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专题 23 解析几何解答题分类练
一、圆锥曲线方程与轨迹方程的确定
1. （2024届广东省江门市部分学校高三上学期9月联考）在直角坐标系xOy中，动点P到直线 的距
离是它到点 的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线 与曲线C交于A，B两点，求 面积的最大值．
【解析】（1）设 ，因为点P到直线 的距离是它到点 的距离的2倍，
所以 ，则 ，
整理得 ，故曲线 的方程为 ．
（2）设 ， ，
联立方程组 整理得 ，
则 ，
， ．
因为 过点 ，
所以
．
令 ， ， ，
则 在 上恒成立， 在 上单调递增，则当 时， ，则 的最大值为3．
故 面积的最大值为3．
2．（2023届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考）已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为
坐标轴，焦点在 轴上，离心率 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且直线 的倾斜角互补，判断直线 的斜率是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆 的标准方程为 ，
由题意知 ，
故椭圆的标准方程又为 ，即 ，
又椭圆过点 ， ，
椭圆的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在且不过点 ，
设直线 的方程为 ， ，由 ，消去 整理得 ，
需满足 ，则 ， ，
直线 的倾斜角互补， ，
，
，
将 ， 代入得 ，
整理得 ，而 ，
，
所以直线 的斜率为定值，其定值为2.
3.（2024届安徽省皖东智校协作联盟高三上学期10月联考）平面直角坐标系 中， 为动点， 与直
线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限， 且
，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ，设点 与点 关于原点 对称， 的角平分线为直线 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，交 于另一点 ，求 的最大值.
【解析】（1）由题意设 ，由点到直线距离公式得
， ，
∴ ，
∴ ，又∵垂足 位于第一象限，
垂足 位于第四象限， ，
∴ 的轨迹方程为 .
（2）解：由对称性，不妨设 在第一象限，设 ，则 ，
设直线 的斜率为 ，记 ，由 为 的角平分线，
则有 ，
其中 ， ， ， ，
∴ ，
同理得： ，代入 中，
∴ ，化简得： .
将 代入 ， 中，
解得： ， ，∴ ， ，
设直线 的方程为 ，将 代入，
解得： ，
∴直线 的方程为 ， ，
由点到直线距离公式得： .
由直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ，
将 点代入，解得： ，
∴直线 的方程为 ，将其与 联立得：
，
设 ，则 ， ，
由 可知 ， ，
由均值不等式， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∵ ，故 ，∴ ，当且仅当 时，等号成立.
∴ 的最大值为 .
二、长度与周长问题
4. （2024届云南省三校高三联考）已知点 到定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常
数 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若直线 ： 与圆 相切，切点 在第四象限，直线 与曲线 交于 ， 两点，求证：
的周长为定值．
【解析】（1）
设 ，由条件可知： ，等号的两边平方，整理后得： ；
（2）
由（1）的结论知：曲线C是方程为 的椭圆，设 ，依题意有：，
则 ，所以直线l的方程为： ，
联立方程： ，得： ，
设 ，则 ，
，
，
由条件可知： ， ，
的周长 ，即定值为10；
综上，曲线C的方向为 ， 的周长 .
5．（2023届福建省厦门第一中学高三四模）已知 ， 分别是椭圆 ： 的右顶点和
上顶点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 ，与 ， 轴分别交于点 ， ，与椭圆相交于点 ， .
（i）求 的面积与 的面积之比；
（ⅱ）证明： 为定值.【解析】（1）∵ 、 是椭圆 ，的两个顶点，且 ，
直线 的斜率为 ，由 ， ，得 ，
又 ，
解得 ， ，
∴椭圆的方程为 ；
（2）
设直线 的方程为 ，则 ， ，
联立方程 消去 ，
整理得 ， ，得
设 ， ，∴ ， .
（i） ， ，
∴ ，
∴ 的面积与 的面积之比为1；
（ii）证明：综上， .
三、面积问题
6.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 已知椭圆 的左、右焦点
为 ，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ，
的周长为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.
【解析】（1）因为 的周长为 ，即
所以 ，可得 ，
由椭圆的离心率 ，可得 ，从而 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）证明：设 ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立方程 ，整理得 ，
则 ，同理可得， ．
因为 ，
所以
所以 是定值．
7．（2023届河北省唐山市迁西县第一中学高三二模）已知椭圆 ，连接E的四个顶
点所得四边形的面积为4， 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 的直线 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，
使得 ，求三角形 的面积．
【解析】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为 ，
又点 在E上，得 ，
解得 ， ，
故椭圆E的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，由 ，消去 得 ，
又 ，
得 ，设 ， ， ，则
， ．
由 ，可得 为三角形 的重心，
所以 ，且 ，
， ，
故由 在椭圆E上，得 ，得 ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 ．8．（2023届新疆伊犁州伊宁县第三中学高三上学期诊断）已知椭圆C： 经过点
，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM
的斜率乘积为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.
【解析】（1）由题意可设：直线l ， ，则 ，
可得：直线l的斜率 ，直线OM的斜率 ，
因为A，B两点在椭圆C上，则 ，
两式相减得整理得 ，即 ，
所以 ，可得 ，
又因为点 在椭圆C上，则 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）因为四边形OAPB为平行四边形，则M为 的中点，可得 ，则 ，可得直线l的斜率 ，
所以直线l的方程为 ，即 ，
可得点 到直线l的距离 ，
由（1）可知：椭圆C的标准方程为 ，即 ，
联立方程 ，消去y得 ，
可得 ，且 ，
则 ，
所以四边形OAPB的面积 .
四、斜率问题
9. （2024届陕西省商洛市部分学校高三上学期10月测试）已知椭圆C： 过点 ，
且C的右焦点为 ．
(1)求C的离心率；(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线 上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分
别为 ， ， ，证明： ．
【解析】（1）由 得C的半焦距为 ，所以 ，
又C过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ．
故C的离心率为 ．
（2）
由（1）可知C的方程为 ．
设 ， ， ．
由题意可得直线MN的方程为 ，
联立 ，消去y可得 ，
则 ， ，
则，
又 ，
因此 ．
10．（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）如图，已知点 和点 在双
曲线 上，双曲线 的左顶点为 ，过点 且不与 轴重合的直线 与双曲
线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆 分别交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)证明：直线 过定点.
【解析】（1）因为点 和点 在双曲线上，
所以 ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 .（2）由题可知，直线 的斜率不等于零，故可设直线 的方程为 ，
设 ，
联立 ，整理得 ，
若 ，即 ，直线 的斜率为 ，与渐近线 平行，
此时直线 与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以 ，
所以
，
，
因为 ,所以
，所以 .
（3）（i）当 轴时， 且 ，
所以 ，则 ，
联立 ，整理得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 ，
由于对称性， ，此时直线 过定点 ；
（ii）当 不垂直于 轴时，以下证明直线 仍过定点设为 ，因为 ，所以联立 ，
即 ，所以 ，
解得 或 ，
当 时， ，
所以 ,
同理，将上述过程中 替换为 可得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 三点共线，即此时直线 恒过定点 ，
综上直线 过定点 .
11．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考）已知 是椭圆 上的两点， 关
于原点 对称， 是椭圆 上异于 的一点，直线 和 的斜率满足 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线 交椭圆 于 两点 异于椭圆 的上、下顶点），当 的面积最大时，求 的值.
【解析】（1）设 ，易知 ，由 ，
得 ，
化简得 ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）
设 的方程为 ， ， ，
将 代入椭圆方程整理得，
， ，
， ，
则 ，
又原点 到 的距离为 ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
此时 ， 的面积最大.故
.
五、定点问题
12. （2024届四川省达州外国语学校高三9月月考）已知椭圆 ： 经过 ，
两点， 是椭圆 上异于 的两动点，且 ，直线 的斜率均存在.并分
别记为 ， .
(1)求椭圆 的标准方程
(2)证明直线 过定点.
【解析】（1）∵椭圆过 和 ，∴ ，解得 ，
∴椭圆 的方程为： ，
（2）如图所示：
由 知 与 关于直线 对称．
在 上任取一点 ，设 关于直线 对称的点为 ，则 ，解得 ，
从而 ，
于是 ．
设点 ， ： ．
由 得 ，
∴ ，
从而 ．
同理 ， ．
由（1）有 ，故 ， ，
为方便，记 ，则
，
，∴ ，
即 ．
由此可知，当 变化时，直线 过定点 ．13．（2024届广西玉林市高三联考）已知椭圆 的左焦点为 ，且点
在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上、下顶点分别为 ，点 ，若直线 与椭圆 的另一个交点分别
为点 ，证明：直线 过定点，并求该定点坐标.
【解析】（1）因为椭圆 的左焦点 ，可得 ，
由定义知点 到椭圆的两焦点的距离之和为 ，
，故 ，
则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由椭圆的方程 ，可得 ，
且直线 斜率存在，
设 ，设直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立得：
，
则
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，由直线 和直线 交点的纵坐标为4得，
即
又因点 在椭圆 上，故 ，
得 ，
同理，点 在椭圆 上，得 ，
即
即
即
即
化简可得 ，即 ，
解得 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过点 ，与题意不符.
故 ，直线 的方程为 ，直线 恒过点
14．（2024届贵州省高三适应性联考）已知双曲线 的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分别为 、 ，那
么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为 ，
依题意渐近线方程为 ，即 ，
有 ，解得 ， ；
（2）由（1）可知右焦点 ，
设直线 ： ， ， ，
由联立直线与双曲线 ，
化简得 ， ，
故 ， ，
，
又 ，则 ，
同理可得：，
，
化简得 ，
故直线 过定点 .
六、定值问题
15.（2023届陕西省丹凤中学高三模拟演练）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，
长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题意得 ，即 ①．
当点 为 的上顶点或下顶点时， 的面积取得最大值，
所以 ，即 ②．
联立①②，得 ．
故 的方程为 ．（2）
与 的面积之比为定值．
由（1）可得 ，
由题意设直线 ．
联立 得 ，
则 ，
，
所以 ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．
同理可得 ．
故 与 的面积之比为，
即 与 的面积之比为定值 ．
16．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知椭圆 的左右焦点分别为
是椭圆的中心，点 为其上的一点满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设定点 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，若在 上存在一点 ，使得直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值，求 的范围．
【解析】（1）设 ，在 中，设 ，
，
，
，
，
所以椭圆 的方程为：
（2）设 ，直线 的方程为 ，
，
，，
设
，
若 为常数，则 ，
即 ，而此时 ，
又 ，即 或 ，
综上所述， 或 ，存在点 ，使得直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值
17．（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知双曲线C： 一个焦点F到
渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得 为定值？如
果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由双曲线得渐近线方程为 ，设 ，则 ，
∴双曲线C方程为 ；（2）依题意，直线 的斜率不为0，设其方程为 ， ，
代入 得 ，设 ， ， ，
则 ， ，
∴
若要上式为定值，则必须有 ，即 ，
∴ ，
故存在点 满足
七、最值与范围问题
18. （2023届重庆市南开中学校高三下学期质量检测）已知椭圆 的左右焦点为
为椭圆 上异于长轴端点的一个动点， 为坐标原点，直线 分别与椭圆
交于另外三点 ，当 为椭圆上顶点时，有 ．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)求 的最大值．
【解析】（1）由题知 ，代入椭圆 得 ，
∴ ， ，
∴椭圆 的方程为 ；
（2）
设 ，
设 ，由 得 ，
解得 ，
则 ，
代入椭圆 的方程得 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
∴ ，同理可得 ，
，
由题知 ，∴ ，
当 即 为短轴端点时取得最大值 ．
19．（2024届四川省南充高级中学高三上学期月考）已知 ， 为椭圆 的两个焦
点．且 ，P为椭圆上一点， ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 交椭圆于 两点，若 的中点为 为坐标原点，直线 交直线 于点 ．
求 的最大值．
【解析】（1）依题意 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .（2）依题意可知直线 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，
， ， ，
设 ，则 ，
，
.
.
的中点为 ，则 ，即 ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
而 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
则 ，当且仅当 时等号成立.
所以 的最大值为 .
20．（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知椭圆 过 和
两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线 ， 分别
交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
【解析】（1）依题意将 和 两点代入椭圆 可得，解得 ；
所以椭圆方程为
（2）（i）易知 ，由椭圆对称性可知，不妨设 ， ；
根据题意可知直线 斜率均存在，且 ；
所以直线 的方程为 ， 的方程为 ；
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ；
由韦达定理可得 ，解得 ，则 ；
联立直线 和椭圆方程 ，消去 可得 ；
由韦达定理可得 ，解得 ，则 ；
则 ， ；
所以 ；
即可知 为钝角，
所以点B在以 为直径的圆内；
（ii）易知四边形 的面积为 ，设 ，则 ，当且仅当 时等号成立；
由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，
由对称性可知，即当点 的坐标为 或 时，
四边形 的面积最大，最大值为6.
八、与向量交汇问题
21. （2023届广东省揭阳市惠来县第一中学高三最后一模）如图，矩形 ， ， ， 、
分别是 、 的中点，以某动直线 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 都落在
上，记为 ，过点 作 ，与直线 交于点 ，设点 的轨迹是曲线 .
(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线 的方程；
(2) 是 上一点， ，过点 的直线交曲线 于 、 两点， ，求实数 的取值范
围.
【解析】（1）以 为原点，以 所在直线为 轴，以线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，
如图所示，
设 ，则直线 的方程为 ， 的中点坐标为 ，
直线 是线段 的垂直平分线为 ，
将 代入上式，可得 ，所以点 的坐标是 ，
由 ，整理得 ，所以点 的轨迹方程为 .（2）解：因为 ，可得点 的坐标为 ，设直线 ，
设 ，则 是方程组 的解，
整理得 ，所以 ，
因为方程 在 上有两个不同的实根，
所以 ，解得 ，
由 ，可得 ，所以 ，
代入 ，可得 ，
消去 ，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
22．（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟 ）已知椭圆 的左、右焦
点为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点
A、B， 的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
由离心率为 得 ，从而 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）
设 ， ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，同理可得， ．
因为 ， ．
所以，
所以 是定值 .
