高数7-1（仅数一、数三）综合测试_考研_数学_04.武忠祥_25武忠祥《学习包》答案_02.强化班学习包_00.高数学习包习题汇总

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数项级数敛散性的判定（仅数一、数三）
  a
1.若正项级数a 收敛，则(−1)n n （ ）.
n n
n=1 n=1
（A）发散. （B）条件收敛.
（C）绝对收敛. （D）敛散性不确定.
   1 1 
2.设级数a 发散（a 0），令S =a +a + +a ，则  − （ ）.
n n n 1 2 n S S
n=1
n=1
n n+1

1
（A）发散. （B）收敛于 .
a
1
（C）收敛于0. （D）敛散性不确定.

3.若级数u 收敛（u 0），则下列结论正确的是（ ）.
n n
n=1
u
（A）lim n+1 =1.
n→ u
n
（B）limnu =1.
n
n→

（C）(u +u )一定收敛.
n n+1
n=1

（D） u 收敛.
n
n=1

4.设u 收敛，则下列正确的是（ ）.
n
n=1

（A）u2一定收敛.
n
n=1
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
（B）u2一定发散.
n
n=1

（C）u 绝对收敛.
n
n=1
 
（D）若u 是正项级数，则u2一定收敛.
n n
n=1 n=1
5.下列命题正确的是（ ）.
  
（A）若u 收敛，而v 发散，则u v 一定发散.
n n n n
n=1 n=1 n=1
  
（B）若u 与v 都发散，则u v 一定发散.
n n n n
n=1 n=1 n=1
  
（C）若u 与v 都收敛，则u v 一定收敛.
n n n n
n=1 n=1 n=1
  
（D）若u 收敛，且正项级数v 收敛，则u v 绝对收敛.
n n n n
n=1 n=1 n=1
 sinanπ 1+ n
6.设a为任意常数，则级数 +(−1)nln 
n=1 n2   n  
（A）发散. （B）条件收敛.
（C）绝对收敛. （D）敛散性与常数a有关.
 1sin x
7.讨论级数n dx的敛散性.
0 1+x2
n=0
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
8.判断sinπ n2 +1的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？
n=1
9.设 f (x) 在区间 a,b 上满足 a f (x)b ，且有 f(x) q1，令 u = f (u )
n n−1

（n=1,2, ），u a,b，证明：级数(u −u )绝对收敛.
0 n+1 n
n=1
  n+1 p
10.若级数 n  ln  收敛，则其中常数 p的取值范围是__________．
 n−1
n=2
11.设u ,c 为正项数列，证明：
n n
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 1 
（1）若对一切正整数n满足c u −c u 0，且 发散，则u 也发散；
n n n+1 n+1 c n
n=1 n n=1
u  1 
（2）若对一切正整数n满足c n −c a(a0)，且 收敛，则u 也收敛.
n u n+1 c n
n+1 n=1 n n=1
f (x)  1
12.设 f (x)在(−,+)内一阶连续可导，且lim =1.证明：(−1)n f   收敛，
x→0 x n
n=1
 1
而 f   发散.
n
n=1
f(x)
13（. 94-1）设 f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim =0，
x→0 x
 1
证明级数  f  绝对收敛.
n
n=1
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1 1 
14.（97-1）设a =2,a = a + ,n=1,2,...,证明：
1 n+1 2 n a
 
n
  a 
  n −1
lima
a
（Ⅰ）n→
n
存在；（Ⅱ）级数
n=1
n+1

收敛.
n
   1 
15.（98-1）设正项数列a 单调减少，且(−1)na 发散，试问级数
 
n n a +1
n=1 n=1 n 
是否收敛？并说明理由.

16.（99-1）设a = 4tann xdx.
n
0
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 1
（1）求  (a +a )的值；
n n n+2
n=1
 a
（2）试证：对任意的常数0，级数  n 收敛.
n
n=1
17.（04-1）设有方程xn +nx−1=0，其中n为正整数. 证明此方程存在唯一正实

根x ，并证明当α1时，级数xα 收敛.
n n
n=1
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