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第15课时 二次函数的实际应用
1.(2024·河北二模)一种线型合成材料,其成本y(元)与材料长度x(米)的平方成正比.已知材料长度
为2米时,成本为4元;若材料长度为4×103米,则该材料的成本用科学记数法表示为 ( )
A.16×105元 B.1.6×106元 C.16×106元 D.1.6×107元
2.如图,某农场计划修建三间矩形饲养室,饲养室一面靠现有墙(墙可用长不大于20 m),中间用两道
墙隔开,已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60 m,设饲养室宽为x m,占地总面积为y m2,则三
间饲养室总面积y有 ( )
A.最小值200 m2 B.最小值225 m2
C.最大值200 m2 D.最大值225 m2
3.(2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间
的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;
②小球运动中的高度可以是30 m;
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(2024·泰安)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已
知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是 平方米.
5.(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶
的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+
0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=
4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
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图1 图2
7
6.(2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是 m,出手后实心球沿一段抛
4
物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM= m.
7.(2024·邢台威县三模)古往今来,桥给人们的生活带来便利,解决跨水或者越谷的交通,便于运输
工具或行人在桥上畅通无阻,中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形,坐落在河
北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝,距今已有约1 400年的历史,是当今世界上现存最早、保存最
完整的古代敞肩石拱桥,赵州桥的主桥拱便是圆弧形.
图1 图2 图3
(1)某桥A主桥拱是圆弧形(如图1中 ⏜ ),已知跨度AC=40 m,拱高BD=10 m,则这座桥主桥拱的
ABC
半径是 m.
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形(如图2),若水面宽MN=10 m,拱顶P(抛物线顶点)距离水面4 m,求
主桥拱抛物线的解析式.
(3)如图3,某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2 m,求此时两桥的水面宽度.
1.一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面MN上时的纵向截面如图1所示,其左右轮廓线AC,BD
都是抛物线 L 的一部分,已知水杯底部 AB 宽为 4√3 cm,水杯高度为 12 cm,杯口直径 CD 为
8√3 cm,且CD∥MN,以杯底AB的中点为原点O,以MN所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y
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轴建立平面直角坐标系.
(1)轮廓线AC,BD所在的抛物线L的解析式为 .
(2)将水杯绕点A倾斜倒出部分水,杯中水面 CE∥MN,如图2,当倾斜角∠BAN=30°时,水面宽度
CE= cm.
图1 图2
2.(2024·石家庄模拟)如图是南水北调某段河道的截面图.河道轮廓为某抛物线的一部分,嘉淇在枯
水期测得河道宽度OA=20米,河水水面截痕BC=10米,水面到河岸水平线OA的距离为7.5米.以
点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,解决如下问题:
(1)求河道轮廓的函数解析式,并求此时最大水深为多少米?
(2)在丰水期,测得水面到OA的距离为3.6米.
①求此时水面截痕DE的长;
②嘉淇乘坐小船游弋到河道正中央时,向右侧河岸抛出一个小球,小球恰好落在点E处,小球飞行
过程中到水面最大距离是8米,若嘉淇抛球的力道和角度不改变,要想让小球飞到河岸(即点A右
侧)上,直接写出嘉淇的小船至少要向右划行多少米?
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【详解答案】
基础夯实
1.D 解析:根据题意,设y与x之间的函数解析式为y=kx2,
把x=2,y=4代入解析式,得4k=4,解得k=1,
∴y与x之间的函数解析式为y=x2,
当x=4×103时,y=(4×103)2=16×106=1.6×107.故选D.
2.C 解析:根据题意,三间饲养室的长为(60-4x)m,
∵现有墙可用长不大于20 m,∴60-4x≤20,解得x≥10,
而y=x(60-4x)=-4x2+60x=-4(x-7.5)2+225,
∴抛物线对称轴为直线x=7.5,在对称轴右侧,y随x增大而减小,
∴当x=10时,y取最大值-4×(10-7.5)2+225=200,
∴三间饲养室总面积y有最大值200 m2.故选C.
3.C 解析:①令h=0,则30t-5t2=0,解得t=0,t=6,∴小球从抛出到落地需要6 s,
1 2
故①正确;
②h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45,
∵-5<0,∴当t=3时,h有最大值,最大值为45,∴小球运动中的高度可以是30 m,
故②正确;
③t=2时,h=30×2-5×4=40(m),t=5时,h=30×5-5×25=25(m),
∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度,故③错误.故选C.
4.450 解析:由题意,设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为(60-2x)米,
又墙长为40米,
∴0<60-2x≤40.
∴10≤x<30.
又菜园的面积S=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450,
∴当x=15时,可围成的菜园的最大面积是450平方米,
即垂直于墙的边长为15米时,可围成的菜园的最大面积是450平方米.
5.能 解析:∵CD=4 m,B(6,2.68),
∴6-4=2,
在y=-0.02x2+0.3x+1.6中,
当x=2时,y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12,
∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内.
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35
6. 解析:如图,以O为坐标原点,OM所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
3
由题意可知,P( 7),B(5,4),其中点B为抛物线顶点,
0,
4
设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+4,
将P( 7)代入上式得25a+4=7,解得a=- 9 ,
0,
4 4 100
9
∴抛物线的解析式为y=- (x-5)2+4,
100
9
当y=0时,- (x-5)2+4=0,
100
35 5
解得x= ,x=- (舍去),
1 2
3 3
35
∴OM= m.
3
7.解:(1)25
解析:设主桥拱所在的圆弧形圆心为O,连接OD,OA,如图1:
图1
由拱高的定义可知,B,D,O三点共线,设主桥拱的半径是r m,
1
在Rt△ADO中,AD= AC=20 m,DO=BO-BD=(r-10)m,
2
∵AD2+DO2=AO2,
∴202+(r-10)2=r2,
解得r=25.
(2)以P为原点,平行水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图2:
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图2
设主桥拱抛物线的解析式为y=ax2,
∵水面宽MN=10 m,拱顶P(抛物线顶点)距离水面4 m,
∴M(-5,-4),
4
∴-4=25a,解得a=- ,
25
4
∴主桥拱抛物线的解析式为y=- x2.
25
(3)桥A的桥下水位上升了2 m,如图3:
图3
根据题意,OF=25 m,OE=OB-BE=25-(10-2)=17(m),
∴EF= =
√OF2-OE2=√252-172
4√21(m),
∴此时桥A的水面宽度为8√21 m.
桥B的桥下水位上升了2 m,
4
在y=- x2中,令y=-2,
25
4
得-2=- x2,
25
5√2 5√2
解得x= 或x=- ,
2 2
∵5√2 ( 5√2)=5 ,
− - √2
2 2
∴此时桥B的水面宽度为5√2 m.
能力提升
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1
1.(1)y= x2-4 (2)14 解析:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+c,
3
把点B(2√3,0),D(4√3,12)代入y=ax2+c中,
{ 1
得{12a+c=0, 解得 a= ,
3
48a+c=12,
c=-4,
1
∴y= x2-4,
3
1
即抛物线L的解析式为y= x2-4.
3
(2)根据题意可知,∠DCE=30°,
如图,设CE与y轴的交点为P,CD与y轴交于点Q,
在Rt△CPQ中,
CQ=4√3,∠PCQ=30°,
∴PQ=4,
∴PO=8,
∴P(0,8),
设直线CE的解析式为y=kx+m,
将C(-4√3,12),P(0,8),代入,
{ √3
得{-4√3k+m=12,解得 k=- ,
3
m=8,
m=8,
√3
∴直线CE的解析式为y=- x+8,
3
1 √3
令 x2-4=- x+8,
3 3
解得x=-4√3(舍去)或x=3√3,
∴点E的横坐标为3√3,
√3
当x=3√3时,y=- ×3√3+8=5,
3
∴E(3√3,5).
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∴CE= =14(cm).
√(3√3+4√3)2+(5-12)2
OA-BC
2.解:(1)如图,过点B作BG⊥x轴于点G,由二次函数图象的对称性可得OG= =5,
2
∵BG=7.5,
∴B(5,-7.5),
∵OA=20,
∴A(20,0),
设二次函数的解析式为y=ax(x-20),将B(5,-7.5)代入得-7.5=a·5×(-15),
1
解得a= ,
10
1
∴二次函数的解析式为y= x2-2x,
10
1 1
∵y= x2-2x= (x-10)2-10,
10 10
∴顶点纵坐标为-10,此时水深为10-7.5=2.5(米).
(2)①∵丰水期时水面到OA的距离是3.6米,
1
令y=-3.6,即 x2-2x=-3.6,
10
解得x=2,x=18,
1 2
∴x-x=16,
2 1
即DE的长为16米.
②嘉淇的小船至少要向右划行( 2√55)米.
6-
5
解析:由题易知小球的轨迹是抛物线,
如图,设DE的中点为F,小球轨迹的顶点是点M,
∴F(10,-3.6),
由①知E(18,-3.6),
∵小球飞行过程中到水面最大距离是8米,且经过E,F两点,
∴E,F两点关于对称轴对称,
∴M(14,4.4),
设小球的轨迹抛物线的解析式为y=k(x-14)2+4.4,
1
将F(10,-3.6)代入得k=- ,
2
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1
∴y=- (x-14)2+4.4,
2
设向右划行n米,小球落到A点,
1
此时抛物线解析式为y=- (x-14-n)2+4.4,
2
1
将A(20,0)代入可得- (6-n)2+4.4=0,
2
2√55 2√55
解得n=6+ (舍)或n=6- ,
5 5
故嘉淇的小船至少要向右划行( 2√55)米.
6-
5
9
