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专题22 隐零点问题
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，
导致解题过程将无法继续进行．但可这样尝试求解：先证明函数 f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函
数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出
其零点是x.因为x 不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x 叫做隐零点；若x 容易求
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出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．
1．设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
2．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的零点及单调区间；
(2)求证：曲线y＝存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y<－1.
0
3．设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)求证：当a＞0时，f(x)≥2a＋aln.
4．已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)．
(1)讨论f(x)极值点的个数；
(2)若x 是f(x)的一个极小值点，且f(x)>0，证明：f(x)>2(x －x)．
0 0 0 0
5．已知函数f(x)＝－ln x－x2＋x，g(x)＝(x－2)ex－x2＋m(其中e为自然对数的底数)．当x∈(0,1]时，
f(x)>g(x)恒成立，求正整数m的最大值．6．已知f(x)＝x2－4x－6ln x.
(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程以及f(x)的单调性；
(2)对任意x∈(1，＋∞)，有xf′(x)－f(x)＞x2＋6k·－12恒成立，求k的最大整数解；
(3)令g(x)＝f(x)＋4x－(a－6)ln x，若g(x)有两个零点分别为x，x(x＜x)且x 为g(x)的唯一的极值点，
1 2 1 2 0
求证：x＋3x＞4x.
1 2 0
7．已知函数 ．当 时, ,求整数 的最大值．
8．已知函数 .
（1）证明：函数 在 上存在唯一的零点；
（2）若函数 在区间 上的最小值为1，求 的值.
9．已知函数 ， ．
（1）令 ，求 的最小值；（2）若 恒成立，求 的取值范围．
10．已知函数 的图象在点 （ 为自然对数的底数）处的切线斜率为
．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值．
11．已知函数 .
（1）若 在 处的切线斜率为 ,求实数a的值；
（2）当 时,判断 的极值点个数；
（3）对任意 ,有 ,求a的取值范围.
12．已知定义在 上的函数 .
（1）求证： 存在唯一的零点,且零点属于 ；
（2）若k∈Z,且 对任意的 恒成立,求k的最大值.13．已知函数 , ．
（1）设函数 ,求 的最大值；
（2）证明： ．
14．已知函数 ,在定义域上有两个极值点 ．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证:
15．已知函数 ．（ ）
（1）讨论 的单调性；
（2）若对任意 都有 ,求实数a的取值范围．16．已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围.
17．已知函数 , 为 的导函数．
（1）讨论 在区间 内极值点的个数；
（2）若 , 时, 恒成立,求整数 的最小值．
18．已知函数 , .
（1）若函数 在 处取得极值1,其中 .证明： ；
（2）若 恒成立,求实数 的取值范围.
