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专题25 导数中的三角函数问题
1．已知函数 ， ，
(1)已知 ，求 的值；
(2)是否存在 ，使得对任意 ，恒有 成立？说明理由.
【解析】(1)因为 ， ，
所以 ，而 ，由 解得 ．
(2)对任意 ， 恒成立，即
，化简可得， ，所以
时，可使得对任意 ，恒有 成立．
2．设函数 .
（1）若 在 处的切线为 ，求 的值；
（2）当 时， 恒成立，求 的范围.
【解析】（1）由 得： ，且 .
由题意得： ，即 ，又 在切线 上.
∴ ，得 .
（2）当 时， ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，此时 .
∴ ，即 在 上单调递増，则 ，
要使 恒成立，即 ，∴ .3．设函数 ．
（1）若 在 上存在零点，求实数 的取值范围；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1）设 ，因为当 时， 为增函数，
当 时， ， ，
所以 在 上恒大于零，所以 在 上不存在零点，
当 时， 在 上为增函数，根据增函数的和为增函数，
所以 在 上为单调函数，
所以 在 上若有零点，则仅有1个，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围
（2）证明：设 ，则
，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上递增， 在 上恒成立，所以 在 上递增，而 ，
因为 ，所以 ，所以 恒成立，
所以当 时，
4．已知函数 .
（1）证明：当 时，函数 有唯一的极大值；
（2）当 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）证明： ，因为 ，所以 ，
当 时， ，
令 ，
在区间 上单调递减； ，
存在 ，使得 ，
所以函数 递增区间是 ，递减区间是 .
所以函数 存在唯一的极大值 .
（2）由 ，即令 ，
在区间 上单调减函数， ，只要 即可，即 .
5．已知函数 ．
（1）当a=2时，证明： 在 上单调递减．
（2）若对任意x≥0， 恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）证明：当a=2时，函数 ，
，若 ，则 ，．
因为 ，所以 ，故 在 上单调递减．
（2）解：当 时， ，对a∈R恒成立；
当x>0时，由 ，整理得 ．
设 ，则 ．
令 ，得 ，则 在 上单调递增
令 ，得 ，则 在(0，1)上单调递减．
所以 ， ．综上，实数a的取值范围是 ．
6．已知函数
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 在 上有两个极值点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ， ，
， 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2） 在 上有两个极值点等价于 在 上有两个不同的实数根，
即 在 上有两个不同的实数根，令 ， ，
令 ，解得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
又 ， ， ，
当 时，方程 在 上有两个不同的实数根， 实数 的取值范围为 .
7．已知函数
(1)若 ，判断f（x）在（ ，0）的单调性；
(2) 在[0， ]上有且只有2个零点，求a的取值范围.
【解析】（1）当 时， .
当 时， ，所以 ，又 ，
故 ，从而 ，所以，f（x）在（ ，0）上单调递增；
（2）由函数 ，可知 ，则f（x）在 上有且只有1个零点.
，令 ，则 在[0. ]上恒成立.
即 在[0， ]上单调递，
当 时， ，f（x）在[0. ]上单调递增.则f（x）在（0， ]上无零点，不合题意，舍
去，当 时， ， 在[0， ]上单调递减，则 在（0， ]上无零点，不合题意，舍去，
当 时， 则 在（0， ）上只有1个零点，设为 .
且当 时， ；当 时，
所以当 时， 在（0， ）上单调递减，在（ ， ）上单调递增，
又 ，因此只需 即可，即
综上所述：
8．已知函数 ，
(1)若 在 处的切线为 ，求实数a的值；
(2)当 ， 时，求证：
【解析】(1)∵ ，∴ ，∴
(2)要证 ，即证 ，只需证 ，因为 ，
也就是要证 ，令 ，
∵ ，∴
∴ 在 为减函数，∴ ，
∴ ，得证
9．已知函数 .
(1)求 的图象在点 处的切线方程，并证明 的图象上除点 以外的所有点都在这条切线的上方；
(2)若函数 ， ，证明： .（其中 为自然对数的底
数）
【解析】(1) ，则 ， .
的图象在点 处的切线方程为 .
设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 .
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 且 时， ，
的图象上除点 以外的所有点都在这条切线的上方；
(2)由题可知， ， .
， ，由（1）知 ，当且仅当 时，等号成立，
.
，函数 在区间 上为增函数。
则 ，原式得证.10．已知 （ 且 ）， ．
(1)求 在 上的最小值；
(2)如果对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1) ，
显然 为偶函数，当 时，
时， ， ，∴ 在 单调递增；
时， ， ，∴ 在 单调递减；
， ， ，∴ 在 上的最小值为 ．
由偶函数图象的对称性可知 在 上的最小值为 ．
(2)先证 ，设 ，则 ，
令 ，令 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．
故 ①恒成立．由题意可得 ，使得 成立，
即 成立．
由①可知 ，
参变分离得 ，设 ， ，即只需 即可．由①知 得 ，
∴
令 ，令 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ ，∴ ，又已知 故a的取值范围为 ．
11．已知函数 .
(1)当 时， ，求实数 的取值范围；
(2)证明： .
【解析】(1)当 时， 等价于 .
令函数 ，则 .
若 ，则 单调递减， ，不符合题意.
若 ，则 ， .因为函数 在 上单调递增，所以
.当 时， 单调递减， ，不符合题意.
若 ，则 单调递增， ，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是
(2)证明：由（1）知:当 时, .
要证 ，只需证 ，即证 .令函数 ，则
当 时， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
故 ，即 .
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
故 ，因为 ，所以 ，即 ，从而
12．已知 ．
(1)当 时，判断函数 零点的个数；
(2)求证： .
【解析】(1)当 时， ， ，当且仅当 时取“=”，
所以 在R上单调递增，而 ，即0是 的唯一零点，
所以函数 零点的个数是1.
(2) ，令 ，则 ，因 ，则 ，
因此，函数 在 上单调递增， ， ，
所以当 时， 成立.
13．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，讨论 的零点个数.
【解析】(1)当 时，函数 ，可得 .
当 在区间 上变化时， ，f（x）的变化如下表：
x 0
0 + 0 -
f（x） 极小值1 极大值 -1
所以 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 .
(2)由题意，函数 ，
可得
当 时， 在 上恒成立，
所以 时， ，所以 在 上单调递增.
又因为 ，所以f（x）在 上有0个零点.
当 时，令 ，可得 .
由 可知存在唯一的 使得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，
①当 ，即 时， 在 上有0个零点.
②当 ，即 时， 在 上有1个零点.综上可得，当 时， 有2个零点；当 时， 有0个零点.
14．已知函数 ，函数 ．
(1)求函数 的单调区间．
(2) 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】(1) ，令 ，则 ，当且仅当 ， 时等号成
立，∴ 在 上单调递增，即 在 上单调递增．
∵ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(2) 时， 恒成立，
， ， ，
时， ，∴ 在 上单调递增，∵ ，
若 ， 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 时， 恒成立；
若 ，∵ ，∴ ，∴ ，
， ，
∴ 在 有唯一解，设为 ，且 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，∴ 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ 与 恒成立矛盾，舍去．
综上，实数 的取值范围是 ．
15．已知函数 ， 为 的导函数．
(1)若 成立，求m的取值范围；
(2)证明：函数 在 上存在唯一零点．
【解析】(1)当 时， 成立，
当 时， .
设 ， ，则 .
∵ ，∴ ，∴ 在 上单调递减，∴ ，∴ .
(2) ， ，
由（1）可知，函数 在 上单调递减，
在 上至多一个零点，且 ，
在 上有唯一的零点 ，
在 上存在唯一零点.
16．函数 的图像与直线 相切.(1)求实数a的值；
(2)当 时， ，求实数m的取值范围.
【解析】（1） ，设切点为 ，
所以有 ，因为 是切线，所以有 ，
设 ，显然当 时， 单调递增，所以有 ，
当 时， ，所以 无实数根，
因此当 时，方程 有唯一实数根，即 ，
于是有 ，因此有 ；
（2）令 ，则 在 恒成立
.
若 ，即 时，当 时，由 得 ，所以 在 单调递增，
又 ，所以 在 恒成立；当 时， 所以 .
所以 在 恒成立.
若 即 时， ，则存在 ，使得 在 单调递减，
则当 时， 矛盾，舍
综上所述， 的取值范围时 .
17．已知函数 ， ．
(1)若函数 是R上的单调递增函数，求实数m的取值范围；(2)若 ，且对任意的 ，都有 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)∵函数 在R上单调递增，
∴ 恒成立，即 恒成立，则
(2)令 ，则
①当 即 时， ， 在 上为单调递增函数，
∴ ，符合题意，∴ ，
②当 ，即 时，
令 ，则
∵ ，∴ ， ， 在 上为单调递增函数， ，
则 ， ，
（ⅰ）当 ，即 时， ， 在 上为单调递增函数，
∴ ，符合题意，∴ ，
（ⅱ）当 ，即 时，存在 ，使得当 时， ，
此时 在 上为单调递减函数，从而 ，不能使 恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
18．已知函数
(1)若 在 上单调，求参数k的取值范围；
(2)若 ， ，求参数k的取值范围．
【解析】(1)∵ ，取 ，∴ ，∴ 在 单调递增，在 单调递减．
∵ ， ， ，∴ ， ，
依题意 在 无变号零点，∴ 或 ，
∴k的取值范围为
(2) 取 ， ∴ ， ，
，∵ ，
若 ，即 ，则 使得 ， ，∴ 在 单调递减，
∴ ， ，与条件矛盾，∴ ．
由 可知， 在 单调递增，在 单调递减，
∵ ， ，∴ 使得 ，∴ 在 递增，在 递减，
∵ ，
，
∴ ， ，∴ 在 单调递增，
∴ ， 成立．综上，k的取值范围为 ．
19．已知函数 ．
(1)讨论f（x）在区间[0， ]上极值的个数；(2)当 时， ，求实数a的取值范围．
【解析】(1) ，
当 时， ，则 ，
所以f（x）在区间[0， 上单调递减，
所以f（x）在区间[0， ]上无极值；
当 时，存在 且 ，使得 ， ．
当 时， ，当 时， ，当 时， ．
所以f（x）在区间 内单词递减，在区间（ ， ）内单调递增，在区间 内单调递减，故f
（x）在区间 上有1个极大值，1个极小值；
当 时， ，所以f（x）在区间 上单调递增，
故f（x）在区间 上无极值．
综上，当 或 时，f（x）在区间 上无极值；
当 时，f（x）在 上有2个极值．
(2)当 时， 等价于 在区间（0，＋∞）内恒成立．
令 ，
则 ，设 ，
则 ，因为 ，所以 ，
则 在区间（0，＋∞）内单词递增 ．
当 时， ，即 ，所以g（x）在区间（0，＋∞）内单调递增，则 ，所以 在区间（0，＋∞）内恒成立．
当 时，由上可知 在区间（0，＋∞）内单调递增，
又 ，所以存在 ，使 ．
当 时， ，所以g（x）在区间 内单调递减，所以 ，
此时不满足 在区间（0，＋∞）内恒成立．
综上，实数a的取值范围为（－∞，1]．
20．设函数 .
(1)若 ，求曲线 的斜率为 的切线方程；
(2)若 在区间 上有唯一零点，求实数 的取值范围.
【解析】(1)当 时， ， ；
令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ， ，即 有唯一解： ，
又 ， 所求切线方程为： .
(2) ， ；
令 ，则 ， 在 上单调递增，
， ，
，使得 ，
则当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， 若 在 上有唯一零点，则 ，
，解得： ，
即实数 的取值范围为 .
21．已知函数 ， 为 的导数．
(1)求 ；
(2)证明： 在区间 上存在唯一零点．
【解析】(1)因为 ，所以 .
(2)函数 的导函数为 .
而 的导函数为 .
, 随x的变化而变化的情况如下表：
x 0
+ -
0 单增 单减 -2
由于 , ,根据函数零点存在定理, ，使 .
结合单调性可知 在区间 上没有零点,在区间 上有唯一零点.因此, 在区间 上存在唯一零点
22．已知函数 .
(1)若 ，判断函数 的单调性；
(2)证明： .
【解析】（1）因为 ，
所以 ,
因为 ，所以在 上 ，由 ，解得 .
当 时， ，故 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数.
（2）证明：由（1）知，当 时，
在 上为增函数，在 上为减函数.
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，所以 .
设 ，所以 在 上为减函数.
又 ，则 ，所以 ，
所以 .
23．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： ．（注 ， ）
【解析】(1) 定义域为 ，
，， ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减；
(2)证明：由（1）知， ， ， ，
令 ， ， ，则 ， ， ，
令 ， ， ，则 ，
∴函数 再 上单调递减，又 ， ，
存在 ，使 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
∴函数 最小值在0处取或 处取， ，
，∴ ，
，即 ．
24．已知函数 ．
(1)记函数 的导函数是 ．证明：当 时， ；
(2)设函数 ， ，其中 ．若0为函数 存在非负的极小
值，求a的取值范围．
【解析】(1) ．令 ，则 ．
∵ ，∴ 恒成立，即 在R上为增函数．∵ ，∴ ．∴ ．
(2) ．
由（1）知 在R上为增函数．
∴当 时，有 ，即 ；
当 时，有 ，即 ．
当 时，由 ，解得 ， ，且 在R上单调递减．
①当 时， ．
∵当 时，有 ；当 时，有 ；当 时，有 ，
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数．
∴满足0为函数 的极小值点；
②当 时， ．∴ 时，有 恒成立，故 在R上为减函数．
∴函数 不存在极小值点，不符合题意；
③当 时， ．
∵当 时，有 ；当 时，有 ；当 时，有 ，
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数．
∴0为函数 的极大值点，不符合题意．
综上所述，若0为函数 的极小值点，则a的取值范围为 ．25．已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线过原点，求a的值；
(2)当 时， ，求a的取值范围．
【解析】(1) ，则
则
又曲线 在 处的切线过原点，
则 ，即 ，解之得
(2)①当 时， ，
，则 在 上单调递减
又 ，则 时， ； 时，
故 时，不满足当 时 ，不符合题意；
②由 ，可得
则
令 ，
要证 ，只需证
㈠当 时，
由①知，
㈡当 时，
令 ，则 ， ， 在 单调递减，在 单调递增
， ，
则 ， ，使得
则当 或 时 ，当 时
则 在 和 单调递增，在 单调递减
又由 ，
可得当 时， ；当 时，
则 在 上单调递增；在 上单调递减
又由 ，可得当 时，
㈢当 时，
则 在 上单调递增，又由 ，可得当 时，
综上，当 时， 在 上恒成立
则 的取值范围是
26．设函数
(1)当 时，求 的值域；
(2)当 时， ，求k的取值范围.
【解析】(1)由题设， ，则 ，
当 时 ，即 递减；当 时 ，即 递增；而 ， ， ，
所以 的值域为 .
(2)令 ，
所以， 上 ，即 上 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时 ，即 在 单调递减，
所以 ，故 ，
所以 在 单调递减，则 ，
当 时， ，
令 ，则 ，所以 在 上递减，
故 .
综上， ，故k的取值范围 .
