文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么 ．
•如果事件A、B相互独立，那么 ．
•球的体积公式 ，其中R表示球的半径．
•圆锥的体积公式 ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【详解】 ，
， .
故选：C.2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数 的图像大致为（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D，即可得解.
【详解】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.
4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取 部，统计其评分分数据，将所得 个评
分数据分为 组： 、 、 、 ，并整理得到如下的费率分布直
方图，则评分在区间 内的影视作品数量是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间 内的影视作品数量为
.
故选：D.
5. 设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
【详解】 ， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个
圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆
锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ，
设圆锥 和圆锥 的高之比为 ，即 ，
设球的半径为 ，则 ，可得 ，所以， ，
所以， ， ，
，则 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
所以， ， ，
因此，这两个圆锥的体积之和为 .
故选：B.7. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知表示出 ，再由换底公式可求.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
8. 已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若
．则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合
线段长度比值可得 ，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
9. 设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 最多有2个根，可得 至少有4
个根，分别讨论当 和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】 最多有2个根，所以 至少有4
个根，
由 可得 ，
由 可得 ，（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时
有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零
点个数情况.
第II卷注意事项
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空
的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 是虚数单位，复数 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法化简可得结果.
【详解】 .
故答案为： .
11. 在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】160
【解析】
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.
12. 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
____________．
【答案】
【解析】【分析】 设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆
相切求出 的值，求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
13. 若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且
每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜
的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在 3次活动中，甲至
少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 .
故答案为： ； .
15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点
E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最
小值为____________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【 分 析 】 设 ， 由 可 求 出 ； 将
化为关于 的关系式即可求出最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程
成演算步骤．
16. 在 ，角 所对的边分别为 ，已知
， ．
（I）求a的值；
（II）求 的值；（III）求 的值．
【答案】（I） ；（II）（III）
【解析】
【分析】（I）由正弦定理可得 ，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（II）由余弦定理可得 ；
（III） ， ，
， ，
所以 .
17. 如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD
的中点．（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角 的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
.
【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III）
【解析】
【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出 及平面 的一个法向量 ，证明
，即可得证；
（II）求出 ，由 运算即可得解；
（III）求得平面 的一个法向量 ，由 结合同角三角函数的
平方关系即可得解.
【详解】（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 , , , , , , ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（II）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
（III）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .18. 已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，
且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直
的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）求出 的值，结合 的值可得出 的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点 ，分析出直线 的方程为 ，求出点 的坐标，根据
可得出 ，求出 、 的值，即可得出直线 的方程.
【详解】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为 与椭圆方程联立，由 进行求解；（2）椭圆 在其上一点 的切线方程为 ，再应用此方程时，
首先应证明直线 与椭圆 相切.
19. 已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数
列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见
解析.
【解析】
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算
可得 的通项公式；
（II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得
证.【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再
由错位相减法即可得证.
20. 已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）
【解析】
【分析】（I）求出 在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程；
（II）令 ，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点，
利用导数求出 的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令 ，题目等价于存在 ，使得 ，
即 ，利用导数即可求出 的最小值.【详解】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像
如下：
所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且
，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，
即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递
增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 与 仅有一个交点；第
三问解题的关键是转化为存在 ，使得 ，即 .
