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专题 06 三角函数及解三角形
π π
1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin ( ωx+ ) (ω>0)的图像向左平移
个单位长
3 2
度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】
ωπ π π
先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得 + = +kπ,k∈Z，即可求出ω的最
2 3 2
小值.
【详解】
[ ( π) π] ωπ π
由题意知：曲线C为y=sin ω x+ + =sin(ωx+ + )，又C关于y轴对称，则
2 3 2 3
ωπ π π
+ = +kπ,k∈Z，
2 3 2
1 1
解得ω= +2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为
.
3 3
故选：C.
2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计
算圆弧长度的“会圆术”，如图，A´B是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，
CD2
D在A´B上，CD⊥AB．“会圆术”给出A´B的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+ ．
OA
当OA=2,∠AOB=60°时，s=( )11-3√3 11-4√3 9-3√3 9-4√3
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，
即OD=OA=OB=2，
又∠AOB=60°，
所以AB=OA=OB=2，
则OC=√3，故CD=2-√3，
CD2 (2-√3) 2 11-4√3
所以s=AB+ =2+ = .
OA 2 2
故选：B.π
3．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin ( ωx+ ) 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个
3
零点，则ω的取值范围是( )
[5 13) [5 19) (13 8] (13 19]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 6 3 6 6
【答案】C
【解析】
【分析】
π
由x的取值范围得到ωx+ 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
3
【详解】
π (π π)
解：依题意可得ω>0，因为x∈(0,π)，所以ωx+ ∈ ,ωπ+ ，
3 3 3
(π )
要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈ ,3π 的图象如下
3
所示：5π π 13 8 (13 8]
则 <ωπ+ ≤3π，解得 <ω≤ ，即ω∈ , ．
2 3 6 3 6 3
故选：C．
4．【2022年全国乙卷】函数f (x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值
分别为( )
π π 3π π π π 3π π
A． - ， B． - ， C． - ， +2 D． - ， +2
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得f (x)的单调区间，从而判断出f (x)在区间[0,2π]上的最小值和最大值.
【详解】
f'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，
π 3π
所以f (x)在区间 ( 0, ) 和 ( ,2π) 上f'(x)>0，即f (x)单调递增；
2 2
π 3π
在区间 ( , ) 上f'(x)<0，即f (x)单调递减，
2 2
π π 3π 3π 3π
又f (0)=f (2π)=2，f ( )= +2，f ( )=-( +1 )+1=- ，
2 2 2 2 2
3π π
所以f (x)在区间[0,2π]上的最小值为 - ，最大值为 +2.
2 2
故选：D
π
5．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+ )+b(ω>0)的最小正周期为T．若
42π 3π π
0，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
AB2
【详解】
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4-4m，
AC2 4m2+4-4m 4(m2+4+2m)-12(1+m) 12
= = =4-
所以AB2 m2+4+2m m2+4+2m 3
(m+1)+
m+1
12
≥4- =4-2√3
√ 3 ，
2 (m+1)⋅
m+1
3
当且仅当m+1= 即m=√3-1时，等号成立，
m+1
AC
所以当 取最小值时，m=√3-1.
AB
故答案为：√3-1.12．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，
√3 π
若f(T)= ，x= 为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．
2 9
【答案】3
【解析】
【分析】
√3 π
首先表示出T，根据f (T)= 求出φ，再根据x= 为函数的零点，即可求出ω的取值，从
2 9
而得解；
【详解】
解： 因为f (x)=cos(ωx+φ)，(ω>0，0<φ<π)
2π ( 2π ) √3
所以最小正周期T= ，因为f (T)=cos ω⋅ +φ =cos(2π+φ)=cosφ= ，
ω ω 2
π ( π)
又0<φ<π，所以φ= ，即f (x)=cos ωx+ ，
6 6
π π π π
又x= 为f (x)的零点，所以 ω+ = +kπ,k∈Z，解得ω=3+9k,k∈Z，
9 9 6 2
因为ω>0，所以当k=0时ω =3；
min
故答案为：3
π
13．【2022年北京】若函数f(x)=Asinx-√3cosx的一个零点为 ，则A=________；
3
π
f( )= ________．
12
【答案】 1 -√2
【解析】【分析】
π π
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x- )，代入自变量x= ，计
3 12
算即可.
【详解】
π √3 √3
∵f( )= A- =0，∴A=1
3 2 2
π
∴f(x)=sinx-√3cosx=2sin(x- )
3
π π π π
f( )=2sin( - )=-2sin =-√2
12 12 3 4
故答案为：1，-√2
14．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他
把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成
√ 1[ (c2+a2-b2
)
2]
公式，就是S= c2a2- ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的
4 2
面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．
√23
【答案】 .
4
【解析】
【分析】
根据题中所给的公式代值解出．
【详解】
因为S=
√ 1[
c2a2-
(c2+a2-b2 ) 2]
，所以S=
√1[
4×2-
(4+2-3) 2]
=
√23
．
4 2 4 2 4
√23
故答案为： .
4
π
15．【2022年浙江】若3sinα-sinβ=√10,α+β= ，则sinα=__________，cos2β=
2
_________．
3√10 4
【答案】
10 5【解析】
【分析】
先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，
可求出α，接下来再求β．
【详解】
π
α+β= ，∴sinβ=cosα，即3sinα-cosα=√10，
2
(3√10 √10 ) √10 3√10
即√10 sinα- cosα =√10，令sinθ= ，cosθ= ，
10 10 10 10
π π
则√10sin(α-θ)=√10，∴α-θ= +2kπ，k∈Z，即α=θ+ +2kπ，
2 2
( π ) 3√10
∴sinα=sin θ+ +2kπ =cosθ= ，
2 10
4
则cos2β=2cos2β-1=2sin2α-1=
．
5
3√10 4
故答案为： ； ．
10 5
16．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
5π
【答案】(1) ；
8
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A)，再结合三角形内角和定理即可解出；
(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得
sinC(sin AcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsin A)，再根据正弦定理，余
弦定理化简即可证出．
(1)
由A=2B，sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A)，而π
00，而00，所以 0，又
2ac
1
sinB= ，
3
则cosB=
√
1-
(1) 2
=
2√2
，ac=
1
=
3√2
，则S =
1
acsinB=
√2
；
3 3 cosB 4 △ABC 2 8
(2)
3√2
b a c b2 a c ac 4 9
由正弦定理得： = = ，则 = ⋅ = = = ，
sinB sinA sinC sin2B sin A sinC sin AsinC √2 4
3
b 3 3 1
则 = ，b= sinB= .
sinB 2 2 2
20．【2022年北京】在△ABC中，sin2C=√3sinC．
(1)求∠C；
(2)若b=6，且△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长．
π
【答案】(1)
6
(2)6+6√3
【解析】
【分析】
(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；
(2)利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得△ABC的周
长.(1)
解：因为C∈(0,π)，则sinC>0，由已知可得√3sinC=2sinCcosC，
√3 π
可得cosC= ，因此，C= .
2 6
(2)
1 3
解：由三角形的面积公式可得S = absinC= a=6√3，解得a=4√3.
△ABC 2 2
√3
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=48+36-2×4√3×6× =12，∴c=2√3，
2
所以，△ABC的周长为a+b+c=6√3+6.
21．【2022年浙江】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
3
4a=√5c,cosC= ．
5
(1)求sin A的值；
(2)若b=11，求△ABC的面积．
√5
【答案】(1) ；
5
(2)22．
【解析】
【分析】
(1)先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；
a2+b2-c2
(2)根据余弦定理的推论cosC= 以及4a=√5c可解出a，即可由三角形面积公式
2ab
1
S= absinC求出面积．
2
(1)
3 4
由于cosC= ， 0
