三·江苏·模拟）设集合 ， （ ）.
当 有且只有一个元素时，则正数 的所有取值为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】依题画出满足题意的图形，因为 有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所
以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.
【详解】 ， ，即圆M： 的上半部分，如图：圆M的圆心坐标为 ，半径为2，圆N的圆心坐标为 ，半径为r，
因为 有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，
所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，
①外切： ，d为圆心距，
，此时 ，
②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径 ，
圆（3）处的半径 ，
所以 ，
综上，正数 的所有取值为 或 .
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由因为 有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，
进而分析计算.
3．（22-23高三·湖北荆门模拟）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）， ，
，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意求出﹣4≤x≤4，结合正弦函数的性质可得 ，从而可求出ω的取值范围.
【详解】解：∵f′（x ）＝0，∴f（x ）是f（x）的最大值或最小值，
0 0
又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上，
∴y＝±1代入 得， ，解得﹣4≤x≤4，
又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴ ，且ω＞0，
解得 ，∴ω的取值范围是 ．
故选：B．【点睛】关键点睛：
本题的关键是求出 的取值范围，再结合三角函数的性质列关于ω的不等式.
4．（2020·山西晋中·一模）函数 ，若存在正实数 ，其中 且 ，使得
，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】求出函数 的值域为 ，由此得出 ，则由不等式的性质可知
， .由
可将本题转化为 ，据此可得关于 的不等式组，从而求出 的取值范围，
进而求出 的最大值.
【详解】 ，
当 时， ， ，
， ，
即 ，所以 ，
，
由 知，
集合 ，
因为 且 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 的最大值为8.
故选：C．
【点睛】本题考查了函数值域的求解，不等式的性质，考查了转化的思想，计算能力，难度较大.
5．（2020高二·浙江·专题练习）已知集合 ， ，若 ，且
中恰好有两个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 中不等式的解集确定出 ,求出 集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由 的范围
判断出两整数解为 和 ,从而得到关于 的不等式.
【详解】 ，
令 ，
由题意，
，
又 ，所以 ，
设 ，又 .
所以要使 中恰好有两个整数解，
则只能是 和 ，
所以应满足 ,
解得 .
故选A
【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出 中的两个整数解为4和5和结合一元二
次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题.
题型九：并集
并集：
1．（22-23高三·辽宁·阶段练习）已知 ， ，且 ，其中
，若 ， ，且 的所有元素之和为56，求 （ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
【答案】A
【分析】根据 可得 ，可得 ，再根据 可得 ，
分 和 两种情况来讨论即可得解.
【详解】由 得 ，所以 ，
，所以 ，
（1）若 ，由 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，从而 ，所以 ，所以 ，
即 或 ，与 矛盾；
（2）若 ，则 ，从而 ，所以 ，即 ，
从而 ，所以 ， ，所以 或 ，又 ，所以 ， ，又 ，所以 ，
由 代入可得： ，所以 或 （舍），
所以 ，故选：A
2．（22-23高三北京·阶段练习）设全集 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先弄清 的含义，再求 ，最后再求补集即可得答案.
【详解】由 ，可得 ，所以集合 表示的是直线 去掉点 后的所有点的集
合，集合 表示的是坐标系内不在直线 上的点的集合，所以 .
故选：B.
3．（22-23高三上·北京海淀·模拟）已知非空集合 满足以下两个条件：
（ⅰ） ， ；
（ⅱ） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素，
则有序集合对 的个数为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中
元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．
【详解】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素
1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素， 且 ，此时仅有一种结果 ，
；
2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素， 且 ，此时集合A中必有一个元素为4，集合
B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：
（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ；（4）
， ．共计4种可能．
3、可以推测集合A中不可能有3个元素；
4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可．共计4
种可能．
5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可．共1种
可能．
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．答案选A．
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．
4．（2022山东威海·模拟）若 ， ，定义 ，
则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意 ，，
所以 ,
所以
考点：新定义及集合的基本运算．
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两
集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求 ，即是集合A或B的元素，
但不是集合A,集合B共有的元素,一般要在数轴上表示出来，形象直观，一定要注意端点值，看是否包括，
是易错点．
5．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
解一元二次不等式得集合A，求函数值域得集合B，然后利用并集运算求解即可.
【详解】
集合 ，
又 ，所以 ，
则 .故选：A
题型十：并集运算求参
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并
注意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
1．（22-23高三·湖南长沙·模拟）已知 表示不超过 的最大整数，例如 ， ，方程
的解集为 ，集合 ，且 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知 ，解绝对值不等式求出集合A，分类讨论 的取值范围，求出集合B，
由 ，列出满足条件 的不等式组，解不等式即可求解.
【详解】由题意可得 ，解得 或 ，
所以 或 ，
所以
，
当 时， ，由 ，
则 ，解得 ；
当 时， ，此时 不成立，故 不取；
当 时， ，
则 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、含参数的一元二次不等式的解法以及根据集合的运算结果求参
数的取值范围，属于中档题.
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由不等式的解法和集合的运算，求得 或 ，结合 ，列出不等
式组，即可求解.
【详解】由集合 ，且 ，
所以 或 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D．
3．（22-23高三·北京海淀模拟）已知集合 ， ，为使得 ，则实数
a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】A
【分析】先化简集合 ，再根据已知得到 ，解不等式即得解.
【详解】由题得 ， ，
因为 ，所以 .所以 .
故选：A
4．（22-23高三·全国·课后作业）设集合 ， ，若
，则实数a的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】集合 分别表示圆及其内部所有点组成的集合，由题意可知两个圆内含或内切，列式求解即
可.
【详解】集合 表示以 为圆心，半径 的圆及其内部所有点组成的集合，
集合 表示以 为圆心，半径 的圆及其内部所有点组成的集合，
因为 ，所以两个圆内含或内切，
从而 ，即 ，解得 .
故选：D．
5．（22-23高三上海浦东新·模拟）已知集合 ，集合 ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将集合 化简，根据条件可得 ，然后分 ， ， 讨论，化简集合 ，列出不
等式求解，即可得到结果.
【详解】因为 或 ，解得 或 。即 ，
因为 ，所以
当 时， ，满足要求.
当 时，则 ，由 ，可得 ，即
当 时，则 ，由 ，可得 ，即
综上所述， 故选:B.
题型十一：补集与全集全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
补集
对于一个集合A，由全集U中 不属于集合 A 的所有元素组成的集合称
自然语言
为集合A相对于全集U的补集，记作∁ A
U
符号语言 ∁ A＝ { x | x ∈ U ，且 x ∉ A }
U
图形语言
1．（2021·浙江杭州·模拟预测）定义集合 ，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，
，则由 围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积
一定相等
D．满足 且 的点 构成区域的面积为
【答案】C
【分析】首先确定集合 和 所表示的区域，再数形结合判断选项是否正确即可.
【详解】对于集合 ，
原点到直线 的距离为 ，
所以集合M表示圆 上所有点的切线上的点，
对于集合 ，
当 时， 表示图中三角形AOD区域;
当 时， 表示图中三角形AOB区域;
当 时， 表示图中三角形BOC区域;
当 时， 表示图中三角形COD区域;
所以集合 表示图中ABCD区域，对于A选项，由图可知 ，不是空集，故A错；
对于B选项， 表示图中圆内部挖去ABCD区域剩下的部分，不是空集，故B错；
对于C选项， 表示在点 处的切线，
表示在点 处的切线，
表示在点 处的切线，三切点均在圆上，易
知三切点构成正三角形，由对称性可知C正确；
对于D选项，由B选项知， 且 则P点在圆内部挖去ABCD区域剩下的区域内，面积为 ，
故D错；
故选C.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系问题，在解题的过程中，要善于数形结合，代数几何化之后，
可以辅助我们解题，达到事半功倍的效果.
2．（23-24高三·湖北·阶段练习）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，而 ，
故 ，故 ，
故选：D.
3．（23-24高三上·湖北·模拟）已知M，N均为 的子集，若存在 使得 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知存在 ，从而可知答案.
【详解】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故 ，故A正确；
由于题目条件是存在 ，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故BCD错误；
故选：A.
4．（22-23高三·北京·模拟）设全集 ，集合 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.
【详解】全集 ，集合 ，
或 ，所以 ，
则 ．
故选：B．
5．（22-23高三·福建福州·模拟）已知不等式 解集为 ，若不等式
解集为B，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式 解集为 可得 ，从而求出 ，再利用集合
补集的定义求解即可.
【详解】因为不等式 解集为 ，
所以 ，
所以 可化为 ，则 ，
所以 ，解得： ，
所以 ，
故选：B.
6.（2024年全国甲卷理）集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合 的定义求出 ，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
题型十二：补集与全集运算求参全集与补集运算的性质：
1．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的补集运算得到 ，把 转化为 ，最后利用包含关系得到答案.
【详解】因为 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
2．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）设集合 或 ， ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得 ，再结合集合 及 ，运算即可得解.
【详解】由集合 或 ，则 ，
又集合 且 ，则 ，
故选：B.
3．（20-21高三·江苏南京·模拟）已知集合 ， ．若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【解析】首先根据题意，求得 或 ，由 可以得到 ，根据子
集的定义求得参数所满足的条件，得到结果.
【详解】 ，
∵ ．∴ 或 ，
∵ 即 ，∴ 或 ．
即 或 ，即实数 的取值范围是 或 ．
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的补集，根据子集求参数的取值范围，属
于简单题目.
4．（22-23高三·全国·课后作业）设集合 ，全集 ,若 ,则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式 得到 ，再求出 ，利用数轴法即可得到 .
【详解】由 ，解得 ，故
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，由数轴法得 .
故选：C.
5．（22-23高三·河北邢台·阶段练习）已知全集 ，集合 ，
若 的元素的个数为4，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合补集的结果个数，即可容易求得参数范围.
【详解】若 的元素的个数为4，则
故选：A.
【点睛】本题考查由集合的补集元素个数求参数范围，属基础题.
题型十三：韦恩图应用
韦恩图：
（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
1．（20-21高三·上海浦东新·阶段练习）定义 ，设 、 、 是某集合的三个子集，
且满足 ，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】作出示意图，由 可知两个阴影部分均为 ，根据新定义结合集合并集的运
算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】如图，由于 ，
故两个阴影部分均为 ，
于是 ，（1）若 ，则 ， ，
而 ，
成立；
（2）反之，若 ，
则由于 ， ，
，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想
的应用，属于较难题.
2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合 ， ，则图中阴影部分表示的集
合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简集合A，根据集合的运算求解.
【详解】 ，
，
图中阴影部分表示的集合是 ,
．
故选：B．
3．（2022·河北·模拟预测）已知集合 ， ，图中阴影部分为集合M，则M
中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】由Venn图得到 求解.
【详解】如图所示 ，
， ，解得 且 ，
又 ， ， ，
，所以M中元素的个数为3
故选：C
4．（2024高三·全国·专题练习）已知全集 ，集合 ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可.
【详解】全集 ，集合 ， 满足 ，绘制Venn图，如下：
对于A： ，A错误；对于B： ，B错误；
对于C： ，C正确；对于D： ； D错误；
故选：C.
5．（2023·四川南充·一模）已知全集 ，集合 ， ，则能表示
A，B，U关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算出集合 、 后结合集合的关系即可得.
【详解】由 ，得 ，解得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
则 ，又 ， ，故选项C正确.
故选：C.
题型十四：交并补混合型运算集合的并、交、补运算：
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集合A的补集
符号 记为
，或 ，且
表示
，且
Venn图表
示(阴影部
分)
由全集 中不属于集合 的所
由所有属于集合 或属于集合 由所有属于集合 且属于集
意义 有元素组成的集合
的元素组成的集合 合 的元素组成的集合
1．（22-23高三上·河北衡水模拟）若集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合 ，然后再逐个分析判断即可.
【详解】由 ，得 ，解得 或 ，所以 或
，因为 ，所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，所以A错误，
对于B，因为 或 ， ，
所以 ，所以B正确，
对于C，因为 ，所以C错误，
对于D，因为 或 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以D错误，
故选：B
2．（21-22高三上·河北保定模拟）设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.
【详解】对于A， ，当 时，结论不成立，则A错误；对于B, ，当 时，结论不成立，则B错误；
对于C， ，当 时，结论不成立，则C错误；
对于D，因为 ， ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，则
D正确.
故选：D
3．（2023·湖北·模拟预测）从集合 的非空子集中随机取出两个不同的集合A， ，则在
的条件下， 恰有 个元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】按照要求分类讨论计算即可.
【详解】由题意可分以下四种情况讨论：
①若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足 的情况有 种，而满足 恰有
个元素的有 种；
②若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足 的情况有 种，而满足
恰有 个元素的有 种；
③若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足 的情况有 种，而满
足 恰有 个元素的有 种；
④若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，此时满足 的情况
有 种，而满足 恰有 个元素的有 种；
故满足题意的概率为： ，
故选：B
【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高
的逻辑思维.
4．（2017·四川成都·一模）设集合 ，
，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得集合A，B表示以 为圆心，半径为 和 的同心圆，集合C在 时，表示
以 为中心，四条边的斜率为±2的菱形，画出图形，利用图形可知 ，是菱形与A或B
有交点，从而可求出实数 的取值范围.
【详解】集合A表示以 为圆心，半径为 的圆，集合B表示以(3,4)为圆心，半径为 的圆，
集合C在 时，表示以 为中心，四条边的斜率为±2的菱形，当 时，集合C为空集，不合题意，
当 时， ，不合题意，
如图所示，若 ，则菱形与A或B表示的圆有交点，对于 ，当 ，得 ，当 ，得 ，由
，得 ，得菱形的一个顶点为 ，同理可得其它3个顶点为 ，
，
所以可知菱形的2个顶点在直线 上，2个顶点在直线 上，
因为小圆的圆心为 ，半径为 ，所以当 时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足
题意，
当菱形与小圆相切时，则圆心到菱形 任一边的距离等于 ，
当 时，菱形一边的方程可化为 ，则
，得 ，
所以当 时，菱形在圆环的内部，与两圆均无交点，不满足题意；
当菱形与大圆相切时，则圆心到菱形 任一边的距离等于 ，
当 时，菱形一边的方程可化为 ，则
，得 ，
所以当 ，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足题意，
综上可得：实数λ的取值范围是 .
故选：A.5．（23-24高三·福建厦门·阶段练习）已知全集 ，集合 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出韦恩图，根据韦恩图即可判断每个选项.
【详解】根据题意 是非负偶数的集合，而 是4的非负整数倍组成的集合，
易得 为 的真子集，根据题意，画出韦恩图，
对于A， ，故不正确；
对于B， ，故正确；
对于C， ，故不正确；
对于D， ，故不正确；
故选：B.
5．（多选）（22-23高一上·浙江杭州·模拟）已知集合A中含有6个元素，全集 中共有12个元素，
中有m个元素，已知 ，则集合B中元素个数可能为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
【答案】BC
【分析】根据 中有m个元素， 中有 个元素，设集合B中元素个数为
x，再根据集合A中含有6个元素， 中共有12个元素，由 求解.
【详解】解：因为 中有m个元素，
所以 中有 个元素，设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，
则 ，即 ，因为 ，所以 ，又 中共有12个元素，
所以 ，则 ，故选：BC
题型十五：交并补综合运算求参
常用的数集及其记法
（1）全体非负整数 组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 或 ；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R．
1．（23-24高三·北京东城·模拟）全集 ， ，定义函数 ，
．设全集为 ， ， ，则下列说法中正确的是（ ）．
①若 ，都有 ，则 ；②若 ，都有 ，则 ；
③若 ，则 ，都有 ；
④若 ，则 ．
A．①② B．①③ C．①②④ D．③④
【答案】A
【分析】根据特征函数的定义，结合集合的运算以及特殊值，即可判断和选择.
【详解】若 ，则 ，若 ，则 ，
若 ，则 ，若 ，则 .
对①， ，都有 ，则不能存在 的情形，所以得 ，①正确；
对②若 ，都有 ，当 时， ，则 ，
，
故其不能含有 ，即 ，②正确；
对③若 ，则 ，当 时，若 ，则 ，③错误；
对④，设 ， ，则 ，但 ，④错误.
故选：A
2．（22-23高三·陕西西安·阶段练习）已知集合 ， ，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据集合 与集合 的交集和并集运算结果，确定集合 与集合 中元素，再根据元素与集
合的关系求解参数即可.
【详解】 ， ，
得 ，解得 .
故 .
又因为 ，所以得 .
代入得 ，解得： ，
综上可得： .
故选：C.
3．（21-22高三·湖北襄阳·阶段练习）设全集 ，集合
，若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．2 C．2或4 D．1或2
【答案】B
【分析】由 可知 ，由此即可解出 ，则可求出 ，再由 可
知 ， 由此即可求出答案.
【详解】因为
所以
所以 解得： ，
或
所以 ，
所以 ，所以 解得： 或 ，
且 解得： 且
所以 .
故选：B
4．（2022·云南·模拟预测）设集合 ， ，
，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 列不等式组，由此化简求得 的最小值.
【详解】 、 ，
由于 ，
所以 ， ，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：C
题型十六：集合新定义型
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解
决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看
本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变
才是制胜法宝.
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
1．（22-23高三·上海宝山·阶段练习）若集合 且 ，则称 构成 的一个二次划分.任
意给定一个正整数 ，可以给出整数集 的一个 次划分 ，其中 表示
除以 余数为 的所有整数构成的集合.这样我们得到集合 ，称作模 的剩余类
集.模 的剩余类集可定义加减乘三种运算，如
，（其中 为
除以 的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过
定义倒数就可以了，但不是所有 中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构
成素域.那么下面说法错误的是（ ）
A． 能构成素域当且仅当 是素数 B．C． 是最小的素域（元素个数最少） D．
【答案】D
【分析】先证明出A选项正确，从而说明C选项正确，BD选项根据定义求解即可.
【详解】 能构成素域当且仅当 是素数，理由如下：
当 为素数时，除0外， 均与 互素，此数记作 ，
对于 ，考虑 ，
若 ，则 为 的倍数，
而 为素数，故 ，故 为 的倍数，即 ，
故存在 ，使得 即可定义除法.
当 能构成素域，若 是不素数，则 ，
故对于 ，存在 ，使得 ，故 为 的倍数，
故存在整数 ，使得 ，故 ，
但 ，且 为非零的整数，故 不成立，故 是素数.
综上： 能构成素域当且仅当 是素数，A正确；
因为 ，所以 ，B正确；
根据A选项，由于2为最小的素数， 有2个元素，元素个数最少，所以 是最小的
素域（元素个数最少），C正确；
因为 ，所以 ，D错误；
故选：D.
【点睛】集合新定义，需要先读懂题干信息，正确理解，再此基础上举一反三，进行求解，本题中A选项
的证明是解题的关键.
2．（2021高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝
若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可
能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据题意可得 或 ，进而讨论a的范围，确定出 ，最后得到答案.
【详解】因为 ， ，所以 或 ，
由 ，得 ，
关于x的方程 ，
当 时，即 时，易知 ，符合题意；
当 时，即 或 时，易知0， -a不是方程 的根，故 ，不符合题意；
当 时，即 时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}， ，符合题意，
若 或 ，则 ，不符合题意.
所以 ，故 .
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大
关联；另外当 时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.
3．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y S，若x≠y，都有xy T
②对于任意x，y T，若x
