文档内容
专题 03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：求二面角.................................................2
题型二：已知二面角求参数.........................................4
题型三：求二面角最值（范围）.....................................7
三、专项训练........................................................9
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点 ，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线 、 ,则 称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①， ， 是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线，则二面角的大小
．
（2）如图②③， ， 分别是二面角 的两个半平面 的法向量，则二面角的大小 满足：； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没
有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（22·23下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱 的底面是正方形， ，E，F分别
为BC， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱 的体积为 ， 的面积为 ．(1)求 到平面 的距离；
(2)设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的大小．
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形 中， 为边 上的点，且
.将 沿 翻折，使得点 到 ，满足平面 平面 ，连接 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值的大小.
4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成. 在同一平
面内，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示， 为等边三角形， 平面 ， ，
， ， 为线段 上一动点．
(1)若 为线段 的中点，证明： ．
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
题型二：已知二面角求参数
1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台 中，底面 是菱形，
， ， 平面 .
(1)证明：BD CC ；
1
(2)棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由.
2．（2023·吉林长春·一模）长方形 中， ，点 为 中点（如图1），将点 绕
旋转至点 处，使平面 平面 （如图2）．
(1)求证： ；
(2)点 在线段 上，当二面角 大小为 时，求四棱锥 的体积．
3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形 中， ， ， ， ，
将 沿 折起，使平面 平面 ，得到图②所示几何体．
(1)若 为 的中点，求四棱锥 的体积 ；(2)在线段 上，是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，如果存
在，求出 的值，如果不存在，说明理由．
4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形 中， ， ， ，
，将 沿 翻折至 的位置，使得 ， 为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2) 为线段 上一点（端点除外），若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长．
5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，侧面
底面 ，侧面 底面 ，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且 .
(1)证明： 垂直于底面 .
(2)当点E在BC边上移动，使二面角 为 时，求二面角 的余弦值.题型三：求二面角最值（范围）
1．（23·24高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ，点 是线段
上的点，点 是线段 上的点，且 .
(1)证明：直线 平面 ：
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值的取值范围.
2．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ， .点 、
、 、 分别在棱 、 、 、 上， ， ， .(1)证明： 四点共面
(2)当点 在棱 上运动时（包括端点），求平面 与平面 夹角余弦值的的取值范围.
3．（23·24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形 中， ， 为线段 的
中点，将 沿直线AE折起，使得 ，如图（2）.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为 ，求 的取值范围.
4．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形，
在菱形 中， ， ，平面 平面 ， ， 分别是线段 ､ 的中
点.(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取值范围.
三、专项训练
1．（23·24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体 中， ， ，则平面
与平面 所成锐二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23·24高二上·山东济南·阶段练习）如图所示， 是棱长为6的正方体， 分别是棱
上的动点，且 ，当 四点共面时，平面 与平面 所成夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．3．（23·24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱 中， ， ，
，E，F分别是侧棱 ， 上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为 ，则线段
BE的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（21·22高二·全国·单元测试）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ，
， ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角
的平面角大小为 ，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（20·21高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱 中， ，点D为棱 的中点，
点E为 上的点，且满足 ，当二面角 的正切值为 时，实数m的值为
（ ）A． B．1 C．2 D．3
二、填空题
6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一个二面角的棱上有两点 ，线段 分别在这个二面角的两
个面内，并且都垂直于棱 ，则这个二面角的大小为 .
7．（23·24高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形 所在的平面与 所在的平面互相垂直，
且 ．则平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
8．（22·23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱 中， ， ， 两两互相垂
直， ， ， 分别是侧棱 ， 上的点，平面 与平面 所成的（锐）二面角
为 ，则当 最小时 ．
9．（23·24高二上·全国·单元测试）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
且 ，点 是线段 上一点，当二面角 的平面角的大小为 时，
．三、解答题
10．（23·24高三上·四川成都·开学考试）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面
底面 ， ， ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
11．（2023·新疆·三模）如图，在圆柱体 中， ， ，劣弧 的长为 ，AB为圆O的直
径．(1)在弧 上是否存在点C（C， 在平面 同侧），使 ，若存在，确定其位置，若不存
在，说明理由；
(2)求二面角 的余弦值．
12．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，三棱锥 中， ， ， ，平面
平面 .
(1)求三棱锥 的体积的最大值；
(2)求二面角 的正弦值的最小值.
13．（2023·辽宁·模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中 ， ， ，
．
(1)在线段CD上找出点F，将四边形 沿 翻折，形成几何体 ．若无论二面角
多大，都能够使得几何体 为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角 为直二面角，求棱台 的体积，并求出此时二面角
的余弦值．
14．（22·23高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形 中， ， ，点 是边 的中
点，将 沿 翻折到 ，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ．
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值．
15．（22·23下·信阳·阶段练习）如图，在等腰梯形 中， ，四边形
为矩形，且 平面 ， .(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，且满足 .
若不存在，请说明理由；若存在，求出 的长度.
16．（23·24上·山东·开学考试）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
，点E在平面 上运动．
(1)试确定一点E，使得 平面 ，并说明点E的位置；
(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱 上是否存在一点F，使得二面角 的余弦值为 ．若存
在，求 的长，若不存在，请说明理由．
17．（23·24上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱柱 中，侧面 是边长为2的菱形，
；侧面 为矩形， ，且平面 平面 .(1)求证： ；
(2)设 是线段 上的动点，试确定点 的位置，使二面角 的余弦值为 .
