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专题14 函数的图象(二)
考点一 函数图象的变换
一、单选题
1．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
【解析】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到
，错误；
B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 ，错误；
C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
，错误；
D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
，正确.故选：D
2．要得到函数 的图象，只需将指数函数 的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【解析】由 向右平移 个单位，则 .故选：D
3．为了得到 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
【解析】由 ，得 ，
所以为了得到 的图象，只需将 的图象向右平移1个单位，得到 的图象，
再向上平移2个单位，得到 的图象，即 的图象.故选：B.
4．为了得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位
D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位
【解析】 函数 ， 为了得到函数 的图像，
只需将函数 的图像，向右平移3个单位，再向上平移2个单位，故选： ．
5．要得到 的图像，只要将 的图像（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【解析】函数 向左平移 个单位后得到 ，故选：C.
6．把函数 图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把图象向右平移2个单位
长度,此时图象对应的函数为 ,则 （ ）
A． B． C．0 D．
【解析】由题知,函数 图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,可得 的图象,再把图象向右平移2个单位长度,
可得 ,即 的图象,故最小正周期 ,
,
则 .故选:C
7．已知函数 的图象如下图所示，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】在 轴左侧作函数 关于 轴对称的图象，得到偶函数 的图象，
向左平移一个单位得到 的图象.故选：A.
8．若函数 的图象向左平移一个单位长度，所的图象与曲线 关于 轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为与曲线 关于 轴对称的曲线为 ，向右平移1个单位得 ，
所以 ．故选：C．二、解答题
9．利用函数 的图象，作出下列各函数的图象．
(1) ；(2) (3) ；(4) ；(5) ；(6) ．
【解析】（1）把 的图象关于 轴对称得到 的图象，如图，
（2）保留 图象在 轴右边部分，去掉 轴左侧的，并把 轴右侧部分关于 轴对称得到 的
图象，如图，
（3）把 图象向下平移一个单位得到 的图象，如图，
（4）结合（3），保留 上方部分，然后把 下方部分关于 轴翻折得到 的图象，如图，（5）把 图象关于 轴对称得到 的图象，如图，
（6）把 的图象向右平移一个单位得到 的图象，如图，
10．已知函数 定义在 上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) .
【解析】（1）将函数 的图象向左平移一个单位可得函数 的图象，函数 的图
象如图：（2）将函数 的图象向上平移一个单位可得函数 的图象，函数 图象如图：
（3）函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，函数 图象如图：
（4）函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，函数 的图象如图：
（5）将函数 的图象在 轴上方图象保留，下方的图象沿 轴翻折到 轴上方可得函数 的
图象，函数 的图象如图：
（6）将函数 的图象在 轴左边的图象去掉，在 轴右边的图象保留，并将右边图象沿 轴翻折到
轴左边得函数 的图象，其图象如图：考点二 利用函数图象解决不等式问题
一、单选题
1．如图为函数 和 的图象，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由图象可得当 ，此时需满足 ，则 符合要求，故
；当 ，此时需满足 ，则 符合要求，故 .
综上所述， .故选：D.
2．将 的图象向右平移2个单位长度后得到函数 的图象，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题设可知 ，
在平面直角坐标系中，分别作出函数 ， 的图象，如图，
由图可知，当 时， .故原不等式的解集为 .故选：C.3．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图，当 时， ，因为函数 在 上分别单调递增，
可得 在 上单调递增，且 .
因为 是定义在 上的奇函数，所以 在 上单调递增，且 .
由 ，得 或 解得 或 .
则不等式 的解集是 .
故选：D.
4．已知函数 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．【解析】由题知 在同一坐标系下画出 ，
图象如下所示：
由图可知 的解集为 .故选：A.
5．已知函数 的定义域为R， ，且 在 上递增，则
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数 ，满足 ，则 关于直线 对称，
所以 ，即 ，
又 在 上递增，所以 在 上递减，则可得函数 的大致图象，如下图：
所以由不等式 可得， 或 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 .故选：D.6．已知函数 ，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据题意当 时, ，
当 时, ,
作出函数 的图象如图，
在同一坐标系中作出函数 的图象，
由图象可得不等式 解集为 ，故选：C
二、多选题
7．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， ，若对任意
，都有 ，则实数m的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C． D．【解析】因为函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， ，
所以当 时， ，
当 时， ，
函数部分图象如图所示，由 ，得 ，解得 或 ，
因为对任意 ，都有 ，所以由图可知 ，故选：ABC
8．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 的图象如图所示，则满足不等式
的x可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】由题得 ，在同一坐标系中画出 和 的图象，结合图象可知B，
C正确．故选：BC
9．定义在R上的函数 ，满足 ，且当 时， ，则使得 在上恒成立的m可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知， ，
当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ，
令 ，解得 或 ，所以 或 ，
所以m的最大值为 ，故 或 ，故选：AB
10．函数 ， ，其中 .记 ，设
，若不等式 恒有解，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知：若不等式 恒有解，只需 即可.
，
令 ，解得： 或 ；
令 ，解得： 或 ；①当 ，即 时，则 与 大致图象如下图所示，
， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，不合题意；
②当 ，即 时，则 与 大致图象如下图所示，
， 在 ， 上单调递减， ， 上单调递增；
又 ， ，
若 ，则需 ，即 ，解得： ；
综上所述：实数 的取值集合 ，
， ， ， ， AB错误，CD正确.故选：CD.三、填空题
11．已知函数 ，则不等式 的解集是______.
【解析】 ， ，作出函数 ， 的图象如下，
由图可知，满足不等式 的 的取值范围为 ，所以，不等式 的解集是 .
12．不等式 的解集为________．
【解析】作出 ，（其中 ）的图象，如图，
时， 单调递减， 单调递增，两个函数均过点 ，
时， ， ，
时， ， ，
由图可知，当 时， ，则不等式 的解集为 .
13．定义在R上的函数 满足 ，且当 时， ．若对任意
，都有 ，则t的取值范围是__________．
【解析】因为当 时， ，所以 ，
因为 ，当 时，即 时，
由 ，所以 ，同理可得
依此类推，作出函数 的图象，如图所示：
由图象知：当 时，令 ，则 ，
对任意 ，都有 ，则 ，故 的取值范围为 ，
14．已知函数 ，若不等式 恒成立，则实数a的范围是____________．
【解析】要 恒成立，只需函数 的图象始终在直线 的上方（除交点外）.
如图所示：若直线 与 的图象相切时，
即 只有一解， ，解得 或 ，
由图可知，此时直线 斜率为负数，故 （舍去）， ；
当 时， ，其图象为双曲线的一部分， 图象的渐近线为
故 时，直线 与 平行，
由图可知，当直线 的斜率满足 时， 恒成立.
故答案为： .
四、解答题
15．已知函数 ， ．
(1)在给出的坐标系中画出函数 的图像；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题得， ，画出 的图像如图所示：（2）设 ，
， ，且 ， ，
画出 的大致图像，
由图像知，若 恒成立，则 ，即 ， ，
故实数 的取值范围为 ．
16．已知函数 .
(1)在坐标系中作出函数 的图象；
(2)若 ，求实数 的取值范围.【解析】（1） 所以函数 的图象如下：
（2）方法一：记 ，易知 为恒过定点 的直线，
如图所示， .
数形结合易得满足条件 时， ，所以实数 的取值范围为 ；
方法二： 恒成立，
当 时， ，即 ，
其中 ，故 ，
当 时， ，
当 时，不等式为 恒成立，
当 时，不等式为 ，
其中 ，
其中 ，所以 ，故 ，
当 时， ，即 ，其中 ，
其中 ，故 ，故 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围为 .
考点三 利用函数图象解决方程的根与交点问题
一、单选题
1．方程 的解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】分别作出函数 图象,
由图可知，有2个交点，所以方程 的解的个数是2，故选：C
2．已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数 有两个不同的零点，即为函数 与直线 有两个交点，
函数 图象如图所示：所以 ，故选：D.
3．已知函数 ，若方程 有四个不同的解 且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 .先作 图象，由图象可得
因此 为 ， ，
从而 .故选：A
4．函数 的图象和函数 的图象的交点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】如图，作出函数 与 的图象，由图可知，两个函数的图象有3个交点.
故选：C.5．已知函数 ，若实数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3
【解析】函数 的零点个数即函数 与 的函数图象交点个数问题，
画出 的图象与 ， 的图象，如下：
故函数 的零点个数为2或3.故选：D
6．已知函数 ，若关于 的方程 恰有5个不同的实根，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
， 或 .作出函数 的图像如图所示，由图知 的图像与 有两个交点，若关于 的方程 恰有5个不同的实根，
则 的图像与 有三个公共点，所以 的取值范围 .故选：D.
7．已知函数 ，若方程 有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，该直线恒过点 ，方程 有四个不同的实数根
如图作出函数 的图象，
结合函数图象，则 ，所以直线 与曲线 有两个不同的公共点，
所以 在 有两个不等实根，令 ，实数 满足 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选：D.
8．已知函数 ，若方程 有两个实根，且两实根之和小于0，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，易知方程 总有一个实根为0，
当 时， ， ，方程 没有非零实根.
当 时，当 时， ， ；当 时， ，
，
在 上单调递减，在 上单调递增
如图所示，作出两函数的大致图像，可知坐标原点为两个图像的公共点.
当 时， ， ，
， ， 与 的图像在原点处相切，
当 时， ， ，
， ， 与 的图像在原点处相切，此时方程 仅有一个实根0.
结合图像可知，当 时，方程另有一正根，不合题意；
当 时，方程另有一负根，符合题意.
故满足条件的 的取值范围是 .故选：C.
9．函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解析】
函数 的图像与函数 的图像有公共对称轴 ，分别做出两个函数的图像如图所示，
由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线 对称，则所有交点的横坐标之和为 .
故选：C
10．已知函数 ，若函数 有6个不同的零点，且最小的零点为
，则 （ ）
A．6 B． C．2 D．
【解析】由函数 的图象，经过沿 轴翻折变换，可得函数 的图象，
再经过向右平移1个单位，可得 的图象，
最终经过沿 轴翻折变换，可得 的图象，如下图：则函数 的图象关于直线 对称，令 ，则 ，
由图可知，当 时， 有 个零点，当 时， 有 个零点，
因为函数 有6个不同的零点，所以函数 有两个零点，一个等于 ，
一个大于 ，又因为 的最小的零点为 ，且 ，
所以函数 的两个零点，一个等于 ，一个等于 ，
根据韦达定理得 ， ，即 ， ，则 ．故选：B．
二、多选题
11．关于x的方程 ，给出下列四个判断：其中正确的为（ ）
A．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
B．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；
D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；
【解析】由 得 ①，设 ，则 ，
设 作出 的函数图象如图所示：
由图象可知：当 或 时，关于t的方程 只有1解，不妨设为 ，显然 或 ，
而关于x的方程 有两解，故方程①有2个解;当 或 时，关于t的方程 有两解，不妨设为 ， ，显然 ，
而关于x的方程 有两解，故方程①有4个解;
当 时，关于t的方程 有三解，且其中一解为 ，不妨设三个解为 ， ， ，且
，
而关于x的方程 只有1解，关于x的方程 有两解，故方程①有5个解;
当 时，当关于t的方程 有三解，不妨设为 ， ， ，显然 ，
而关于x的方程 有两解，故方程①有6个解.
综上所述，存在实数k，满足选项ABC
故选：ABC
12．已知函数 ，若方程 有四个不等实根 （ ），则
下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 最小值为2
【解析】因为 ，易知， 单调递减区间为 和 ，单调递增区间为
和 ，其图像如图所示，因为方程 有四个不等实根 ，
由图易知， ， ，由二次函数 的对称性得 ，
又 ，即 ，得到 ，所以 ，故选项A正确，
选项B错误；选项C，因为 ， ，两式相加得 ，
即 ，又 ，得到 ，所以 ，故选项C
正确；
选项D， ，
当且仅当 ，即 时取等号，又易知 ，所以取不到等号，
所以 ，故选项D错误.
故选：AC.
13．已知函数 ，若关于 的方程 有两解，则实数 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】①当 时， 在 内单调递增，且 ，所以 ；
②当 时，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
所以 ，且 .
方程 的根的个数可以转化为 与 的交点个数，可得：
当 时， 与 没有交点；当 时， 与 有且仅有1个交点；
当 时， 与 有且仅有2个交点；
当 时， 与 有且仅有1个交点；
若关于 的方程 有两解，即 与 有且仅有2个交点，
所以实数 的取值范围为 ，因为 ，而A、C不在相关区间内，
所以A、C错误，B、D正确.故选：BD.
14．已知函数 ，若函数 恰好有4个不同的零点，则实数 的取值可
以是（ ）
A． B． C．0 D．2
【解析】由题意可知：
当 时， 在 上单调递减，则 ；
当 时， 在 上单调递增，则 ；
若函数 恰好有4个不同的零点，
令 ，则 有两个零点，可得：
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，可得 ；可得 和 均有两个不同的实根，
即 与 、 均有两个交点，
不论 与 的大小关系，则 ，且 ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围为 .
且 ，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
三、填空题
15．已知定义在 上的函数 ，满足 ，当 时， ，若方程
在区间 内有实数解，则实数 的取值范围为__________.
【解析】当 时，则 ，
所以 ，即 ，
当 时，则 ，所以 ，即 ，
则 ，当 时，则 ，
所以 ，即 ，画出 的图象如下：
由图象可知，当 时，方程 在区间 内有实数解，
所以实数 的取值范围为 .
16．已知 ，若关于 的方程 有五个相异的实数根，则 的取值
范围是______．
【解析】因为 ，根据题意和函数图象可知，
有两个根，则 有3个根， 的图象如图所示，
结合图象可知，要使方程 有3个根，则有 ，所以 .故答案为： ．
17．已知函数 ， ，若 有2个不同的零点，则实数 的取值范围是
____.
【解析】设 ，当 时， ， ；
当 时， ， ；当 时， ， .综上可得， .函数 的定义域为 ，
由复合函数单调性可知函数 单调递增.又 ，
作出 的图象如图所示
由图象可知，当 时，曲线 与 恒有两个交点，即 有两个零点，
所以 的取值范围是 .
18．已知定义域为R的偶函数 满足 ，且当 时， ，若将方程
实数解的个数记为 ，则 _________．
【解析】由题意可得 ，
方程 的实数解个数，即两函数的交点个数，
不难发现 也是偶函数，所以两函数的交点是关于纵轴对称的，
这里只解析 的情况.结合条件作出两函数简要图象如下：
当 时，
此时有两个交点，即 ，当 时，
此时有4个交点，即 ，
当 时，
此时有6个交点，即 ，以此类推，可知 ，
故 ，即
四、解答题
19．已知函数 .
(1)作出函数 的图象；
(2)就a的取值范围讨论函数 的零点的个数．
【解析】（1）先作出 的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上
方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．
.
（2）由图象易知，函数 的零点的个数就是函数 的图象与直线 的交点的个数．
.
当 时，函数 的零点的个数为0；当 与 时，函数 的零点的个数为2；
当 时，函数 的零点的个数为4；
当 时，函数 的零点的个数为3.
20．已知函数 ，在区间 上有最大值8，有最小值0，设 ．
(1)求 ， 的值；
(2)不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
(3)若方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题可得 ，所以 ，
；
（2）由题可得 ， ，因为 在 上有解,
即存在 ,使得 成立,因为 ，所以有 成立,
令 ,因为 ,所以 ,即 ,使得 成立,
只需 即可,因为 ,得 ,
所以k的取值范围是 ；
（3）令 ，则 ，化简得： ，
根据 的图象可知，方程 要有三个不同的实数解，则方程 有两个不同的实数根，
令 ，由题意：函数的两个零点 ， ，
① 时，代入 ， ，不成立；
② ， ，由零点存在性定理 ，
，由①②可知： .
