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2016 年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ）
A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}
2．（5分）复数 =（ ）
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．8 B．9 C．27 D．36
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ）
A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x
5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
6．（5 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为
（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x
﹣y的最大值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．7 D．8
第1页 | 共5页8．（5分）某学校运动会的立定跳远和 30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决
赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位： 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
米）
30秒跳绳（单位： 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65
次）
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有 8人，同时进入立定跳远决赛和 30
秒跳绳决赛的有6人，则（ ）
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）已知向量 =（1， ）， =（ ，1），则 与 夹角的大小为
．
10．（5分）函数f（x）= （x≥2）的最大值为 ．
11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．
12．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一
个焦点为（ ，0），则a= ，b= ．
13．（5分）在△ABC中，∠A= ，a= c，则 = ．
14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19种商
第2页 | 共5页品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有
3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 种；
②这三天售出的商品最少有 种．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）已知{a }是等差数列，{b }是等比数列，且b =3，b =9，a =b ，
n n 2 3 1 1
a =b ．
14 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设c =a +b ，求数列{c }的前n项和．
n n n n
16．（13分）已知函数 f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为
π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
第3页 | 共5页17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米
的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该
市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图
频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格
为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3时，估计该
市居民该月的人均水费．
18．（14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC，
DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明
理由．
第4页 | 共5页19．（14分）已知椭圆C： + =1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆 C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB
与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
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