专题 06 三角函数及解三角形
π π
1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin ( ωx+ ) (ω>0)的图像向左平移
个单位长
3 2
度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】
ωπ π π
先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得 + = +kπ,k∈Z，即可求出ω的最
2 3 2
小值.
【详解】
[ ( π) π] ωπ π
由题意知：曲线C为y=sin ω x+ + =sin(ωx+ + )，又C关于y轴对称，则
2 3 2 3
ωπ π π
+ = +kπ,k∈Z，
2 3 2
1 1
解得ω= +2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为
.
3 3
故选：C.
2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计
算圆弧长度的“会圆术”，如图，A´B是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，
CD2
D在A´B上，CD⊥AB．“会圆术”给出A´B的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+ ．
OA
当OA=2,∠AOB=60°时，s=( )11-3√3 11-4√3 9-3√3 9-4√3
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，
即OD=OA=OB=2，
又∠AOB=60°，
所以AB=OA=OB=2，
则OC=√3，故CD=2-√3，
CD2 (2-√3) 2 11-4√3
所以s=AB+ =2+ = .
OA 2 2
故选：B.π
3．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个
3
零点，则ω的取值范围是( )
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
【答案】C
【解析】
【分析】
π
由x的取值范围得到ωx+ 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
3
【详解】
π (π π)
解：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+ ∈ ,ωπ+ ，
3 3 3
(π )
要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈ ,3π 的图象如下
3
所示：5π π 13 8 (13 8]
则 <ωπ+ ≤3π，解得 <ω≤ ，即ω∈ , ．
2 3 6 3 6 3
故选：C．
4．【2022年全国乙卷】函数f (x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值
分别为( )
π π 3π π π π 3π π
A． - ， B． - ， C． - ， +2 D． - ， +2
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得f (x)的单调区间，从而判断出f (x)在区间[0,2π]上的最小值和最大值.
【详解】
f'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，
π 3π
所以f (x)在区间 ( 0, ) 和 ( ,2π) 上f'(x)>0，即f (x)单调递增；
2 2
π 3π
在区间 ( , ) 上f'(x)<0，即f (x)单调递减，
2 2
π π 3π 3π 3π
又f (0)=f (2π)=2，f ( )= +2，f ( )=-( +1 )+1=- ，
2 2 2 2 2
3π π
所以f (x)在区间[0,2π]上的最小值为 - ，最大值为 +2.
2 2
故选：D
π
5．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+ )+b(ω>0)的最小正周期为T．若
42π 3π π
<T<π，且y=f(x)的图象关于点( ,2)中心对称，则f( )= ( )
3 2 2
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
2π 2π 2π
由函数的最小正周期T满足 <T<π，得 < <π，解得2<ω<3，
3 3 ω
3π 3π π
又因为函数图象关于点( ,2)对称，所以 ω+ =kπ,k∈Z，且b=2，
2 2 4
1 2 5 5 π
所以ω=- + k,k∈Z，所以ω= ，f(x)=sin( x+ )+2，
6 3 2 2 4
π 5 π
所以f( )=sin( π+ )+2=1.
2 4 4
故选：A
( π)
6．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos α+ sinβ，则( )
4
A．tan(α-β)=1 B．tan(α+β)=1
C．tan(α-β)=-1 D．tan(α+β)=-1
【答案】C
【解析】
【分析】
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,
即：sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，
即：sin(α-β)+cos(α-β)=0,
所以tan(α-β)=-1,
故选：C7．【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x-sin2x，则(
)
( π π) ( π π )
A．f(x)在 - ,- 上单调递减 B．f(x)在 - , 上单调递增
2 6 4 12
( π) (π 7π)
C．f(x)在 0, 上单调递减 D．f(x)在 , 上单调递增
3 4 12
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得出f (x)=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为f (x)=cos2x-sin2x=cos2x.
π π π ( π π)
对于A选项，当- <x<- 时，-π<2x<- ，则f (x)在 - ,- 上单调递增，A错；
2 6 3 2 6
π π π π ( π π )
对于B选项，当- <x< 时，- <2x< ，则f (x)在 - , 上不单调，B错；
4 12 2 6 4 12
π 2π ( π)
对于C选项，当0<x< 时，0<2x< ，则f (x)在 0, 上单调递减，C对；
3 3 3
π 7π π 7π (π 7π)
对于D选项，当 <x< 时， <2x< ，则f (x)在 , 上不单调，D错.
4 12 2 6 4 12
故选：C.
8．【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为sin2x+cos2x=1可得：
当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；
当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；
所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.
故选：A.
π
9．【2022年浙江】为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin ( 3x+ ) 图象
5
上所有的点( )
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
5 5
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
15 15
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】
因为y=2sin3x=2sin [ 3 ( x- π )+ π] ，所以把函数y=2sin ( 3x+ π ) 图象上的所有点
15 5 5
π
向右平移 个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象．
15
故选：D.
10．【2022年新高考2卷】(多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点
(2π
)
,0 中心对称，则( )
3
(
5π
)
A．f(x)在区间 0, 单调递减
12
( π 11π )
B．f(x)在区间 - , 有两个极值点
12 127π
C．直线x= 是曲线y=f(x)的对称轴
6
√3
D．直线y= -x是曲线y=f(x)的切线
2
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】
(2π
)
(4π
)
4π
由题意得：f =sin +φ =0，所以 +φ=kπ，k∈Z，
3 3 3
4π
即φ=- +kπ,k∈Z，
3
2π
(
2π
)
又0<φ<π，所以k=2时，φ= ，故f(x)=sin 2x+ ．
3 3
(
5π
)
2π (2π 3π
)
对A，当x∈ 0, 时，2x+ ∈ , ，由正弦函数y=sinu图象知
12 3 3 2
(
5π
)
y=f(x)在 0, 上是单调递减；
12
( π 11π ) 2π (π 5π )
对B，当x∈ - , 时，2x+ ∈ , ，由正弦函数y=sinu图象知
12 12 3 2 2
2π 3π 5π 5π
y=f(x)只有1个极值点，由2x+ = ，解得x= ，即x= 为函数的唯一极
3 2 12 12
值点；
7π 2π 7π 7π
对C，当x= 时，2x+ =3π，f( )=0，直线x= 不是对称轴；
6 3 6 6
( 2π ) ( 2π ) 1
对D，由y'=2cos 2x+ =-1得：cos 2x+ =- ，
3 3 2
2π 2π 2π 4π
解得2x+ = +2kπ或2x+ = +2kπ,k∈Z,
3 3 3 3π
从而得：x=kπ或x= +kπ,k∈Z,
3
( √3) 2π
所以函数y=f(x)在点 0, 处的切线斜率为k= y'| =2cos =-1，
2 x=0 3
√3 √3
切线方程为：y- =-(x-0)即y= -x．
2 2
故选：AD．
11．【2022年全国甲卷】已知△ABC中，点D在边BC上，
AC
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当 取得最小值时，BD=________．
AB
【答案】√3-1##-1+√3
【解析】
【分析】
AC2
设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
AB2
【详解】
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4-4m，
AC2 4m2+4-4m 4(m2+4+2m)-12(1+m) 12
= = =4-
所以AB2 m2+4+2m m2+4+2m 3
(m+1)+
m+1
12
≥4- =4-2√3
√ 3 ，
2 (m+1)⋅
m+1
3
当且仅当m+1= 即m=√3-1时，等号成立，
m+1
AC
所以当 取最小值时，m=√3-1.
AB
故答案为：√3-1.12．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，
√3 π
若f(T)= ，x= 为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．
2 9
【答案】3
【解析】
【分析】
√3 π
首先表示出T，根据f (T)= 求出φ，再根据x= 为函数的零点，即可求出ω的取值，从
2 9
而得解；
【详解】
解： 因为f (x)=cos(ωx+φ)，(ω>0，0<φ<π)
2π ( 2π ) √3
所以最小正周期T= ，因为f (T)=cos ω⋅ +φ =cos(2π+φ)=cosφ= ，
ω ω 2
π ( π)
又0<φ<π，所以φ= ，即f (x)=cos ωx+ ，
6 6
π π π π
又x= 为f (x)的零点，所以 ω+ = +kπ,k∈Z，解得ω=3+9k,k∈Z，
9 9 6 2
因为ω>0，所以当k=0时ω =3；
min
故答案为：3
π
13．【2022年北京】若函数f(x)=Asinx-√3cosx的一个零点为 ，则A=________；
3
π
f( )= ________．
12
【答案】 1 -√2
【解析】【分析】
π π
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x- )，代入自变量x= ，计
3 12
算即可.
【详解】
π √3 √3
∵f( )= A- =0，∴A=1
3 2 2
π
∴f(x)=sinx-√3cosx=2sin(x- )
3
π π π π
f( )=2sin( - )=-2sin =-√2
12 12 3 4
故答案为：1，-√2
14．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他
把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成
√ 1[ (c2+a2-b2
)
2]
公式，就是S= c2a2- ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的
4 2
面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．
√23
【答案】 .
4
【解析】
【分析】
根据题中所给的公式代值解出．
【详解】
因为S=
√ 1[
c2a2-
(c2+a2-b2 ) 2]
，所以S=
√1[
4×2-
(4+2-3) 2]
=
√23
．
4 2 4 2 4
√23
故答案为： .
4
π
15．【2022年浙江】若3sinα-sinβ=√10,α+β= ，则sinα=__________，cos2β=
2
_________．
3√10 4
【答案】
10 5【解析】
【分析】
先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，
可求出α，接下来再求β．
【详解】
π
α+β= ，∴sinβ=cosα，即3sinα-cosα=√10，
2
(3√10 √10 ) √10 3√10
即√10 sinα- cosα =√10，令sinθ= ，cosθ= ，
10 10 10 10
π π
则√10sin(α-θ)=√10，∴α-θ= +2kπ，k∈Z，即α=θ+ +2kπ，
2 2
( π ) 3√10
∴sinα=sin θ+ +2kπ =cosθ= ，
2 10
4
则cos2β=2cos2β-1=2sin2α-1=
．
5
3√10 4
故答案为： ； ．
10 5
16．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
5π
【答案】(1) ；
8
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A)，再结合三角形内角和定理即可解出；
(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得
sinC(sin AcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsin A)，再根据正弦定理，余
弦定理化简即可证出．
(1)
由A=2B，sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A)，而π
0<B< ，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C-A)>0，而0<C<π,0<C-A<π，
2
5π
显然C≠C-A，所以，C+C-A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=
．
8
(2)
由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可得，
sinC(sin AcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsin A)，再由正弦定理可得，
accosB-bccosA=bccosA-abcosC，然后根据余弦定理可知，
1 1 1 1
(a2+c2-b2)- (b2+c2-a2)= (b2+c2-a2)- (a2+b2-c2)，化简得：
2 2 2 2
2a2=b2+c2，故原等式成立．
17．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)．
(1)证明：2a2=b2+c2；
25
(2)若a=5,cosA= ，求△ABC的周长．
31
【答案】(1)见解析
(2)14
【解析】
【分析】
(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
(2)根据(1)的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.
(1)
证明：因为sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)，
所以sinCsin AcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsin AcosC，
a2+c2-b2 b2+c2-a2 a2+b2-c2
所以ac⋅ -2bc⋅ =-ab⋅ ，
2ac 2bc 2ab
a2+c2-b2 a2+b2-c2
即 -(b2+c2-a2)=- ，
2 2
所以2a2=b2+c2；
(2)
25
解：因为a=5,cosA= ，
31由(1)得b2+c2=50，
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，
50
则50- bc=25，
31
31
所以bc= ，
2
故(b+c) 2=b2+c2+2bc=50+31=81，
所以b+c=9，
所以△ABC的周长为a+b+c=14.
18．【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cosA sin2B
= ．
1+sin A 1+cos2B
2π
(1)若C= ，求B；
3
a2+b2
(2)求 的最小值．
c2
π
【答案】(1) ；
6
(2)4√2-5．
【解析】
【分析】
cosA sin2B
(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 = 化成
1+sin A 1+cos2B
π
cos(A+B)=sinB，再结合0<B<
，即可求出；
2
π π a2+b2
(2)由(1)知，C= +B，A= -2B，再利用正弦定理以及二倍角公式将
化成
2 2 c2
2
4cos2B+ -5，然后利用基本不等式即可解出．
cos2B
(1)cosA sin2B 2sinBcosB sinB
= = =
因为 ，即
1+sinA 1+cos2B 2cos2B cosB
1
sinB=cosAcosB-sin AsinB=cos(A+B)=-cosC= ，
2
π π
而0<B< ，所以B=
；
2 6
(2)
π π
由(1)知，sinB=-cosC>0，所以 <C<π,0<B< ，
2 2
π
而sinB=-cosC=sin ( C- )
，
2
π π
所以C= +B，即有A= -2B．
2 2
a2+b2 sin2A+sin2B cos22B+1-cos2B
所以 = =
c2 sin2C cos2B
(2cos2B-1) 2 +1-cos2B
2
= =4cos2B+ -5≥2√8-5=4√2-5．
cos2B cos2B
√2 a2+b2
当且仅当cos2B= 时取等号，所以 的最小值为4√2-5．
2 c2
19．【2022年新高考2卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，
√3 1
b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S ,S ,S ，已知S -S +S = ,sinB= ．
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积；
√2
(2)若sin AsinC= ，求b．
3
√2
【答案】(1)
8
1
(2)
2
【解析】
【分析】
√3
(1)先表示出S ,S ,S ，再由S -S +S = 求得a2+c2-b2=2，结合余弦定理及平方关系
1 2 3 1 2 3 2求得ac，再由面积公式求解即可；
b2 ac
(2)由正弦定理得 = ，即可求解.
sin2B sin AsinC
(1)
1 √3 √3 √3 √3
由题意得S = ⋅a2 ⋅ = a2,S = b2,S = c2 ，则
1 2 2 4 2 4 3 4
√3 √3 √3 √3
S -S +S = a2- b2+ c2= ，
1 2 3 4 4 4 2
a2+c2-b2
即a2+c2-b2=2，由余弦定理得cosB= ，整理得accosB=1，则cosB>0，又
2ac
1
sinB= ，
3
则cosB=
√
1-
(1) 2
=
2√2
，ac=
1
=
3√2
，则S =
1
acsinB=
√2
；
3 3 cosB 4 △ABC 2 8
(2)
3√2
b a c b2 a c ac 4 9
由正弦定理得： = = ，则 = ⋅ = = = ，
sinB sinA sinC sin2B sin A sinC sin AsinC √2 4
3
b 3 3 1
则 = ，b= sinB= .
sinB 2 2 2
20．【2022年北京】在△ABC中，sin2C=√3sinC．
(1)求∠C；
(2)若b=6，且△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长．
π
【答案】(1)
6
(2)6+6√3
【解析】
【分析】
(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；
(2)利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得△ABC的周
长.(1)
解：因为C∈(0,π)，则sinC>0，由已知可得√3sinC=2sinCcosC，
√3 π
可得cosC= ，因此，C= .
2 6
(2)
1 3
解：由三角形的面积公式可得S = absinC= a=6√3，解得a=4√3.
△ABC 2 2
√3
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=48+36-2×4√3×6× =12，∴c=2√3，
2
所以，△ABC的周长为a+b+c=6√3+6.
21．【2022年浙江】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
3
4a=√5c,cosC= ．
5
(1)求sin A的值；
(2)若b=11，求△ABC的面积．
√5
【答案】(1) ；
5
(2)22．
【解析】
【分析】
(1)先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；
a2+b2-c2
(2)根据余弦定理的推论cosC= 以及4a=√5c可解出a，即可由三角形面积公式
2ab
1
S= absinC求出面积．
2
(1)
3 4
由于cosC= ， 0<C<π，则sinC= ．因为4a=√5c，
5 5
√5 √5
由正弦定理知4sin A=√5sinC，则sin A= sinC= ．
4 5
(2)
16 a2
a2+121- a2 11-
因为4a=√5c，由余弦定理，得 a2+b2-c2 5 5 3，
cosC= = = =
2ab 22a 2a 54
即a2+6a-55=0，解得a=5，而sinC= ，b=11，
5
1 1 4
所以△ABC的面积S= absinC= ×5×11× =22．
2 2 5
1．(2022·宁夏·银川一中模拟预测(文))已知点 在角 的终边上，且 ，
则角 的大小为( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，确定角 的范围，再利用三角函数定义求解作答.
【详解】
依题意，点 在第二象限，又 ，则 ，而 ，
所以 .
故选：B
2．(2022·安徽省舒城中学三模(理))将函数 的图象向左平移 个
单位，得到函数 的图象，若 在 上为增函数，则 最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平移法则求出函数 的解析式，进而求出 的含有数0的单调区间，再借助集合
的包含关系即可解出.【详解】
依题意， ，由 ， 得： ，
于是得 的一个单调递增区间是 ，因 在 上为增函数，因此，
，即有 ，解得 ，即 最大值为 ．
故选：A.
3．(2022·甘肃·武威第六中学模拟预测(理))已知函数 ，直线
为 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是( )
A． B． 在区间 单调递减
C． 在区间 上的最大值为2 D． 为偶函数，则
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得 ，由 可求得 ，可判断A选项，由此有
；对于B，由 得 ，由正弦函数的单调
性可判断；对于C，由 得 ，由此得 在区间 上的最大值为 ；对于D， ，由 ，解得
.
【详解】
解：因为函数 ，直线 为 图象的一条对称轴，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，故A不正确；
所以 ，
对于B，当 时， ，所以 在区间 单调递增，故
B不正确；
对于C，当 时， ， 在区间 上的最大值为 ，
故C不正确；
对于D，若 为偶函数，则 ，
所以 ，解得 ，故D正确，
故选：D.
4．(2022·全国·模拟预测)已知 ， ， ， ，则
( )A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据待求式的结构， 求解即可．
【详解】
解：因为
= - .
，
；
， ，
所以 ，
故 ．
故选：D.
5．(2022·全国·模拟预测(文))已知函数 的一个对称中心为 ，在区间 上不单调，则 的最小正整数值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，所以 ， ，由 在区间
上不单调可得 在区间 上有解，所以
，在区间 上有解，最终可得 ， ，取值即
可得解.
【详解】
由函数 的一个对称中心为 ，
可得 ，
所以 ， ，
， ，
，
由 在区间 上不单调，
所以 在区间 上有解，所以 ，在区间 上有解，
所以 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
此时 的最小正整数为 .
故选：B
6．(2022·河南省杞县高中模拟预测(理))已知 ，若 ，则
( )
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定 ，通过凑角，利用
和角正弦求得 ，从而求得 ，根据角的范围确定符号，
开方即可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ， ．
故选：B．
7．(2022·全国·模拟预测(理))函数 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的 ；
②向左平移 个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到
的图象，则 的解析式为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可
【详解】
由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到 的图象，故④变换前为 ；③向上平移一个单位长度，故③变换前为 ；②向左平移 个单位长度，故②变换
前为 ；①横坐标变为原来的 ，故①变换前为 ，
故 的解析式为
故选：A
8．(2022·黑龙江·哈九中三模(文))已知函数 的部
分图象如图所示，且 ．将 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，再向
上平移一个单位长度，得到 的图象．若 ， ， ，则
的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象求得 ，再根据图象变换可得 的解析式，结合
， ， ，求得 的值，可得答案.
【详解】设 的最小正周期为T，则由图可知 ，得 ，则 ，所
以 ，
又由题图可知 图象的一个对称中心为点 ，
故 ， ，故 ， ，
因为 ，所以 ，所以 .
又因为 ，
故 ，
所以 ；
将 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，再向上平移一个单位长度，
得到 的图象；
因为 ，所以 同时令 取得最大值3，
由 ，可得 ， ，
又 ，要求 的最大值，故令 ，得 ；
令 ，得 ，所以 的最大值为 ，故选：C.
9．(2022·全国·模拟预测)为了得到函数 的图象，只需将函数
的图象( )
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图像平移的规律，算出答案即可.
【详解】
由题意，由于函数 ，
观察发现可由函数 向左平移 个单位长度，得到函数 的
图象，
故选：A.
10．(2022·贵州·贵阳一中模拟预测(文))如图是函数
的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只
需要将函数 的图像( )A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
先由图像求得 ，再由辅助角公式化简 ，最后由三角函数的平移变
换即可求解.
【详解】
由题图知： ，又 ，
，
解得 ，又
，将 向左平移 得 .
故选：A.
11．(2022·青海西宁·二模(文))在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补
充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明
理由．
问题：是否存在 ，它的内角A， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为S，且
， ，________？
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C的值，若选① ，根据正弦定理，可
求得 的值，根据大边对大角原则，可得角A只有一解，根据同角三角函数关系，可求
得 的值；若选② ，根据正弦定理，可求得 的值，根据大边对大角原则，
可得角A有两解，根据同角三角函数关系，可求得 的值；若选③ ，根据正弦定
理，可求得 的值，因为 ，则三角形无解.
【详解】
由题意可知在 中，
因为 ，且 ，
所以 ，
由余弦定理可知 ，
所以
因为 ，
所以 ；
若选① ，由正弦定理可得 ，解得 ，
在 中，因为 ，所以 ，
又因为 ，则角A只有一解，且 ，
所以 ．
若选② ，由正弦定理可得 ，
解得 ，
在 中，因为 ，所以 ，
又因为 ，则角A有两解，
所以 ．
若选③ ，由正弦定理可得 ，
解得 ，
因为 ，
所以 无解，即三角形不存在．
12．(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))在△ 中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且 .
(1)求角A的大小；
(2)若D为 边中点，且 ，求a的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用三角恒等变形及正弦定理即可求解；
(2)利用余弦定理及基本不等式即可求解.
(1)
∵ ，∴ ，即 .
由正弦定理得 .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，
又∵ , ∴ ，∴ ；
(2)
∵D为 边中点，∴ ，即 ,
∵ ，∴ ，∴ ,
∴ ，即 , 当且仅当 时取等号,
∵ ，
∴ ，即 .
故a的最小值为 .
13．(2022·山东聊城·三模)已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.(1)求角B；
(2)若b=4，求 周长的最大值.
【答案】(1) ；
(2)12.
【解析】
【分析】
(1)利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
(2)利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值
(1)
因为 ，则 ，
在 中，由正弦定理得， ，而 ，即
，
整理得 ，即 ，又 ，解得 ，
所以 .
(2)
在 中，由余弦定理 得： ，即 ，
而 ，于是得 ，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以 周长的最大值为12.
14．(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))在 中，角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ， 的面积为4 ，求BC边上的高．【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理化简可得答案；(2)由三角形的面积公式可得b值，由余弦定理可得a值，结
合面积公式可得高.
(1)
，即 ．
，
，
．
又 ， ．
(2)
， ．
故由余弦定理可知 ．
而 ，
解得 ，所以BC边上的高为 ．
15．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(理))在 中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c． ， ．请再从条件①： ， ；条件②： ， ．这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1) 的值；
(2)c和面积S的值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)条件选择见解析， ，
【解析】
【分析】
(1)若选①，由已知条件可得 ，得 或 ，由于 ，则可得 ，
进而可求出 ，若选②，由已知条件可得 ，得 或 ，由于 ，
则可得 ，进而可求出 ，
(2)若选①，由正弦定理得 ，由 得 ，再由余弦定
理得 ，则 ，求得 ，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，
由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得 ，从而可得 ，则 ，然
后利用三角形面积公式可求得结果，
(1)
若选①： ， ，
在 中， ，即 ，
而 ，故 或 ，则 或 ，
∵ ，故 ，
∴ ；
若选②： ，
在 中， ，即 ，
而 ，故 或 ，则 或 ，
由 ，得： ，∴ ；
(2)
若选①： ， ，
由正弦定理得： ， ，则 ，
由 知： ，
故 ，
则 ，
∴ ， ；
若选②： ，
由正弦定理得： ，∵
∴ ，即 ， ，
∵ ，故 ，则 ，∴
∴由余弦定理得 ， ，得 ，
∴ ．
