[A4版]25李林108题数二做题本_考研_数学_02.李林_25李林《108题》做题本

李林 108 ·目录 目录 高等数学 .......................................................................... 3 高频考点1函数的性质 .......................................................... 3 高频考点2极限的定义和性质 .................................................... 5 高频考点3函数极限计算 ........................................................ 6 高频考点4已知极限，确定参数等 ................................................ 8 高频考点5数列极限 ........................................................... 11 高频考点6函数的连续性与间断点 ............................................... 15 高频考点7导数的定义 ......................................................... 17 高频考点8导数计算、相关变化率 ............................................... 21 高频考点9微分中值定理和泰勒公式 ............................................. 24 高频考点10导数的应用 ........................................................ 31 高频考点11积分计算 .......................................................... 36 高频考点12积分变限函数及原函数 .............................................. 40 高频考点13积分等式、不等式 .................................................. 42 高频考点14定积分应用 ........................................................ 46 高频考点15多元函数微分学的概念 .............................................. 50 高频考点16复合函数、隐函数的偏导数、全微分计算 .............................. 52 高频考点17含偏导数等式 ...................................................... 53 高频考点18多元函数极值与最值 ................................................ 55 高频考点20微分方程及其应用 .................................................. 58 高频考点21二重积分 .......................................................... 62 线性代数 ......................................................................... 68 高频考点26行列式计算 ........................................................ 68 高频考点27矩阵的计算 ........................................................ 70 高频考点28矩阵方程 .......................................................... 72 高频考点29初等矩阵 .......................................................... 73 第 1 页，共92页李林 108 ·目录 高频考点30矩阵的秩 .......................................................... 74 高频考点31向量相关性 ........................................................ 77 高频考点32含参数线性方程组 .................................................. 79 高频考点33抽象线性方程组及两个方程组公共解、同解 ............................ 80 高频考点34相似矩阵 .......................................................... 82 高频考点35实对称矩阵相似 .................................................... 85 高频考点36二次型的标准形和规范形 ............................................ 87 高频考点37二次型正定及正负惯性指数 .......................................... 91 第 2 页，共92页李林 108 ·1.函数的性质 高等数学 高频考点1 函数的性质 (1)设 第 3 页，共92页 g ( u ) =  us0 in ( c o s t ) d t , f ( x ) =  x 0 g ( u ) d u ,则正确的是( ). A. f ( x ) 是不可导的偶函数 B. f ( x ) 是可导的偶函数 C. f ( x ) 是不可导的奇函数 D. f ( x ) 是可导的奇函数 1 ex x te−t4 dt (2)设 f (x)= −1 ,则 x −1 f ( x ) 在下列哪个区间内无界( ). A. ( , 1 )  − − B. ( − 1 , 0 ) C. ( 0 ,1 ) D. ( 1 , )  +李林 108 ·1.函数的性质 (3)设 f (x)在(−,+)内连续,且 f (x)关于点(a,0)对称,计算I = a+c f (t)dt.(a,c为不为零的常数) a−c (4)设可导函数 第 4 页，共92页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内是奇函数, y = f ( x ) 的图形关于直线 x = 2 对称,证明: f ( x ) 是以8为 周期的周期函数,并求 f  ( 1 8 ) 的值.李林 108 ·2.极限的定义和性质 高频考点2 极限的定义和性质 (1)下列结论中错误的是( ). A.设lima =a0,则当n充分大时,有 n n→ 第 5 页，共92页 a n  a 2 B.设 lim n a n a 0  → =  ,则当 n 充分大时,有 a n  a − 1 n C.设 lim n a n a b lim n b n   → =  = → ,则当 n 充分大时,有a b n n D.设M a N(n=1,2, ),若lima =a,则M aN n n n→ (2)设 f ( x ) = ln 2 x , g ( x ) = x 2 , h ( x ) = x x ( x  1 ) ,当 x 充分大时,有( ). A. f ( x )  g ( x )  h ( x ) B. g ( x )  h ( x )  f ( x ) C. h ( x )  g ( x )  f ( x ) D. g ( x )  f ( x )  h ( x )公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·3.函数极限计算 高频考点3 函数极限计算 (1)求 第 6 页，共92页 lim x ( 1 x 1 x x ) x x e  → +  + + −  .  x(2+sint)t −2tdt   (2)计算极限lim 0 . x→0 etanx −ex (3)计算极限 lim x → 0 ta n ( ta n ta x n ) x − − s s in in ( x s in x ) .李林 108 ·3.函数极限计算 1  x( 1+t2) sin 1 −cost  dt x3 1   t   (4)计算极限 lim . x→+ 1 1−ex 第 7 页，共92页李林 108 ·4.已知极限,确定参数等 高频考点4 已知极限，确定参数等 (1)设常数 第 8 页，共92页 a  0 ,若 lim x x p a 1x a 1x 1 q 0  → +  − +  =  ,求 p , q 的值. (2)设 f (x)是连续函数, lim x → 0 1 f − ( c x o ) s x = − 1 ,当 x → 0 时,  1− 0 cosx f ( t ) d t 是关于 x 的 n 阶无穷小,求 n .李林 108 ·4.已知极限,确定参数等   b  (3)设 lim  xaln1+ −x  =c,其中a0,b0,c0,求a,b,c的值. x→+  x  (4)设当x→0时, 第 9 页，共92页 f ( x ) = x + a ln ( 1 + x ) + b x s in x 与 g ( x ) = x − ta n x 是等价无穷小,求 a , b 的值.李林 108 ·4.已知极限,确定参数等  f (x) ln1+  x2 f (x)   (5)设lim =1,求lim . x→0 arctanx x→0 (1−cosx)tanx (6)求曲线 第 10 页，共92页 y = 2 x + ln ( 1 + e x ) 的全部渐近线.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·5.数列极限 高频考点5 数列极限 (1)求极限 第 11 页，共92页 lim n 2 n 1n n 2 1 n  →   −  . n 1 (2)求极限lim (n+k)(n+k+1). n→ n2 k=1李林 108 ·5.数列极限  (3)设a = 1 xn 1−x2 dx,b =2sinntdt(n=1,2, ). n n 0 0 (I)求极限 第 12 页，共92页 lim n a b n n  → ; (4)设函数 f (x)可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( x ) 单调减少. (I)证明:当 x  ( 0 ,1 ) 时,有 f ( 1 ) x  f ( x )  f  ( 0 ) x ; (II)若 f ( 1 )  0 , f  ( 0 )  1 ,任取 x 0  ( 0 ,1 ) , x n = f ( x n − 1 ) , n = 1 , 2 , ,证明: lim n x n  → 存在,并求其值.李林 108 ·5.数列极限 (5)设 f (x)在a,b上二阶可导, f(x) k1,f(x )=0,f(x )0,x (a,b),且满足x = f (x ). 0 0 0 0 0 (I)x a,b,x = f (x )(n=1,2, ),证明:limx 存在,且limx =x ; 1 n+1 n n n 0 n→ n→ (II)求 第 13 页，共92页 lim n ( x x n n 1 x x 0 0) 2  → + − − . (6)设 f (x)二阶可导, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 , a  b , f ( b ) = 0 ,过点(a,f (a))作曲线 y = f ( x ) 的切线与 x 轴 相交于点 ( x 0 , 0 ) . (I)证明: a  x 0  b ; (II)若过点 ( x 0 , 0 ) 作 x 轴的垂线,交 y = f ( x ) 于点 A 1 ,再过点 A 1 作 y = f ( x ) 的切线交 x 轴于点 ( x 1 , 0 ) ,重 复以上过程 n 次,如图所示,得数列  x n  ,证明; lim n x n b  → = .李林 108 ·5.数列极限   (7)设x  0, ,数列   1  4 第 14 页，共92页  x n  满足 x n = 1 2 ( x n + 1 + ta n x n ) ( n = 1 , 2 , ) . (I)证明: lim n x n  → 存在,并求其值; (II)求 lim n x n x n 1 12xn  →  +  . (8)设 f n ( x ) = s in x + s in 2 x + + s in n x , n = 1 , 2 , . (I)证明:方程 f n ( x ) = 1 在 6 , 2     上有且只有一个实根; (II)若 x n 6 , 2      是 f n ( x ) = 1 的实根,求 lim n x n  → .李林 108 ·6.函数的连续性与间断点 高频考点6 函数的连续性与间断点 (1)求函数 第 15 页，共92页 f ( x ) = lim u → x  ta ta n n u x  ln (1+ x tanu − tan x ) 的间断点,并指出其类型. (2)确定a,b的值,使得 f ( x ) = ( x − e x a −) ( b x − 1 ) 有无穷间断点 x = 0 和可去间断点 x = 1 .李林 108 ·6.函数的连续性与间断点 (3)证明:方程1−e−2x =x在(0,+)内有唯一实根. 第 16 页，共92页李林 108 ·7.导数的定义 高频考点7 导数的定义  2 2 (1)设 f (x)=ln1+x3−x3,则正确的是( ).   A. 第 17 页，共92页 f  ( 0 ) 不存在, f  ( 0 ) 不存在 B. f  ( 0 ) 存在, f  ( 0 ) 不存在 C. f  ( 0 ) 存在, f  ( 0 ) 存在 D.无法确定 f  ( 0 ) 是否存在 1 1 1 (2)设 f(x )= ,x =sin + ,n=1,2, ,求 0 2 n n n2 lim n f x 0 1 n s in f 1 n ( x 0 x n )  →  +  − − .李林 108 ·7.导数的定义 f (x)+xx −1 (3)设 f (x)在x=1处可导,且lim =1,求 f(1). x→1 1−ex−1            (4)设 f (x)=  tan x−1  tan x2 −2   tan xn −n  ,n2,求  4   4    4   第 18 页，共92页 f  (1 ) .李林 108 ·7.导数的定义 2 (5)设 f (x)严格单调可导, f(x)0,且 f (x)在x=1处二阶可导, f (1)=−2, f(1)=− , 2 第 19 页，共92页 f ( 1 ) 2 , x ( y )   = = 是 y = f ( x ) 的反函数,求 d d 2 y x 2 y = − 2 . (6)设曲线 y = f ( x ) 与 y = ( x + 1 ) 2 在点 ( 0 ,1 ) 处有公切线,求极限 lim n n s in 1 n 1 n f 1n  →   −   .李林 108 ·7.导数的定义 1  f (x−hx)h 1 (7)设 f (x)在(0,+)内可导, f (x)0, lim f (x)=1,且满足lim  =ex,求 f (x)的表达式. x→+ h→0 f (x)  (8)设y= f (x)由 第 20 页，共92页  x y = = t t t  te 0 u 2 d u 确定,则下列选项中正确的是( ). A. f(x)在 x = 0 处连续 B. f(x)在 x = 0 处不连续 C. f  ( 0 ) 不存在 D. f  ( 0 ) 存在公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·8.导数计算、相关变化率 高频考点8 导数计算、相关变化率 (1)设可导函数 第 21 页，共92页 y = f ( x ) 有反函数 g ( x ) ,且 f ( x 0 ) = 2 , f  ( x 0 ) = 1 , f  ( x 0 ) = 2 ,求 g  ( 2 ) . (2)(仅数学一、二要求)设y= 1+sint  1+eu 1 du,t=t(x)由   x=cos2v, 确定,求 1   t =sinv d d y x .李林 108 ·8.导数计算、相关变化率 (3)设 f (x)=x2ln(1+x),求 f(n)(0)(n3). (4)设y= f (x)由方程 第 22 页，共92页 x y 1 xs in 2 4 t d t  =  −   确定. (I)求 f(0)和 f  ( 0 ) ; (II)求极限 lim n n f 1 n 1  →    −  .李林 108 ·8.导数计算、相关变化率 (5)(仅数学一、二要求)溶液从深 第 23 页，共92页 1 8 c m 、顶面直径 1 2 c m 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 1 0 c m 的圆 柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液,已知当溶液在漏斗中深为 1 2 c m 时,其表面下降的速率为 1 c m / m in ,问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?李林 108 ·9.微分中值定理和泰勒公式 高频考点9 微分中值定理和泰勒公式 (1)设 第 24 页，共92页 f ( x ) , g ( x ) 均在  − 1 ,1  上可导,且  0 − 1 f ( x ) d x =  1 0 f ( x ) d x = 0 , f ( x ) 只有有限个零点, g ( x )  0 . (I)证明:方程 f ( x ) = 0 在 ( − 1 ,1 ) 内至少有两个不同实根; (II)证明:方程 f  ( x ) g ( x ) − f ( x ) g  ( x ) = 0 在 ( − 1 ,1 ) 内至少有一个实根. (2)设 f (x)在  0 ,1  上二阶可导,且 lim x → 0 + f ( x x ) = 1 , lim − x → 1 f x ( − ) x 1 = 2 ,证明: (I)存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = ; (II)存在不同的 1 , 2 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 2 )      −  = − ; (III)存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) f ( )    = .李林 108 ·9.微分中值定理和泰勒公式 (3)设 f (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f (0)=0, f (1)=1. (I)证明:存在 第 25 页，共92页 1 与 2 满足 0 1 2 1      ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 2    +  = ; (II)证明:在 ( 0 ,1 ) 内存在与,使得 f ( ) f ( ) f ( )      =  . (4)设 f (x)在0,1上有二阶导数,且 f (1)=0,方程 f (x)=0在(0,1)内有实根 x 0 . (I)证明:在 ( 0 ,1 ) 内存在不同的 1 与 2 ,使得 1 f ( 1 ) f ( 1 ) 2 f ( 2 ) f ( 2 ) 0 ;        + =  + = (II)证明:若 f ( 0 )  0 ,且  x  ( x 0 ,1 ) ,有 f  ( x )  0 ,则存在 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = .李林 108 ·9.微分中值定理和泰勒公式 第 26 页，共92页李林 108 ·9.微分中值定理和泰勒公式 (5)设 f (x),g(x)在a,b上二阶可导,且 f (a)g(a), f (b)g(b),  b f (x)dx= b g(x)dx.证明:至少存 a a 在一点(a,b),使得 f()g(). (6)设 f (x)在 第 27 页，共92页  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内二阶可导,有 f ( 0 ) =  1 − 1 ( x + 1 − x 2 ) 2 d x , f (1)= +lnx dx, 1 x2  1 0 f ( x ) d x = 3 . 证明:至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0    .李林 108 ·9.微分中值定理和泰勒公式 (7)在x=0的邻域内,用ax+bx2 +cx3近似表示函数arctanx,使其误差是比x3高阶的无穷小(x→0),求 第 28 页，共92页 a , b , c 的值. (8)设不恒为零的函数 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续导数,且 f (0)= f (1)=0,M =max  f (x) . x0,1 (I)证明:至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 2 M    ; (II)证明:  1 0  f ( x ) + x f  ( x )  d x = 0 ; (III)证明:存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) M     .李林 108 ·9.微分中值定理和泰勒公式 (9)设 第 29 页，共92页 f  ( x )  M ,且 lim x → 1 ( f x ( − x 1 ) ) 2 存在, f (0)=0. (I)证明:存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = ; (II)证明:对任意 a  1 ,有 f  ( 0 ) + f  ( a )  M a . (10)设 f (x)在a,b上有二阶连续导数,证明:至少存在一点(a,b),使得 f ( b ) f ( a ) 2 f a 2 b ( b 4 a ) 2 f ( ) .  + −  +  = − 李林 108 ·9.微分中值定理和泰勒公式 (11)设 f (x)在a,b上有连续的二阶导数,且M =max  f(x) . xa,b (I)证明: 第 30 页，共92页  b a f ( x ) d x − ( b − a ) f  a + 2 b   ( b − 2 a 4 ) 3 M ; (II)证明:存在 ( a , b )   ,使得 b a f ( x ) d x ( b a ) f a 2 b ( b 2 a 4 ) 3 f ( )   = −  +  + −  . (12)设 f ( x ) 在  a , b  上有连续的二阶导数,且 f  ( a ) = f  ( b ) ,证明:存在 ( a , b )   ,使得 b a f ( x ) d x 1 2 ( b a ) f ( a ) f ( b ) 1 2 4 ( b a ) 3 f ( ) .   = −  +  + − 公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·10.导数的应用 高频考点10 导数的应用 (1)证明: 第 31 页，共92页  ln 1 + x x − 1 1 + x  2  x ( 1 1 + x ) 2 ( x  0 ) . (2)设在  0 , )  + 上的可导函数 y = f ( x ) 满足y− p(x)y0,且 f ( 0 )  0 ,其中 p(x)在  0 , )  + 上为正值连 续函数,当 0  a  b 时,下列选项中正确的是( ). A. f ( 0 )  f ( a )  f ( b ) B. f ( b )  f ( a )  f ( 0 ) C. f (b) f (0) f (a) D. f (a) f (0) f (b)李林 108 ·10.导数的应用 x x, x0, (3)设函数 f (x)= 讨论 f (x)的连续性,并求其单调区间、极值.  0, x=0, (4)(仅数学一、二要求)设函数y= y(x)由 第 32 页，共92页  x y = = tln ln t t t , ( t  1 ) 确定. (I)求y= y(x)的单调区间与极值; (II)求 y = y ( x ) 的凹凸区间与拐点.李林 108 ·10.导数的应用 (5)设 f (x)在(−,+)内满足e−x − x2 −1= x f (t−x)dt,求 f (x)的单调区间和最值,并求其渐近线. 2 0 (6)求函数 第 33 页，共92页 f ( x ) =  1 − 1 t − x e − 2t d t ( − 1  x  1 ) 的单调区间与极值.李林 108 ·10.导数的应用 (7)设函数y= y(x)由方程y=x2 + y2确定,且y(0)=0,求y= y(x)的单调区间和凹凸区间,并计算 y(x) lim . x→0 x3 (8)设 f (x)是 第 34 页，共92页 ( , )   − + 内的偶函数, f ( 0 ) = 1 ,且当 x  0 时, f ( x ) lim n 1 n 1 c o s x n c o s 2 n x c o s ( n n 1 ) x .  = →  + + + + −  (I)求 f (x)和 f  ( 0 ) ; (II)求 f ( x ) 在  ,   − 上的最大值.李林 108 ·10.导数的应用 1 (9)设y= y(x)满足x2y+y=x2ex(x0),且y(1)=3e. (I)求y= y(x)的全部渐近线方程; (II)讨论曲线 第 35 页，共92页 y = y ( x ) 与 y = k ( k  0 ) 不同交点的个数.李林 108 ·11.积分计算 高频考点11 积分计算 (1)计算 第 36 页，共92页 I =  − sinx e ( 1 −  s in s in x 2 ) x 2 d x . (2)设 f ( x ) =  xe 1 − 2t d t ,求I = 1 x2f (x)dx. 0李林 108 ·11.积分计算 (3)计算 f (x)= 2x x−t costdt(x0),并求 f(2). 0 1 (4)计算积分I = xarcsin2 x−x2 dx. 0 第 37 页，共92页李林 108 ·11.积分计算 1 n a (5)求a = xlnnxdx(n=0,1,2, ),并计算lim k . n 0 n→ k! k=0  (6)计算I =2cosnxsinnxdx( n 0 第 38 页，共92页 n 为正整数).李林 108 ·11.积分计算 ln(1+x) + (7)讨论反常积分I = dx的敛散性. 0 xp 第 39 页，共92页李林 108 ·12.积分变限函数及原函数 高频考点12 积分变限函数及原函数 (1)设 f (x)在 第 40 页，共92页 1 , )  + 上有一阶导数, f (1)=1,g(x)为 f ( x ) 的反函数,且满足 2 x f ( x ) −  x 1 f ( x − t + 1 ) d t −  f 1 (x )g ( t ) d t = ( x − 1 ) e x + 2 , 求 f ( x ) . (2)设 f (x)可导,且满足 x tf (2x−t)dt= 1 arctanx2,f (1)= 1 . 0 2 2 2 (I)求 f (x)dx; 1 (II)证明:至少存在一点(1,2),使得 f()=0.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·12.积分变限函数及原函数 (3)设 f (x)=lim x+2nx ,则F(x)= x f (t)dt在x=0处( ). n→1+2nx −1 A.可导 B.间断 C.不可导但连续 D.无法判定 第 41 页，共92页李林 108 ·13.积分等式、不等式 高频考点13 积分等式、不等式 (1)设 第 42 页，共92页 I 1 2 0 s in 1 x c o x s 2 x d x , I 2 2 0 1 s in x x 2 d x , I 3 2 0 1 c o s x 2 x d x    =  + =  + =  + ,则( ). A. I 1  I 2  I 3 B. I 1  I 2  I 3 C. I 2  I 3  I 1 D. I 2  I 1  I 3 (2)设 f (x)在  0 , a  ( a  0 ) 上有二阶连续导数,且 f ( x )  0 , f ( 0 ) = 0 , f  ( x )  0 ,证明:  a 0 x f ( x ) d x  2 3 a  a 0 f ( x ) d x .李林 108 ·13.积分等式、不等式 (3)设周期为1的周期函数 f (x)=x−x(x表示不超过x的最大整数). (I)当nxn+1时, 第 43 页，共92页 n 为正整数,证明: n 2   x 0 f ( t ) d t  n + 2 1 ; (II)求 lim x 1 x x 0 f ( t ) d t  → +  . (4)设 f (x)在(−,+)内连续,n为正整数. (I)证明: (2 0 n )1 x f ( s in x ) d x ( 2 n 2 1 ) (2 0 n )1 f ( s in x ) d x     − = −  − ; (II)若 f ( x ) 1 x c o s 2 x f ( x ) s in x d x   = + +  − ,求 f ( x ) .李林 108 ·13.积分等式、不等式 (5)设 f (x)和g(x)在a,b上连续,g(x)在(a,b)内可导,且g(x)0,证明:至少存在一点 第 44 页，共92页  a,b,使 得 b a f ( x ) g ( x ) d x g ( b ) b f ( x ) d x g ( a ) a f ( x ) d x    =  +  . (6)设 f (x)在 ( , )   − + 内连续, f ( x + T ) = f ( x ) , T  0 ,且 f ( − x ) = f ( x ) . (I)证明:  nT 0 x f ( x ) d x = n 2T 2  T 0 f ( x ) d x (n为正整数);李林 108 ·13.积分等式、不等式 (7)设 f (x)在0,1上有二阶连续导数, f (x)不恒为零,且 f (0)= f (1)=0, f (x) 在 第 45 页，共92页 x = x 0 处取得最大值, x (0,1). 0 (I)证明:至少存在 1 ( 0 , x 0 ) , 2 ( x 0 ,1 )     ,使得 f ( 2 ) f ( 1 ) 1 x 0 f ( 2 )     −  =  ; (II)证明:  1 0 f  ( x ) d x  4 f ( x 0 ) .李林 108 ·14.定积分应用 高频考点14 定积分应用 (1)(I)求 第 46 页，共92页 y y e x 2 c o s s x in x , y 2 e 2    + = −   = − 的特解; (II)求 y = e − x s in x ( x  0 ) 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.李林 108 ·14.定积分应用 (2)设曲线 第 47 页，共92页 y = s in x 与 y = c o s x   在 0, 上所围平面图形为    4 D . (I)求D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 1 ; (II)求 D 绕直线 y = 1 旋转一周所得旋转体的体积 V 2 ; (III)求D绕直线 x 4  = 旋转一周所得旋转体的体积 V 3 .李林 108 ·14.定积分应用 x=acos3t,   (3)(仅数学一、二要求)设D是由y= a2 −x2(0xa)与  0t ,a0 所围平面区域, y=asin3t  2  第 48 页，共92页 L 为 D 的边界. (I)求D的面积 A ; (II)求曲线 L 的全长; (III)求D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 和表面积 S .李林 108 ·14.定积分应用 (4)设一高为4的椭圆底柱形容器内有某种液体,将容器沿母线(高线)水平放置,已知椭圆方程为 第 49 页，共92页 x 4 2 + y 2 = 1 (单位: m ). (I)若容器内储满了液体,现以 0 .1 6 m 3 / m in 的速率将液体从容器顶端抽出,当液面在 y = 0 时,液面下降 的速率是多少? (II)(仅数学一、二要求)若液体的密度与重力加速度的乘积为 g 1 0 4 N / m 3  = ,则抽完全部液体需做功 多少? (5)设曲线 y = a x 2 ( a  0 ) 与 y = c o s x 在 x = t 处相交, t 0 , 2     ,记y=ax2,y=cost及 x = 0 所围面积为 S 1 , y = c o s x , y = c o s t 及 x 2  = 所围面积为 S 2 . (I)求面积 S = S 1 + S 2 ; (II)证明: S = S 1 + S 2 在 0 , 2    内有唯一最大值.李林 108 ·15.多元函数微分学的概念 高频考点15 多元函数微分学的概念 (1)设 第 50 页，共92页 f ( x , y ) = ( x + y ) ( x + y ) ,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). A.偏导数不存在 B.偏导数存在但不连续 C.可微 D.不可微 (2)设函数z= f (x,y)在点(0,1)的某邻域内可微,且在该邻域内有 o ( ) , x 2 y 2 f ( x , y + 1 ) = 1 + 2 x + 3 y +   = + ,则极限 lim n f 0 , e 1n n  →     = __________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·15.多元函数微分学的概念 (3)设函数 f (x,y)= x2 + y2(x,y),其中(x,y)在点(0,0)处连续且(0,0)=0. (I)求 f'(0,0),f'(0,0); x y (II)证明: 第 51 页，共92页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.李林 108 ·16.复合/隐函数的偏导数及全微分 高频考点16 复合函数、隐函数的偏导数、全微分计算 (1)设函数 第 52 页，共92页 z = z ( x , y ) 由方程z+lnz= x e−t2 dt(z0)确定,求 y d z 2z 和 . xy (2)设 f ( x , y ) , g ( x , y ) 有二阶连续偏导数, ( x ) f x , g ( x 2 , x 2 )  =   ,求 d d 2 x 2  . (3)设y=g(x,z),z=z(x,y)由方程 f ( x − z , x y ) = 0 确定,其中 f , g 均可微,求 d d y x , d d z x .李林 108 ·17.含偏导数等式 高频考点17 含偏导数等式 (1)(仅数学一、二要求)设 第 53 页，共92页 z ( x , y ) = f ( x y ) 满足   x 2 z  y = ( 2 x 2 y 2 + 1 ) e 2x 2y ,其中 f ( t ) ( t  0 ) 有二阶连续导 数,求z= f (xy)(可用变限积分表示). (2)设u=u(x,y)有二阶连续偏导数,且满足 a   2 x u 2 + 2 b   x 2 u  y + c   2 y u 2 = 0 , 其中 a 、 b 、 c 为常数,且 ac−b2 0(c0),求线性变换 x x k y , y ,     = = + + 将方程化简为 2 u 0     = .李林 108 ·17.含偏导数等式 ( ) (3)设u(x,y)= f x2 +y2 在 第 54 页，共92页 D : x 2 + y 2  4 上有二阶连续偏导数,且满足    u 2 x ( u 2 0 + , 0   ) 2 y = u 2 0 − , u 1 x ( 1  u  x ) ,1 + = u 2 = c o x s 2 + 2 , y 2 , 求函数 u 的表达式及 u 在 D 上的最大值.李林 108 ·18.多元函数极值与最值 高频考点18 多元函数极值与最值 (1)求 f (x,y)=x3+y3−3x2 −3y2的极值. (2)已知 第 55 页，共92页 z = f ( x , y ) 的全微分 d z = ( 2 x − 2 x y 2 ) d x + ( 4 y − 2 x 2 y ) d y ,且 f ( 1 ,1 ) = 2 ,求 f ( x , y ) 在 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , y  0  上的最大值和最小值.李林 108 ·18.多元函数极值与最值 (3)求由方程2x2 +2y2 +z2 +8xz−z+8=0所确定的函数z=z(x,y)的极值. (4)设z=z(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足 第 56 页，共92页   x 2 z  y = − 2 , z ( x , 0 ) = x 4 − x 2 ,   z y (0 ,y ) = 4 y 3 − 2 y , 求 z = z ( x , y ) 的极值.李林 108 ·18.多元函数极值与最值 x2 y2 (5)设 f (x,y)=x2 +(y−1)2(x0)在条件 + =1(a0,b0,且ab)下取得最小值1,且椭圆 a2 b2 第 57 页，共92页 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 所围面积最小,求 a , b 的值. (6)设当x0,y0时,有 x 2 − y 2  k e 2x + 2y 成立,求k的最小值.李林 108 ·20.微分方程及其应用 高频考点20 微分方程及其应用 (1)设y= y(x)是微分方程 第 58 页，共92页 y  − 4 y  + 3 y = x e x 的一个解,且其图形在点 ( 0 ,1 ) 处的切线与 y = x 2 − 1 4 x + 1 在 该点处的切线重合,求 y = y ( x ) . (2)设微分方程y+ay= f (x)(a0), f (x)为R上的连续函数. (I)若 f (x)在  0 , )  + 上有界,证明:微分方程的任一解在  0 , )  + 上有界; (II)若 f ( x ) 是周期为 T 的函数,证明:微分方程存在以 T 为周期的解.李林 108 ·20.微分方程及其应用 (3)设 f (x),g(x)满足 f(x)=g(x),g(x)= x 1− f (t)dt+1,且 f (0)=1,求   0  I =2e−2xg(x)−2f (x)dx.   0 (4)设 f (t)有一阶连续导数,且满足 第 59 页，共92页 f ( t ) +  te0 x f 3 ( t − x ) d x = a e t ( 0  a  1 ) , 求 f ( t ) 的表达式.李林 108 ·20.微分方程及其应用 d2y dy (5)利用变换t =e−x,将微分方程 + +e−2xy=e−3x化为y关于t的微分方程,并求原微分方程的通 dx2 dx 解. (6)(仅数学一、二要求)设飞机以匀速 第 60 页，共92页 v ( v 为常数)沿垂直于 x 轴的方向向上飞行,飞机在 ( a , 0 ) ( a  0 ) 处被发现,随即从原点 ( 0 , 0 ) 处发射导弹,导弹的速度为 2 v ,方向始终指向飞机,如图所示. (I)求导弹飞行轨迹 y = y ( x ) 的表达式; (II)求导弹自发射到击中飞机所需时间 T .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·20.微分方程及其应用 (7)(仅数学一、二要求)设在第一象限内的曲线y= y(x)满足y(0)=0,且y(x)0,曲线上任一点 第 61 页，共92页 M ( x , y ) 处的切线段为 M T ,点 M 到 x 轴的垂线为 P M ,如图所示, P M T 的面积与曲边三角形 O P M 的 面积之比恒为常数 k  k  1 2  ,求 y = y ( x ) 的表达式.李林 108 ·21.二重积分 高频考点21 二重积分 (1)设D={(x,y)(x−1)2 +(y−1)2 2}, 第 62 页，共92页 I k =  D  x + 4 y  1k d x d y , k = 1 , 2 , 3 , 4 , 则maxI =( ). k 1k4 A.I B.I C.I D.I 1 2 3 4 (2)设 D =  ( x , y )∣ 1  x + y  2 , 0  x  2 , 0  y  2  ,计算 I =  D e − (x + y 2) ( s in 2 x + c o s 2 y ) d x d y .李林 108 ·21.二重积分 (3)计算I = 2 d 2( 2 −1 ) er2dr. 0  (4)设D= (x,y∣) x2 +y2 4,x0,y0  ,f (x,y)在 第 63 页，共92页 D 上连续,且 f ( x , y ) = x 2 + y 2 − s in x + s in y +  D f ( x , y ) ( x 2 + y 2 ) d x d y , 求 f ( x , y ) .李林 108 ·21.二重积分 x=1−cost, (5)(仅数学一、二要求)设平面区域D由曲线 (0t2)与y轴围成,计算二重积分 y=t−sint 第 64 页，共92页 I =  D ( 2 x + y ) d x d y . (7)设 f (x)在  0 ,1  上连续,且满足  x 0 f ( t ) d t = 3 2 x 2 −  1 2 a r c s in x + 1 2 x 1 − x 2   1 0 f 2 ( x ) d x . (I)求 f (x)的表达式; (II)求 I =  D f ( x − y ) d x d y ,其中 D : 0  y  x  1 .李林 108 ·21.二重积分  x−y x−y (8)设D=(x,y∣) x+y1,x0,y0.计算I = sin +cos dxdy.  x+ y x+ y D (9)设D是由 第 65 页，共92页 y = 1 − x 2 , y = 4 − x 2 与 x + y = 0 及 x 轴所围且位于 x + y  0 部分的区域,计算 x2 + y2 I = dxdy. x2 +2y2 D李林 108 ·21.二重积分 (10)设 第 66 页，共92页 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  2 x − x 2  ,计算I = x+ y−2dxdy. D (11)设 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1 , 0  y  x  ,计算 I = ∬ D 1 + x x y 2 − y 2 d x d y .李林 108 ·21.二重积分 (12)设 f (x)在0,1上有连续的二阶导数, f (0)=1, f'(0)=1,且 t 第 67 页，共92页  D t f  ( x + y ) d x d y =  D t  f ( x + y ) + ( x − y )  d x d y . 其中 D t =  ( x , y )∣ 0  y  t − x , 0  x  t ( 0  t  1 ) ,求 f ( x ) . (13)设在第一象限内, x 2 + y 2 = 1 4 与 x 2 + y 2 = x 4 + y 4 及 x = 0 、 y = 0 所围区域为 D ,计算  D x 2 x + y y 2 d x d y I = .李林 108 ·26.行列式计算 线性代数 高频考点26 行列式计算 a +1 a a a a a 1 2 3 n−2 n−1 n −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 (1)计算D = . n 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 (2)设行列式 第 68 页，共92页 A = 2 1 1 1 2 a 1 b 1 c 1 2 a 2 b 2 c 2 2 a 3 b 3 c 3 = 1 , A ij 是 A 中元素 a ij 的代数余子式,求 4 i= 1 4 j= 1 A ij .李林 108 ·26.行列式计算 (3)设A是3阶方阵, 第 69 页，共92页 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,且 A 1 1 2 , A 2 2 3 , A 3 3 1 ,          = + = + = + 求行列式 A−E . (4)设A为3阶非零实矩阵,且 A T = k A * (k为非零常数). (I)证明: A 是可逆矩阵; (II)求行列式 A − 1 + ( A * ) − 1 .李林 108 ·27.矩阵的计算 高频考点27 矩阵的计算 (1)设A=E−2ααT,α为 第 70 页，共92页 n 维列向量,且 α T α = 1 ,求 A 2 n . (2)设矩阵 A =  1 1 0 − 2 2 0 0 0 2  , B 为3阶矩阵,且满足 2 B − 1 A + 4 E = A ,证明: B − 2 E 可逆,并求 ( B − 2 E ) − 1 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·27.矩阵的计算 (3)设3阶矩阵 第 71 页，共92页 A 的特征值为1,2,−1,对应的特征向量分别为α =(1,1,1)T, α =(0,1,2)T, α =(1,0,1)T,求 1 2 3 A3−2A. (4)设 A =  0 0 1 0 1 0 1 0 0  ,已知矩阵 B 与矩阵 A 相似,求 r ( B − 2 E ) + r ( B − E ) 及 ( A − E ) n ( n 为大于1的正整 数).李林 108 ·28.矩阵方程 高频考点28 矩阵方程 (1)设 第 72 页，共92页 A * =  1 1 0 0 2 0 0 4 2  满足 A X + ( A − 1 ) * X ( A * ) * = E ,且 A  0 ,求矩阵 X . (2)设矩阵 X 满足  − 1 2 1 − 1 k 1 − 1 1 k  X =  − k 2 1 − 1 2 k − 2  ,求矩阵 X .李林 108 ·29.初等矩阵 高频考点29 初等矩阵 (1)设 第 73 页，共92页 A =  0 1 0 1 0 0 0 0 1  , B =  1 0 0 0 0 1 0 1 0  , C =  1 2 1 − − 4 0 2 − 3 1 0  ,且 A 3 X B 3 = C ,求矩阵 X . 2 0 1   (2)设A= 0 2 0 满足     3 0 2 A * B ( A * ) − 1 = 6 A + 2 B A ,其中 A * 是 A 的伴随矩阵,B为3阶矩阵. (I)求矩阵 B ; (II)求可逆矩阵 P 和 Q ,使得 P A Q = B .李林 108 ·30.矩阵的秩 高频考点30 矩阵的秩 (1)设矩阵 第 74 页，共92页 A = ( a ij ) n  n , r ( A ) = n − 1 ,证明:存在常数 k ,使得 ( A * ) 2 = k A * . (2)设A,B均是 n 阶可逆矩阵,且 A B = B − 1 A − 1 ,证明:r(E+AB)+r(E−AB)=n.李林 108 ·30.矩阵的秩 (3)设α,β是3维单位列向量,且α与β正交,求A=2ααT +ββT的特征值及r(A). (4)设α,β为 第 75 页，共92页 n 维列向量, A = E − k α1 β T ,且常数 k 1  0 , β T α  1 k 1 .证明:矩阵 A 可逆,且 A − 1 = E − k 2 α β T , 其中 β T α = 1 k 1 + 1 k 2 .李林 108 ·30.矩阵的秩 (5)设 第 76 页，共92页 A =  1 2 1 0 a 2 − 1 1 1  , B 是3阶矩阵,且r(B)=2,r(AB)=1,A*与B*分别是A与B的伴随矩阵,则正确的 是( ). A. r   A A * O B   = 3 . B. r   A O O B *   = 3 . C. r   A O * B A   = 3 . D. r   A O B B *   = 3 .李林 108 ·31.向量相关性 高频考点31 向量相关性 (1)设向量组 第 77 页，共92页 α 1 , α 2 , , α s 是 A x = 0 的一个基础解系,向量 β 满足 A β  0 ,证明:向量组 β , β + α 1 , β + α 2 , , β + α s 线性无关. (2)设 A =  1 1 2 2 3 7 − 2 0 2  = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , B =  − 1 0 1 2 1 1 2 1 1  = ( β 1 , β 2 , β 3 ) . (I)求α ,α ,α ,β ,β ,β 的一个极大线性无关组; 1 2 3 1 2 3 (II)求3阶可逆矩阵 Q ,使得 A Q = B .李林 108 ·31.向量相关性 (3)设向量α =(1,−1,2,−1)T,α =(−3,4,−1,2)T,α =(4,−5,3,−3)T,α =(−1,a,3,0)T, β=(0,b,5,−1)T. 1 2 3 4 (I)问a,b为何值时,β不能由α ,α ,α ,α 线性表示? 1 2 3 4 (II)问 第 78 页，共92页 a , b 为何值时, β 可由 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性表示?并写成表达式. (4)设向量组①为α =(1,0,2)T,α =(1,1,3)T,α =(1,−1,k+2)T,向量组②为 1 2 3 β 1 = (1 , 2 , k + 3 ) T , β 2 = ( 2 ,1 , k + 6 ) T , β 3 = ( 2 ,1 , k + 4 ) T . (I)问k为何值时,向量组①与②等价? (II)问 k 为何值时,向量组①与②不等价?李林 108 ·32.含参数线性方程组 高频考点32 含参数线性方程组 (1)设方程组 第 79 页，共92页  x − x 1 x 1 + 1 − x + x 2 a 2 + x + 2 a x + 2 x 3 x 3 = 3 = 4 = − , a 4 2 , , 问 a 分别为何值时,方程组有解、无解?有解时,求出通解. x +x −2x +3x =0, 1 2 3 4  2x +x −6x +4x =−1, (2)问a,b为何值时,方程组 1 2 3 4 有解、无解?当有解时,求方程组的通解. 3x +2x +ax +7x =−1,  1 2 3 4  x −x −6x −x =b 1 2 3 4李林 108 ·33.抽象线性方程组/公共解/同解 高频考点33 抽象线性方程组及两个方程组公共解、同解 (1)设 第 80 页，共92页 B = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是4阶矩阵,非齐次线性方程组 B x = β 的通解为 (1 , − 1 , 0 ,1 ) T +k(1,0,−3,2)T.(k为 任意常数)记 A = ( β + α 2 , α 4 , α 3 , α 2 , α 1 ) ,求方程组 A x = β 的通解. x +2x +x −x =0, 1 2 3 4  (2)设方程组① 2x +3x +x −3x =0, ② 1 2 3 4  3x +5x +2x −4x =0, 1 2 3 4  x x 1 1 + + x b 2 x + 2 + a x 2 4 x = 3 = 0 , 0 . (I)求方程组①的通解; (II)问 a , b 为何值时,方程组①与②同解、①与②有非零公共解?公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·33.抽象线性方程组/公共解/同解 (3)设齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ =(1,1,0,0)T,ξ =(1,0,1,0)T,ξ =(1,0,0,1)T,齐次线性方程组 1 2 3 (II)的基础解系为η =(0,0,1,1)T,η =(0,1,0,1)T,求方程组(I)与(II)的非零公共解. 1 2 (4)设方程组(I) 第 81 页，共92页  4 x 1 x 1 3 + − x 1 x x − 2 2 − − x 2 2 x − x 4 − 3 x 3 = x = − 6 = 4 3 , , 1 , (II)  x b x 1 x 3 + 2 − a − 2 x x x 2 3 4 − − = x − 3 2 x 4 − c x 4 = − + 1 , = 1 − 1 , 5 , 问 a , b , c 为何值时,方程组(I)与(II) 同解?李林 108 ·34.相似矩阵 高频考点34 相似矩阵 (1)设齐次线性方程组 第 82 页，共92页 A x = 0 的通解为 k 1 ( 1 , 0 , 2 ) T + k 2 ( 0 ,1 , − 1 ) T , k 1 , k 2 为任意常数,且 α = ( 1 , 2 , 3 ) T 满足 ( 3 E + A ) α = 0 ,求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = Λ ,并求矩阵 A . (2)设 A =  2 1 0 1 2 0 0 0 1  与 B =  − a 0 1 − b 1 2 c 0 4  相似. (I)求a,b,c的值; (II)求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B ; (III)A的伴随矩阵为 A * ,求方程组 ( 3 E − A * ) X = 0 的通解.李林 108 ·34.相似矩阵 (3)设 第 83 页，共92页 A =  − 3 a 4 − 2 1 2 − − 2 a 3  有三个线性无关的特征向量. (I)求a的值,并求可逆矩阵 P 及对角矩阵 Λ ,使得 P − 1 A P = Λ ; (II)求可逆的实对称矩阵 Q ,使得 Q − 1 A Q = A T . 1 1 a  1     (4)设A= 1 a 1 ,b= 1 ,方程组         a 1 1 −2 A X = b 有无穷多解. (I)求a的值及 A X = b 的通解; (II)求正交矩阵 Q 及对角矩阵 Λ ,使得 Q T A Q = Λ .李林 108 ·34.相似矩阵 (5)设A是2阶矩阵,2维非零列向量α不是A的特征向量. (I)证明: 第 84 页，共92页 α , A α 线性无关. (II)若 A 2 α − A α − 2 α = 0 ,求可逆矩阵 P 和对角阵 Λ ,使得 P − 1 A P = Λ .李林 108 ·35.实对称矩阵相似 高频考点35 实对称矩阵相似 (1)设3阶实对称矩阵 第 85 页，共92页 A 的特征值为 1 1 , 2 3 1 , 1     = = = − 对应的特征向量为 α 1 = (1 , 0 ,1 ) T . (I)求A2; (II)若β=(1,2,3)T,求 A n β . (2)设A是3阶实对称矩阵,=2是A的特征值,其对应的特征向量为α =(−1,1,1)T. 1 1 (I)当 r ( A ) = 1 时,k (1,1,0)T +k (1,−1,0)T(k,k 为任意常数)是否为方程组 1 2 1 2 A x = 0 的通解?说明理由; (II)当 r ( A ) = 1 时,求方程组 A x = 0 的通解,并求矩阵 A .李林 108 ·35.实对称矩阵相似 (3)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵 第 86 页，共92页 P ,使得P−1AP=diag(1,2,−1),且α =(1,a+1,2)T, 1 α 2 = ( a − 1 , − a ,1 ) T 分别为 A 的特征值 1 1 , 2 2   = = 对应的特征向量, A * 的特征值 0 对应的特征向量为 β = ( 2 , − 5 a , 2 a + 1 ) T . (I)求a与 0 的值; (II)求矩阵 A . (4)设3阶实对称矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , r ( A ) = 2 ,且满足 α 1 + 2 α 2 + α 3 = ( 3 , 6 , 3 ) T , α 1 − α 2 + α 3 = ( − 1 ,1 , − 1 ) T . (I)求A; (II)若X=(x,x ,x )T,求方程 1 2 3 X T ( A + E ) X = 0 的全部解.李林 108 ·36.二次型的标准形和规范形 高频考点36 二次型的标准形和规范形 (1)设二次型 第 87 页，共92页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 4 x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 8 x 1 x 3 + 2 b x 2 x 3 ( b  0 ) ,经过正交变换 x = Q y 化为标准 形为 5 y 21 + 5 y 22 − 4 y 23 . (I)求a,b的值及一个正交矩阵Q; (II)利用配方法化二次型 f 为规范形. (2)设二次型 f (x,x ,x )=xTAx,A= ( a ) 为实对称矩阵, 1 2 3 ij 33 α 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T , α 2 = ( − 1 ,1 , 0 ) T , α 3 = ( 0 , 2 ,1 ) T 是方 程组Ax=0的三个解向量,且 3 i= 1 a ii = 2 . (I)证明: r ( A ) = 1 ; (II)求二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的表达式.李林 108 ·36.二次型的标准形和规范形 (3)设二次型 f (x,x ,x )=2xx +3x x +4xx ,利用可逆线性变换化 1 2 3 1 2 2 3 1 3 第 88 页，共92页 f 为标准形,并求 f 的正、负惯性 指数及 f 的秩. (4)设二次型 f (x,x ,x )=(x +x )2 +(x −x )2 +(x +ax )2 . 1 2 3 1 2 2 3 1 3 (I)求 f (x,x ,x )=0的解; 1 2 3 (II)当 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 有非零解时,求正交变换 X = Q Y ,将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形; (III)求 f (x,x ,x )的规范形. 1 2 3李林 108 ·36.二次型的标准形和规范形 (5)已知二次型 f (x,x ,x )=x2 +2x2 +2x2 +2ax x (a0),在正交变换 1 2 3 1 2 3 2 3 第 89 页，共92页 X = Q Y 下化为g(y , 1 y 2 , y 3 ) = 2 y 21 + b y 22 + 2 y 23 − 2 y 1 y 3 . (I)求a,b的值; (II)求正交矩阵Q. (6)设二次型 f (x,x ,x )=x2 +x2 +x2 +2axx +2axx +2ax x ,经过可逆线性变换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 X = P Y 化为 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = y 21 + y 22 + 3 y 23 + 2 y 1 y 2 . (I)求a的值; (II)求可逆矩阵 P .李林 108 ·36.二次型的标准形和规范形 (7)已知二次型 f (x,x ,x )=x2 +2x2 +ax2 +2xx 经过可逆线性变换X=PY化为y2 + y2. 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 (I)求a的值及可逆矩阵 第 90 页，共92页 P ; (II)设 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ,当 X T X = 1 时,求 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的最大值,并求满足 x 1 = x 2  0 的最大值点.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 ·37.二次型正定及惯性指数 高频考点37 二次型正定及正负惯性指数 (1)设二次型 第 91 页，共92页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 4 x 22 − 3 x 23 + 2 a x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 (a为整数)经过正交变换x= Q y 化为标准形 为 y 21 + 6 y 22 + b y 23 . (I)求a,b的值及正交变换; (II)证明:二次型 x T ( A * + 3 7 E ) x 正定,其中A*为A的伴随矩阵. (2)设二次型 f (x,x ,x )=xTAx经正交变换化为标准形为 1 2 3 2 y 21 − y 22 − y 23 ,又 A * α = α ,α=(1,1,−1)T. (I)求此二次型的表达式; (II)证明: A + 2 E 是正定矩阵.李林 108 ·37.二次型正定及惯性指数 (3)设A是3阶实对称矩阵,二次型 f (x,x ,x )=xTAx在正交变换下的标准形为y2 + y2 − y2,求二次型 1 2 3 1 2 3 第 92 页，共92页 g ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A * x 及 h ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A A * x 的规范形. (4)二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ,其中 A =  1 0 0 2 2 7 2 2 1 2 1  ,求 f 的正惯性指数.李林 108 ·37.二次型正定及惯性指数 (5)设二次型 f (x,x ,x )=XTAX ( AT =A ) 经过正交变换X=QY化为标准形 1 2 3 第 93 页，共92页 2 y 21 − y 22 − y 23 ;又 A * α = α , 其中 α = ( 1 ,1 , − 1 ) T , A * 是 A 的伴随矩阵. (I)求正交矩阵 Q 及实对称矩阵 A ; (II)若正定矩阵 B 满足 B 2 = A + 2 E ,求 B ; (III)求可逆矩阵P,使得A+2E=PTP.