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专题 18 数列的通项公式和数列求和
【考纲要求】
掌握数列求和的几种基本方法．
【思维导图】
【考点总结】
一、倒序相加法
如果一个数列{a}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的
n
前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
二、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即
可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
三、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
裂项相消求和经常用到下列拆项公式：(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－．
【思维导图】
【考点总结】
一、分组求和法
分组求和一般适用于两种形式：
(1)若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a}的前n项和；
n n n n n n
(2)通项公式为a＝的数列，其中数列{b }，{c}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
n n n
二、并项求和法
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求
n
解．
【题型汇编】
题型一：倒序相加法数列的前n项和
题型二：错位相减法数列的前n项和
题型三：裂项相消法数列的前n项和
题型四：分组并项法数列的前n项和
题型五：数列求和的其他方法
【题型讲解】
题型一：倒序相加法数列的前n项和
1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数 ，则
______．
2．（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数 ，等差数列 满足 ，则
__________．
3．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了
一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 ，设数列 满足
，若存在 使不等式 成立，则
的取值范围是______.
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列 的前n项和为 ，且 ，设函
数 ，则 ______．
题型二：错位相减法数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：
欧拉函数 （ ）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个
整数的公约数只有1），例如： ； （与3互素有1､2）； （与9互素有1､2､4､5､7､
8）.记 为数列 的前n项和，则 =（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．（2022·山东聊城·二模）已知数列 ，当 时， ，则数列 的前 项的和
为______．
2．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））已知 为等差数列 的前n项和， ， ，设
，且数列 的前n项和为 ，则使 恒成立的实数 的取值范围是______．3．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））已知数列 满足 ， ，则数
列{ }的前9项和为______________．
三、解答题
1．（2022·河北邯郸·二模）已知等比数列{ }的公比 ，且 ， ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设数列{ }的前n项和为 ，求数列{ }的前n项和．
2．（2022·河南许昌·三模（文））已知等差数列 的前n项和为 ，数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
3．（2022·江西·二模（文））已知等比数列 的前n项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前n项和 ．
4．（2022·广东·华南师大附中三模）已知等差数列 中， ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式及前2n项和；
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，求 .
题型三：裂项相消法数列的前n项和一、单选题
1．（2022·广西柳州·三模（理））我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，
其方法的前两步为：
第一步：构造数列1， ．
第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a，a，a，…，an．
1 2 3
则aa＋aa＋…＋an an等于（ ）
1 2 2 3 －1
A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)
2．（2022·陕西·西安中学三模（文））数列 ， 满足 ， ， ，则 的
前10项之和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·三模）已知数列 满足 ， ，则数列 的前2022项和
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·云南·二模（文））设等差数列 的前n项和为 ．若 ， ，则数列 的前
项和是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））数列 中， ， ，
.当 时，n等于（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
二、解答题1．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正项数列 的前 项和 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求证：数列 的前 项和 .
2．（2022·山东威海·三模）已知等比数列 的各项均为正值， 是 、 的等差中项， ，记
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））等比数列 中，首项 ，前n项和为 ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
3．（2022·宁夏石嘴山·一模（文））已知 为等比数列，前n项和为 ， ， .
(1)求 的通项公式及前n项和 ；
(2)若 ，求数列 的前100项和 .
4．（2022·内蒙古通辽·二模（理））已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 为等比数列.(2)若 ，求数列 的前 项和 .
题型四：分组并项法数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列 满足 ， ， ，数列 的前n
项和为 ，则 （ ）
A．351 B．353 C．531 D．533
2．（2022·四川·仁寿一中二模（理））数列{ }中， ，前 和为 ，则 为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建漳州·二模）已知 是数列 的前n项和， ， ， ，记
且 ，则 （ ）
A．171 B．278 C．351 D．395
4．（2022·陕西·西安中学二模（理））已知数列 满足 ， ，
则数列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
二、解答题
1．（2022·上海松江·二模）在等差数列 中，已知 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和 ．
2．（2022·广东韶关·二模）已知数列 前 项和为 ，(1)证明：
(2)设 求数列 的前 项和 ．
3．（2022·重庆·二模）设 为数列 的前 项和，已知 ， .若数列 满
足 ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项的和 .
4．（2022·陕西宝鸡·三模（文））已知数列 中 ，且 .记
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和.
题型五：数列求和的其他方法
一、单选题
1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学三模（文））已知数列 的前n项之和 ，则
的值为
A．61 B．65 C．67 D．68
二、多选题
1．（2022·重庆·三模）数列 依次为：1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，…，其中第一项为 ，接下来三项均为 ，再接下来五项均为 ，依此类推.记 的前
项和为 ，则（ ）A． B．存在正整数 ，使得
C． D．数列 是递减数列
三、解答题
1．（2022·广东佛山·三模）设各项非零的数列 的前 项和记为 ，记 ，且满足
．
(1)求 的值，证明数列 为等差数列并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
