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运城市 — 学年第一学期期末调研测试
2025 2026
高三数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
8 5 40 .
1.D
【解析】由已知可得A {xx }，B { xx 或x } ，所以 B {x x }，所以A B {x x }
= | > 2 = | > 4 < -1 ∁R = | -1≤ ≤ 4 ∩ ∁R = |2 < ≤ 4 .
2.B
【解析】易知a nb n a b
n = , n = 2 -1 , 4 - 4 = 4 - 8 = -4.
3.C
【解析】由题易知，AC BC，且AC BC ，所以S 1 AC BC ，则三棱锥P ABC的体积为V 1
⊥ = = 2 △ ABC = × × = 1 - = ×
2 3
S PA 2
△ ABC × = .
3
4.A
-
【解析】设z a b ，则z a b ，所以( )[( a) b ] (a b ) ，
= + i = - i 1− i 1− + i = -2 + i i
即( a b) (a b ) b a ，
1− + + + − 1 i = 2 − 2 i
{
a b b,
即 1− + = 2 解得a ,b ，即z ，所以|z|
a b a, = 0 = 1 = i = 1.
+ − 1= -2
5.B
【解析】分步乘法原理，分三步完成 第 名只能是丙、丁、戊、己这 个班，有 种可能；乙班的名次只可能是
1
. 1 4 A4 = 4
第 ，，，名，有 种可能；剩余 个班的名次有 种可能 所以 个班的名次排列有
1 4
2 3 4 5 A4 = 4 4 A4 = 24 . 6 4 × 4 × 24 = 384
种不同情况
.
6.C
( )
【解析】设P xy 为抛物线上任意一点，
,
( ) | |
根据抛物线的定义可得 x y 2 y ，
2
+ − 1 = + 2
( ) ( )
即x y 2 y 2，
2
+ − 1 = + 2
化简得x y
2
= 6 + 3.
7.A
【解析】易知 ，故 ，即a b ，又c ，故c b a
0.4 0
0log0.60.5>1 > >1 =0.3 <0.3 =1 < < .
8.B
( ) ( ) ( )
【解析】解法一：设M x y ，N x y ，P x y ，
1, 1 2, 2 0, 0
ìx λx
ï 0 + 1 c
ï λ = - ,
PF λF M， í 1+
∵ 1 = 1 ∴ ïy λy
ï 0 + 1
î λ = 0.
1+
ìx y
2 2
ï 0 0 ,
又í ïa 2 + b 2 = 1 1 x 0 + λx 1 x 0 − λx 1 x 0 − λx 1 a 2 x λx a 2 a 2 λ，
ïλ 2 x 2 λ 2 y 2 ⇒ a 2 ∙ λ ∙ λ = 1⇒ λ = - c ⇒ 0 − 1 = - c + c
ï 1 1 λ 2 , 1+ 1− 1−
î a + b =
2 2
数学试题答案 第 页（共 页）
1 6{
x λx c cλ
0 + 1 = - − , a 2 c 2 a 2 c 2
a a x + − λ
x λx 2 2 λ ⇒ 2 0 = - c + c .
0 − 1 = - c + c ,
a c a c a c a c a c a c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
同理 x + − μ，所以 + − μ + − λ，
2 0 = c − c c − c = - c + c
(a c ) ( e )
2 2 2
所以λ μ 2 + 2 1+
+ = a c = e .
2 2 2
− 1−
é ) é )
令t e 2 ，t ê1 ，则λ μ 4 ，t ê1 ，
= 1− ∈ ë ,1 + = t − 2 ∈ ë ,1
4 4
所以λ μ ( , ]
+ ∈ 2 14 .
解法二：
因为PF λF M，所以 1 λ 1
1 = 1 | F M | = | PF |.
1 1
又 1 1 2（二级结论），所以( λ) 1 2，故λ 2 | PF |
| F M | + | PF | = ep 1+ | PF | = ep = ep 1 - 1.
1 1 1
| | (| | | |) a 2 a 2
同理μ 2 PF ，所以λ μ 2 PF PF 2 a 4 4 4
= ep 2 - 1 + = ep 1 + 2 - 2 = ep × 2 - 2 = b 2 - 2 = a 2 c 2 - 2 = e 2 - 2.
- 1-
(
ù
由e 3úú，可得λ μ ( ]
∈ 0, û + ∈ 2,14 .
2
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 6 18 .
9.ACD
( ) ( )
【解析】由题得 f x 1 ωx π ，T 2π ，所以 ω ，f x 1 x π ，故 选项正确；当
( ) = sin - = ω = π = 2 ( ) = sin 2 - A
2 3 2 3
é ù é ù
x ê π πú 时，x π ê 5π πú，当 x π π 时，f x 取到最大值 1，故 选项错误；当 x 5π 时，
∈ë- , û 2 - ∈ë- , û 2 - = ( ) B =
4 4 3 6 6 3 6 4 12
( )
x π π，此时函数 f x 取到最大值，所以x 5π是函数f x 的对称轴，故 选项正确；当x π π 时，
2 - = ( ) = ( ) C ∈ - ,
3 2 12 12 3
( ) ( )
x π π π ，y x在 π π 上单调递增，故 选项正确
2 - ∈ - , = sin - , D .
3 2 3 2 3
10.ABD
【解析】如图，取CN的中点H，连接MH，则MH AB，且MH 1 AN，所以MH BN，且
∥ = ∥ A
2
MH BN，所以 BEN MEH，所以BE EM，NE EH，即BE 1 BM，CE 3 CN
= △ ≌△ = = = = .
2 4
( ) M
( )
对于 ，BE 1 BM 1 AM AB 1 1 AC AB 1 AC 1 AB，故 选项正确； N
A = = − = − = − A
2 2 2 2 4 2 E
( ) H
( )
对于 ，CE 3 CN 3 AN AC 3 2 AB AC 1 AB 3 AC，故 选项正确； B C
B = = − = − = − B （第 题答图）
4 4 4 3 2 4 10
( ) ( )
由BE CE ，可得 1 AC 1 AB 1 AB 3 AC ，
∙ = 0 − ∙ − = 0
4 2 2 4
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2 6
即 1 AB2 3 AC2 1 AB AC ，
− − + ∙ = 0
4 16 2
1 AB 2 3 AC 2 1 AB 2 3 AC 2
+ 2 ∙
即AB AC A 1 AB 2 3 AC 2 ，所以 A 2 8 2 8 3，
∙ ∙cos = + cos = AB AC ≥ AB AC =
2 8 ∙ ∙ 2
当且仅当1 AB 2 3 AC 2 ，即AB 3 AC时，
= =
2 8 2
A取得最小值为 3，故 选项错误， 选项正确
cos C D .
2
11.ABC
【解析】 a R a M ，所以M R，故 选项正确；若 a R，M ，则 x R，f (x) f (a)，故f (x)存在最小
∀ ∈ , ∉ a a ≠ A ∃ ∈ a = ∅ ∀ ∈ ≥
值为f (a)，故 选项正确；x x R，且x x ，可知x M = x = { x|f x < f x } ，即f ( x ) f ( x ) ，故
B ∀ 1, 2 ∈ 1 < 2 1 ∈ x 2 (-∞, 2) ( ) ( 2) 1 < 2
{|x|
x
f (x)是增函数，故 选项正确；对于函数f (x) , -1< ≤ 1, 可以验证 a ，M ( aa)，但f (x)不
C = |x| x 或x ∀ > 0 a = - ,
+ 1, ≤ -1 > 1,
是偶函数，故 选项错误
D .
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 5 15 .
12.0.3
【解析】因为X~N( σ )，即μ ，( σ ) ( σ ) μ，所以P(X σ ) P(X σ ) ，则
2 2 2 2 2
3, = 3 1+ + 5- = 6 = 2 ≤ 5- = ≥ 1+ = 0.7
P(X σ ) P(X σ )
2 2
> 5- = 1- ≤ 5- = 0.3.
1
13.
2
x
【解析】f ( x) 1 2 -1 ，
2 - = x = x
2-
2 + 2 2 + 2
x x
故f (x) f ( x) 1 2 -1 1+ 2 -1 1
+ 2 - = x + x = x = .
2 + 2 2 + 2 2 + 2 2
(n ) n
14. + 1 2
{ }
【解析】当n 时，S 2 n + 2 a 2 n + 2 ( S S ) ，变形得 S n S n -1 (n )，故 S n 是以 S 1
≥ 2 n = n n = n n - n -1 n = 2 ⋅ n ≥ 2 n = 2
+ 2 + 2 + 1 + 1 2
S
为首项，为公比的等比数列，所以 n n，S (n ) n 当n 时，S a ，所以S
2 n = 2 n = + 1 2 . = 1 1 =(1+ 1) × 2 1 = 4 = 1 n =
+ 1
n n
( + 1)2 .
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5 77 . .
解：（） b A a B a c ，
15. 1 ∵ cos + 3 sin - - = 0
B A A B A C ，……………………………………………………………… 分
∴ sin cos + 3sin sin - sin - sin = 0 1
B A A B A A B ，
∴ sin cos + 3sin sin - sin - sin( + ) = 0
A B A A B ……………………………………………………………………… 分
∴ 3sin sin - sin - sin cos = 0. 2
A ， A ，
∵ ∈(0,π) ∴ sin ≠ 0
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3 6( )
B B ， B π 1 …………………………………………………………………… 分
∴ 3sin - cos = 1 ∴ sin - = . 4
6 2
( )
又B ， B π π 5π ，
∈(0,π) ∴ - ∈ - ,
6 6 6
B π π， B π ……………………………………………………………………………………… 分
∴ - = ∴ = . 6
6 6 3
（）由题得 BD BA BC，……………………………………………………………………………………… 分
2 2 = + 7
BD2 BA2 BC2 BA BC，
∴ 4 = + + 2 ⋅
a c ac B ……………………………………………………………………………………… 分
2 2
∴ + + 2 cos = 12. 8
又B π， a
2
c
2
ac ， …………………………………………………………………………… 分
= ∴ + + = 12 ① 9
3
由S 1 ac B ，得ac ， ………………………………………………………………………… 分
= sin = 3 = 4 ② 11
2
由 得a ，c …………………………………………………………………………………………… 分
①② = 2 = 2. 13
（）证明:因为PA 平面ABC，所以PA AB，PA AC ………………………………………………………… 分
16. 1 ⊥ ⊥ ⊥ . 1
又因为PA ，PB ，PC ，所以AB PB PA ，AC PC PA
2 2 2 2
= 1 = 3 = 5 = - = 2 = - = 2.
又因为 ABC为以B为顶角的等腰三角形，所以BC AB ， …………………………………………… 分
△ = = 2 3
则PB BC PC ，所以PB BC，
2 2 2
+ = ⊥
又M为PC的中点，所以在 PBC中，MB MP MC ……………………………………………………… 分
Rt△ = = . 5
同理，在 PAC中，MA MP MC，
Rt△ = =
所以MP MA MB MC，则点M为三棱锥P ABC的外接球球心 ………………………………………… 分
= = = - . 7
（）解:如图，以A为坐标原点，过点A且垂直于平面PAC的直线为x轴，AC，
z
2
P
AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，
M
则A( )，B( )，C( )，P( )，
0,0,0 1,1,0 0,2,0 0,0,1
A
( ) ( ) x N Cy
所以M 1 ，N 1 1 ，……………………………………………… 分
0,1, ,1, 8
2 2 4
( ) B
所以AN 1 1 ，PB ( )，PC ( ) ………………… 分 （第 题答图）
= ,1, = 1,1, -1 = 0,2, -1 . 10 16
2 4
{
n PB x y z
设平面PBC的一个法向量为n ( x y z ) ，则 ⋅ = + - = 0,
= , , n PC y z
⋅ = 2 - = 0,
取y ，解得x ，z ，则n ( )， …………………………………………………………………… 分
= 1 = 1 = 2 = 1,1,2 12
| |
| | || 1 1||
| | AN n | + 1+ |
所以 AN n ⋅ 2 2 4 14， …………………………………………………… 分
cos < , > = | AN ||n| = = 14
21 21
× 6
4
故AN与平面PBC所成角的正弦值为4 14 ………………………………………………………………… 分
. 15
21
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4 6解（: ）把样本数据按从小到大的顺序排列： ， ， ， ， ， ， ，
17. 1 22 23 23 24 24 26 26 28.
因为 ，所以样本的第 百分位数取第 个数据，为 ………………………………………… 分
8 × 40% = 3.2 40 4 24. 3
-
样本的平均数为x 1 ( ) ， ………………………………… 分
= × 22 + 23+ 23+ 24 + 24 + 26 + 26 + 28 = 24.5 5
8
[ ]
方差为s 2 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 ……………… 分
= × -2.5 + -1.5 + -1.5 + -0.5 + -0.5 + 1.5 + 1.5 + 3.5 = 3.5. 7
8
（）样本数据中超过 的有 个，故从样本中随机抽取 个电池，该电池为优等品的概率为3 用样本数据估计
2 24 3 1 .
8
总体数据，所以从A批次电池中随机抽取 个电池，该电池为优等品的概率为3 …………………………… 分
1 . 9
8
( ) ( ) ( )
2 3
故所求概率为P 2 3 3 3 3 81 ………………………………………………… 分
= C3 × × 1- + C3 × = . 12
8 8 8 256
（）虽然B批次产品的平均值比A批次降低了 24.5- 24.4 ，但B批次产品的方差比A批次降低了
3 ≈ 0.41%
24.5
3.5- 1 ，说明B批次电池的质量更好，
≈ 71.43%
3.5
（没有定量计算平均值和方差降低的百分比，只定性比较平均值和方差的降低量，也同样得分）………… 分
. 14
所以应选择B批次的电池 …………………………………………………………………………………… 分
. 15
y
（）解：因为双曲线C的渐近线方程为y x，所以可设双曲线C的方程为x 2 λ(λ )
2
18. 1 = ± 3 − = ≠ 0 .
3
由点P( )在双曲线C上，所以 144 λ，即λ ，
-7,12 49 − = = 1
3
y
2
所以双曲线C的标准方程为x ……………………………………………………………………… 分
2
− = 1. 4
3
x y
2 2
（说明：若直接设双曲线的方程为 ，扣 分）
a − b = 1 2 .
2 2
（）证明：（）当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C只有一个公共点A，不满足条件，………………… 分
2 i 5
( ) ( )
故设ly kx m，M x y ，N x y ，
: = + 1, 1 2, 2
直线l过点B，所以k m ………………………………………………………………………………… 分
+ = -2. 7
{
y kx m,
= +
联立 x y 2 , 得( 3− k 2 )x 2 − 2 kmx − m 2 − 3= 0 ，
2
− = 1
3
km m
2
易知k ，故x x 2 ，x x + 3，…………………………………………………………… 分
≠ ± 3 1 + 2 = k 2 1 2 = - k 2 8
3− 3−
( )( ) ( )( )
y y kx m kx m kx m x kx m x
所以k k 1 2 1 + 2 + 1 + 2 − 1 + 2 + 1 − 1
1 + 2 = x + x = x + x = ( x )( x )
1 − 1 2 − 1 1 − 1 2 − 1 1 − 1 2 − 1
(k m)
kx x (m k)( x x ) m − 6 +
k
2 1 2 + − 1 + 2 − 2 3− 2 6 …………………………………………… 分
= x x ( x x ) = (k m) 2 = k m = -3. 11
1 2 − 1 + 2 + 1 − + +
k
2
3−
( ) ( )
（）设Q x ,y ，T x ,y ，
ii 1 Q 1 T
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5 6y
A，N，Q三点共线，所以k Q ，…………………………………………………………………………… 分
2 = x 12
1 − 1
y
A，P，T三点共线，所以 T 0 − 12 3 ………………………………………………………………… 分
x = = - . 14
1 − 1 1+ 7 2
y y
由（）可知k k 1 2 ，
i 1 + 2 = x + x = -3
1 − 1 2 − 1
y y y
即 1 Q 2 T ，
x + x = x
1 − 1 1 − 1 1 − 1
所以y y y ，得证 ……………………………………………………………………………………… 分
1 + Q = 2 T . 17
（）解：f (x) [(a )x ] x f (x) [(a )x a ] x ………………………………………… 分
19. 1 ′ = - 1 - 1 e + 1, ″ = - 1 + - 2 e. 2
当a 时，若x ，则f (x) ，f (x)在( ∞)上单调递减，
① ≤ 1 > 0 ″ < 0 ′ 0, +
f (x) f ( ) ，
∴ ′ < ′ 0 = 0
f (x)在区间( ∞)上单调递减，符合题意；………………………………………………………………… 分
∴ 0, + 3
( ) ( )
a a
当 a 时，易知f (x)在 2 - 上单调递减，在 2 - ∞ 上单调递增，
② 1< < 2 ′ 0,a a , +
- 1 - 1
( ) ( )
a a
x 2 - 时，f (x) f ( ) ，f (x)在 2 - 上单调递减
∴ ∈ 0,a ′ < ′ 0 = 0 0,a .
- 1 - 1
( ) ( )
a ( )
又f 1 ， 存在x 2 - 1 ，使得f x ，
′ a = 1> 0 ∴ 0 ∈ a ,a ′ 0 = 0
- 1 - 1 - 1
x ( x ∞ ) 时，f (x) f ( x ) ，f (x)在 ( x ∞ ) 上单调递增，不符合题意；…………………………… 分
∴ ∈ 0, + ′ > ′ 0 = 0 0, + 5
当a 时，若x ，则f (x) ，f (x)在( ∞)上单调递增，
③ ≥ 2 > 0 ″ > 0 ′ 0, +
f (x) f ( ) ，
∴ ′ > ′ 0 = 0
f (x)在( ∞)上单调递增，符合题意 ……………………………………………………………………… 分
∴ 0, + . 6
综上，实数a的取值范围是( ∞ ] [ ∞) ………………………………………………………………… 分
- ,1 ⋃ 2, + . 7
( )
（）证明：（）若a ，则a a 又a ，故 n N a …………………………… 分
2 i n > 0 n +1 = ln n + 1 > 0. 1 = 1> 0 ∀ ∈ * , n > 0. 8
由（）知当a 时，f (x) (x ) x x 在( ∞)上单调递增，故f ( a ) f ( ) ， ……………… 分
1 = 2 = - 2 e + + 2 0, + n +1 > 0 = 0 9
即 ( a
n +1 - 2
)
e
an+1
+
a
n +1 + 2 =
( a
n +1 - 2
)( a
n + 1
)
+
a
n +1 + 2 > 0
，变形得
a
1
- a
1
<
1，…………………
11
分
n +1 n 2
( ) ( ) ( )
n n
故 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 + 1， a 2 ……………… 分
a = a + a - a + a - a + ⋯+ a - a ≤ 1+ = ∴ n ≥ n . 12
n 1 2 1 3 2 n n -1 2 2 + 1
（）由（）知当a 时，f (x) x x 在( ∞)上单调递减，………………………………………… 分
ii 1 = 1 = -e + + 1 0, + 13
( )
故f 1 f ( ) ，………………………………………………………………………………………… 分
n < 0 = 0 14
+ 1
n
即 n 1 1 ，变形得 1 + 2 …………………………………………………………… 分
-e +1 + n + 1< 0 n > ln n . 15
+ 1 + 1 + 1
n
由（）得a 2 ，故a + 2，………………………………………………………………………… 分
i n ≥ n n > 2ln n 16
+ 1 + 1
( )
n n n
故a a a + 2 + 3 2 + 2 ………………………………… 分
n + n +1 + ⋯+ 2 n > 2 ln n + ln n + ⋯+ ln n = 2ln2. 17
+ 1 + 2 2 + 1
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6 6
