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专题10 函数的单调性和奇偶性综合
1．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 在 单调递增，A错误； 为奇函数，B错误； 为偶函数，且在
上单调递减， ，故符合题意，C正确； 为偶函数，当 时， 为对勾函
数，在 单调递减，在 上单调递增，故不合题意，D错误.故选：C
2．已知奇函数 是定义在区间 上的增函数，且 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意奇函数 是定义在区间 上的增函数，
， .故选：B
3．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减， ，则不等式 的解
集为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，在 上递增，
.画出 的大致图象如下图所示，由图可知，不等式 的解集为 .故选：A
4．设 是奇函数，且在 上是减函数， ，则 的解集是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【解析】当 时， 得出 ，因为 在 上是减函数，所以 ；
当 时， 得出 ，因为 在 上是减函数，所以
即 的解集是 或 ，故选：D
5．若函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 的定义域为 ,因为 ，
所以 是奇函数， 所以不等式 可化为 ，
因为 在 上均为增函数，所以 在 上为增函数，
所以 ，解得 ，故选：A.
6．定义在R上的偶函数 满足：对任意的 ，有 ．则当
时，有（ ）A． B．
C． D．
【解析】对任意的 ， ，
所以函数在 上为增函数，
又因为函数 在R上的偶函数，所以函数在 上为减函数，且 ，
因为 ，所以 .所以 .故选：A
7．已知函数 ，若实数a满足 ，则a的取值范围
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 的定义域为 ，且 ，所以 是偶函数.
当 时， ， 和 在 上递增，所以 在 上
递增，而 是偶函数，故 在 上递减.
依题意 ，即 ，
即 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ，故选：D
8．已知偶函数 在 上是增函数，若 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题得 ，因为函数 在 上是增函数，且 ，所以 .故选：B
9．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， ， 在 上单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意：函数 的图象关于 对称，则 ，
且 在 上单调递增，故 ，所以 ，故选：A.
10．已知奇函数 在 上单调递增， ，则关于 的不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知可得 ， ，
由 可得 ，
因为奇函数 在 上单调递增，则 ，
所以， ，解得 .故选：A.
11．若 是定义在 上的偶函数，对 ，当 时，都有 ，则
， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．【解析】因为 且 ，有 ，
所以函数 在 上单调递增，由 为偶函数，得函数 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，即 .故选：A
12．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， 等价于 ，即 ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 时， 在 上单调递增，且 ，所以 等价于 ，
即 ，所以不等式 的解集为 ，故选：D
13．已知对于任意的 ，都有 成立，且 在 上单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 关于 对称，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，所以
，
即 ，解得 ，故选：C.14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的 ，且 ，都有
成立，则不等式 的解集为（ ）
A．( ，1) B．(－∞，1) C． D．
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ 为定义在 上的偶函数，
又∵ ，∴ 在 上递减，则 在 上递增，
即 ，
则 解得： ．故选：D．
15．已知函数 是定义在 上的偶函数，若对于任意 ，不等式
恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于任意 ，不等式 恒成立，
即对于任意 ，不等式 恒成立，
所以 在 上单调递减，因为函数 是定义在 上的偶函数，
所以 在 上单调递增，且 ，则 ，解得 ，故选：B
16．若 在定义域内的任意 都满足 ，则称 为奇函数，可知奇函数的图象关于原点中心对称；若 在定义域内的任意 都满足 ，则 称为偶函数，可知偶函数的图象关
于 轴对称. 知道了这些知识现在我们来研究如下问题：已知函数 ， 是定义在 上的函数，且
是奇函数， 是偶函数， ，若对于任意 ，都有
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据题意， ，则 ，
两式相加可得 ，
又由 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，所以 ，即 ，
若对于任意 ，都有 ，变形可得 ，
令 ，则 在 上单调递增；所以 ，
若 ，则 在 上单调递增，满足题意；
若 ，则 是对称轴为 的二次函数，
若 在 上单调递增，只需 或 ，解得 或 ，
综上， ．即 的取值范围为： ， ．故选：C．
17．已知函数 ，则关于 不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则函数 的定义域为 ，
，即函数 为奇函数，
因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
设 ， ， ，则 ，
故函数 的定义域为 ，且
，
所以， ，则函数 为 上的奇函数，
当 时，由于内层函数 为增函数，外层函数 为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
由奇函数的性质可知，函数 在 上也为增函数，
因为函数 在 上连续，故函数 在 上为增函数，
令 ，则函数 在 上为增函数，
且 ，即函数 为奇函数，
由 可得 ，即 ，
所以， ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .故选：C.18．已知函数 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意 ， ，
由于 ，故 为奇函数，
当 时， 递增，故 递增，
故当 时， 递增，
而 ，故函数 在 上单调递增，
且 时， ， 时， ，
故对于 ，当 时，即为 ，
即 ，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C错误；
当 时，不等式即 ，
由于 ，故 不成立,
说明 不是不等式 的解，故A错误,
故选：D
19．已知定义在 上的函数 满足：函数 为奇函数，且当 时， 成立
（ 是函数 的导函数），若 ， ， ，则 、 、 的大
小关系是（ ）
A． B．C． D．
【解析】构造函数 ，则该函数的定义域为 ，
，所以，函数 为偶函数，
当 时， ，所以，函数 在 上为减函数，
所以，函数 在 上为增函数，
因为 ， ， ，
且 ，所以， .故选：C.
20．已知 为定义在 上的偶函数， ，且当 时， 单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因 为定义在 上的偶函数，则 ，即 是R上的偶函数，
又 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
，
即 ，因此， ，平方整理得： ，解得 ，
所以原不等式的解集是 .故选：B
21．(多选)已知奇函数 是定义在 上的减函数，且 ，若 ，则下列结论一定成
立的是（ ）
A． B．C． D．
【解析】由题， 是定义在 上的奇函数，故 ，
又 ，所以 ，故A成立；
又函数 是定义在 上的减函数，且 ，
所以 ，故 ，故B不一定成立；
，
因为 ，故 ，故 ，故C成立，D不成立；
故选：AC
22． 是定义在R上的奇函数，且满足以下两个条件： 对任意的 都有
； 当 时， ，且，则函数 在 上的最大值为
__________．
【解析】 是定义在R上的奇函数，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即函数在R上单调递减，
函数 在 上也单调递减，
因为 ，所以 ， ，
所以函数的最小值为 ，函数的最大值为 ．
23．若函数 为奇函数，则关于 的不等式 的解集为______．【解析】 ，得 ，即
时， ，在 上单调递减，又 为奇函数，
故 在 上单调递减 ， ，由 为奇函数可化为 ，
得 ，解得
24．已知函数 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
______.
【解析】 ，由 ，得 是定义域上的奇函数，
函数 在 上单调递增， ， 在 上单调递增，
因此，函数 在 上单调递增，则 ，
等价于 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
25．若函数 ，则不等式 的解集为______．
【解析】∵ 且定义域为R，
∴ 为偶函数，则 ，
由 ，即 ，又 ，
令 ， ，由 ， 单增， ， 单增，
故 在 上单调递增，又 在 上单调递减，由函数单调性的加减法则，
所以 时 单调递减，
所以 ，得： ，即 或 ，解得 或 ．故答案为： ．
26．已知函数 是定义在R上的偶函数，对任意m， 都有 ，且
.若 ，则实数a的取值范围是______.
【解析】对任意m， 都有 ,
可知 在 是单调递增函数，
由 可得： ，
又根据函数 是定义在R上的偶函数，即有 ，即 ，
所以 ，即 或 ，解得 或 ，故答案为：
27．已知 ，若 恒成立，则实数 的取值范围___．
【解析】因为 ，所以 是 上的奇函数，
， ，
所以 是 上的增函数，
等价于 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，因为 且定义域为 ，
所以 是 上的偶函数，所以只需求 在 上的最大值即可.
当 时， ， ，则当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得： ，即 .故答案为： .
28．已知函数 的定义域 ，且对任意 ，恒有 ，当
时， ，若 ，则m的取值范围为__________.
【解析】 中，取 得 ，取 得 ，
取 ， ，得 ，所以 是偶函数，
设 ，则 ， ，所以 ，
所以 在 上是减函数，
设 ， 是偶函数，且 在 上是减函数，
， ，
所以 ，
且 ，所以m的取值范围是 .
29．已知函数 为 上的偶函数，当 时， ．
(1)求 时， 的解析式；
(2)写出函数 的单调增区间；(3)若 ，求 的取值范围．
【解析】(1)由题意，函数 为 上的偶函数，当 时，
设 ，则 ，可得 ，
即当 时，函数 的解析式为 .
(2)当 时， ，
因为 和 都是增函数，可得 在 上为增函数，
又因为函数 为 上的偶函数，所以函数 在区间 上为减函数，
所以函数 的单调递增区间为 .
(3)由函数 为 上的偶函数，
且函数 在区间为 上单调递增，在区间 单调递减，
则不等式 ，即为 ，解得 ，
即不等式的解集为 .
30．已知函数 为R上的奇函数．
(1)求 的值，并用定义证明函数 的单调性；
(2)求不等式 的解集；
(3)设 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范
围．
【解析】(1)因为 为奇函数，
所以 ，得 ，所以 ，下面用定义法证明单调性：
，且 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在R上单调递增.
(2)由（1）知 在R上单调递增，且为奇函数，
故不等式
即 ，整理得 ，即 ，
解得 ，故不等式解集为
(3)因为 在R上单调递增，所以在区间 上， ，
，故
当 时， ，不存在符合题意的 ；
当 时， 在区间 上为增函数，
要使对任意的 ，总存在 ，使得 成立
则需 ，即 ，解得 ，即
31．设 （ 为实常数）.
(1)当 时，证明： 不是奇函数；
(2)设 是奇函数，求 与 的值；
(3)在（2）的条件下，当 时，若实数 满足 ，求实数 的取值范围.【解析】(1)当 时， ， ，
所以 不是奇函数.
(2)若 为奇函数，则 ，即 ， ，
，
，
恒成立，
所以 或 .
(3)由于 ，由（2）得 ，所以 ，
所以 是定义在 上的奇函数，且在 上递减，
，即 ，
即 ，所以 .所以 的取值范围是 .
32．已知函数 ， 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，当
时， .
(1)若 成立，求x的取值范围；
(2)求 在区间 上的解析式，并写出 的单调区间（不必证明）；
(3)若对任意实数x，不等式 恒成立，求实数t的取值范围.【解析】(1)由 ，
得 ，
则 .解得 ，
所以x的取值范围是 ， .
(2)当 时， ；则 ；
当 时， ，则 .
所以
因为 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，
所以
所以 的单调递减区间是 ， ，递增区间是 .
(3)因为 ，所以
由 ，得 或 或 .
由 的图象知， 恒成立 或 ，即 或 .
即 或 恒成立
因为 ，则 不恒成立.
因为 ， ，
则 恒成立 ，所以t的取值范围是 .
