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2016年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，集合B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（
）
A．{0，1} B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）若x，y满足 ，则2x+y的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）设 ， 是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A． ﹣ ＞0 B．sinx﹣siny＞0
第1页 | 共5页C．（ ）x﹣（ ）y＜0 D．lnx+lny＞0
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
7．（5分）将函数y=sin（2x﹣ ）图象上的点P（ ，t）向左平移s（s＞0）
个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）
A．t= ，s的最小值为 B．t= ，s的最小值为
C．t= ，s的最小值为 D．t= ，s的最小值为
8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个
空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是
红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所
有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a
= ．
10．（5分）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）
11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两
点，则|AB|= ．
第2页 | 共5页12．（5分）已知{a }为等差数列，S 为其前n项和．若a =6，a +a =0，则S =
n n 1 3 5 6
．
13．（5分）双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA
，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=
．
14．（5分）设函数f（x）= ．
①若a=0，则f（x）的最大值为 ；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）在△ABC中，a2+c2=b2+ ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求 cosA+cosC的最大值．
16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通
过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C
班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时
间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，
9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均
第3页 | 共5页数记为μ ，表格中数据的平均数记为μ ，试判断μ 和μ 的大小．（结论不要
1 0 0 1
求证明）
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA
=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= ．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求 的值，若不
存在，说明理由．
18．（13分）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切
线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
第4页 | 共5页19．（14分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，A（a，0），
B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证
：|AN|•|BM|为定值．
20．（13分）设数列A：a ，a ，…，a
1 2 N
（N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a ＜a ，则称n是数
k n
列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在a 使得a ＞a ，则G（A）≠∅；
n n 1
（Ⅲ）证明：若数列A满足a ﹣a ≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个
n n﹣1
数不小于a ﹣a ．
N 1
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