文档内容
第6讲 函数的公切线问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................5
【考点一】求两函数的公切线.........................................................................................................5
【考点二】与公切线有关的求值问题.............................................................................................11
【考点三】判断公切线条数...........................................................................................................18
【考点四】求参数的取值范围.......................................................................................................21
【专题精练】...............................................................................................................................27
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点
问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．
真题自测
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.
三、解答题
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的切线也
是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
参考答案：
题号 1
答案 D
1．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性
进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
2．
【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点为 ，
求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司3．(1)3
(2)
【分析】（1）先由 上的切点求出切线方程，设出 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函
数值求出 即可；
（2）设出 上的切点坐标，分别由 和 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出 ，构造函
数，求导求出函数值域，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）由题意知， ， ， ，则 在点 处
的切线方程为 ，
即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则
，解得 ；
（2） ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得
，
设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整
理得 ，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或
，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0 1
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学科网（北京）股份有限公司0 0 0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
考点突破
【考点一】求两函数的公切线
一、单选题
1．（2024·福建·模拟预测）已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若直线 是曲线 与曲线 的
公切线，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知 ， 是函数 与 的图像的两条公切线，记 的倾斜
角为 ， 的倾斜角为 ，且 ， 的夹角为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D． 与 的交点可能在第三象限
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的
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学科网（北京）股份有限公司公切线，已知直线 ： 为曲线 ： 和 ： 的公切线，则下列结论正
确的是（ ）
A．曲线 的图象在 轴的上方
B．当 时，
C．若 ，则
D．当 时， 和 必存在斜率为 的公切线
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
6．（23-24高三上·山东日照·期末）已知函数 的图象上存在三个不同的点 ，使得曲线
在 三点处的切线重合，则此切线的方程为 .（写出符合要求的一条切线即可）
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A B ABC ABD
1．A
【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【详解】设直线与曲线 的切点为 且 ，
与曲线 的切点为 且 ，
又 ， ，
则直线 与曲线 的切线方程为 ，即 ，
直线 与曲线 的切线方程为 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，故 ，
故选：A.
2．B
【分析】设 与y=f (x)相切于点A(x ,y )，与y=g(x)相切于点 ，利用导数的几何意义，
0 0
得到 和 ，再由 ，求得 ，得到 ，令
，利用导数求得函数的单调性与最值，求得 ，即可求解.
【详解】设 与曲线y=f (x)相切于点A(x ,y )，与y=g(x)相切于点 ，
0 0
由 ，可得 的斜率 ，所以 ①，
又由 ，可得 ，所以 ，即 ②，
又因为 ③，
将②③代入①中，可得 ，由③易知， ,则 ④，
将④代入③，可得 ，则 ，
令 ，则 ，当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．所以 ，当且仅当 时取等号，
故 ，可得 ，所以 ，
所以 的方程为 ，即 ．
故选：B．
【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
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学科网（北京）股份有限公司2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．ABC
【分析】根据反函数的性质可得公切线关于 对称，即可得到 ，利用诱导公式证明A，利用
诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.
【详解】如图，因为 与 互为反函数，
故两函数的图象关于直线 对称，则 ， 关于 对称，
故 ， ，故A正确；
由题意， ， 均为锐角， ， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故B正确；
设 与两个函数图象分别切于 ， 两点，与 交于Q， ，则 ，
即 ，解得 或 （舍去），
故 ，
对于 ，则 ，令 ，解得 ，所以切点为 ，
所以曲线 的斜率为 的切线方程为 ，
故曲线 的斜率为 的切线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司同理可得 的斜率为 的切线方程为 ，
故曲线 的斜率为 的切线方程为 ，
所以 ，则 ，则 ，故C正确；
由图可知点 必在第一象限，故D错误.
故选：ABC.
4．ABD
【分析】由函数解析式可直接判断A，利用导数研究曲线 的切线方程，可用含 的式子表示出切点的坐
标，再将其代入直线 ，即可判断B，设 ， ，利用 ，并结合斜率的
计算公式，可得 判断C，若 和 存在斜率为 的公切线，则存在 和 使得 ， ，
再结合选项B中所得，求出 和 的值判断D．
【详解】选项A，由 ， 得 ，可知曲线 的图象在 轴的上方，故A正确；
选项B，当 时， ： ， ： ，
对于 ： ，有 ，
因为直线 ： 为曲线 的切线，
所以 ，即 ，此时 ，
所以切点坐标为 ，将其代入切线方程 中，
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学科网（北京）股份有限公司有 ，整理得 ，可得 ，即B正确；
选项C，当 时，公切线 为 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ， ，解得 ， ，故C错误；
选项D，当 时， ， ，则 ， ，
若 和 存在斜率为 的公切线，则存在 和 使得 ， ，
由选项B可知， ，即 ，
所以 ， ，即 ， ，符合题意，
故当 时， 和 必存在斜率为 的公切线，即D正确．
故选：ABD．
5．
【分析】设出两曲线的切点 和 ，由导数的意义可得 ，再
由点斜式得出公切线方程 ，把点 代入直线方程可得 ，构造函数
，求导分析单调性得到 ，进而得出 ，最后得到直线方程.
【详解】设曲线 上的切点为 ，曲线 上的切点为
.
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则公切线的斜率 ，所以 .
因为公切线的方程为 ，即 ，
将 代入公切线方程得 ，
由 ，得 .
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， 0，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 ，
故公切线方程为 ，即 .
故答案为： .
6． （或 ）
【分析】
先求导，设切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论求解切线方程.
【详解】设存在三个不同点 在曲线y=f (x)上，
则 ，且 互不相同，
由题可得， ，
故y=f (x)在 的切线方程分别为： ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意可得
由①可知， ，
由②，令 ，
则 ，
即 ，
平方可得， ，
即 ，
由于 互不相同，则 ，
则可得 ，故 ，则 ，
由此可得其切线方程为： ，
故答案为： （或 ）
规律方法：
求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 y＝f(x)在点P(x ，f(x))处的切线
0 0
方程是y－f(x)＝f′(x)·(x－x)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
0 0 0
【考点二】与公切线有关的求值问题
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线 与 ，恰有2条公切线，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）
A．0或2 B． 或2 C． 或0 D．0或1
二、多选题
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学科网（北京）股份有限公司3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A． 恒成立的充要条件是
B．当 时，两个函数图象有两条公切线
C．当 时，直线 是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 ，则
4．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线 都相切，则 的值可以是
（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
.
6．（2024·四川·模拟预测）若直线 是曲线f (x)=lnx的切线，也是曲线 的切线，则
．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A A ACD ABC
1．A
【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消
去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合
求解即可．
【详解】令 ， ，则 ， ，
设 ，则曲线 在 处切线为 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则曲线 在 处切线为 ，
由题意 ，消去 得 ，
由题意，方程 有两个不同的实数根，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
故当 时， 取极大值 ；当 时， 取极小值 ，
又当 时 ，根据以上信息作出 的大致图象，
由图可知当 ，即 时，直线 与 的图象有两个交点，从而方程 有两
个不同的实数根，
所以，曲线 与曲线 有两条公切线时， 的值为 ．
故选：A.
2．A
【分析】设直线 的方程为 ，先根据直线和圆相切算出 ，再由导数的几何意义算出 .
【详解】依题意得，设直线 的方程为 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司由直线和圆 相切可得， ，解得 ，
当 时， 和 相切，
，设切点为 ，根据导数的几何意义， ，
又切点同时在直线和曲线上，即 ，解得 .
即 时， ；
当 时， 和 相切，
，设切点为 ，根据导数的几何意义， ，
又切点同时在直线和曲线上，即 ，解得 .
即 时， .
综上所述， 或 .
故选：A.
3．ACD
【分析】根据导数求解恒成立即可求解A，根据导数求解切线方程，根据公切线的性质即可结合选项求解
BCD.
【详解】对于A，若 恒成立，即 恒成立，
而 恒成立，所以 ，解得 ，故A正
确；
对于B，设切点 , ， , ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司有 ，
①代入②，可得 ，
当 时，代入方程解得： ，
，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；
对于C，当 时，代入方程 得： ，
，故 ， ，
所以函数 与 的一条公切线为： ，故C正确；
对于D，如图，不妨设切线与 切于 ，与 切于 ，
设 , ， , ， , ， , ， ， ，
故
所以 ， ，
，同理 ，
则 中点即可 中点，
所以四边形 是平行四边形，
由 处的切线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司处的切线方程为 ，
得 ，即 ，结合 可知 ， 是方程 的根，
由C选项可知： 是 的两个切点，所以 ， 也是方程 的根，
所以 ,且 ,故 ，
则 ， ，
，
，
令 ，则 ，
故 ，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是设切点，根据导数含义和斜率定义得到
，再整理化简代入 值即可判断.
4．ABC
【分析】设该直线与 相切于点 ，求出切线方程为 ，设该直线与 相
切于点 ，求出切线方程为 ，联立方程组，得到
，令 ，讨论 的单调性，从而得到最值，则可得
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学科网（北京）股份有限公司到 ，解出 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.
【详解】设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
所以当 时， 0；当 时， ；
在 和 上单调递减；在 和 上单调递增；
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 ，
所以A正确；
对于B， ，所以 ，所以B正确；
对于C， 因为 ，所以C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D， 因为 ，所以D不正确.
故选：ABC
5．
【分析】分别求导，根据导数的几何意义列方程组，计算即可.
【详解】设曲线 与 的切点分别为 ，
易知两曲线的导函数分别为 ， ，
由题意可知： ，可得 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
6． /
【分析】根据函数 在切点 的横坐标 处的导数即为斜率和切点在直线上即可先求出公切线的
方程，然后根据函数 在切点 的横坐标 处的导数即为斜率和切点在直线上即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
设设直线 与 的切点为 ，
则切线方程为 ,
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
又因为
所以 ，
解得 ， ，
所以切线方程为： ，
因为 ，
所以 ，
设直线 与 的切点为 ，
所以 ①，
又因为切点 在直线 上，
所以 ②，
由①和②可得 ，
所以 ，
解得
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数研究两个函数的公切线问题，解题的关键是根据函数解析
式设出切点坐标，然后利用函数在切点横坐标处的导数即为斜率以及切点在切线上求解即可.
规律方法：
利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．
【考点三】判断公切线条数
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（2023·河南·三模）已知函数 的图像关于原点对称，则与曲线 和 均
相切的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（2023·安徽合肥·模拟预测）曲线 与曲线 有（ ）条公切线.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·江西南昌·一模）已知函数 ，则 和 的公切线的条数为
A．三条 B．二条 C．一条 D．0条
参考答案：
题号 1 2 3
答案 C B A
1．C
【分析】设切点坐标，利用导数求两曲线的切线，当切线方程相同时，求切点坐标解的个数.
【详解】函数 的图像关于原点对称，则有 ，
即 ，解得 ，所以 ，
由 ，所以 在点 处的切线方程为 ，整理得
．
设 ，直线l与 的图像相切于点 ，因为 ，
所以切线方程为 ，整理得 ，则 （*），
整理得 ，
当 时， ，方程有两个非零实数根，
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学科网（北京）股份有限公司也满足方程，故 有3个解，
所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．
故选：C
2．B
【分析】设出 图像上任意一点坐标，求得过该点的切线方程，结合公切线，求得切线与 图像的
切点坐标，求得过该点的切线方程，根据两个切线方程重合列方程，利用构造函数法，结合导数，判断出
方程的根的个数.
【详解】设 是曲线 图像上任意一点， ，
所以 ，
所以过点 的切线方程为 ，
整理得 ①.
令 ，解得 ，则 ，
所以曲线 上过点 的切线方程为：
，整理得 ②.
由于切线①②重合，故 ，
即 ③.
构造函数 ，则
， ，
故当 时 递减、当 时 递增，
注意到当 时 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时 递减，当 时， 递增，
而 ，
根据零点存在性定理可知在区间 各存在 的一个零点，
也即 有两个零点，
也即方程③有两个根，
也即曲线 和曲线 有两条公切线.
故选：B
【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线的公切线，考查利用导数研究方程的根，属于难题.
3．A
【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程 ，构造函数
，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.
【详解】设公切线与 和 分别相切于点 ，
，解得 ，代入化简得 ，构造函数
，原函数在 ，极大值
故函数和x轴有交3个点，方程 有三解，故切线有3条.
故选A.
【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已
知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点
个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题.
规律方法：
运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断
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学科网（北京）股份有限公司函数零点个数，即方程解的情况．
【考点四】求参数的取值范围
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线 和 均相切，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·云南曲靖·一模）已知 ，若点 为曲线 与曲线 的交点，且
两条曲线在点 处的切线重合，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线 都相切，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·河北邯郸·三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围是 ．
5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 ，若存在一条直线同时与两个函数图象相
切，则实数a的取值范围 ．
6．（2023·河北唐山·三模）已知曲线 与 有公共切线，则实数 的取值范围为
.
参考答案：
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学科网（北京）股份有限公司题号 1 2 3
答案 D C D
1．D
【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可.
【详解】 ，设公切线与曲线y=f (x)相切于点 ，与曲线y=g(x)相切于点
，
则切线方程分别为 ， ，
所以
由①得 ，
代入②得 ．
令 ，
则 ，
所以当 时，h'(x)<0，当 时，h'(x)>0，
所以h(x)在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，
所以 ，
又当 时， ，
所以h(x)的值域为 ，
所以 的取值范围是 ．
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司2．C
【分析】设切点 坐标，利用导数几何意义，由切线重合得导数值相等解得 ，再由点 为交点，则坐
标满足两曲线方程，由此建立 等量关系 ，再利用导数研究函数 的值域即可.
【详解】设点 的横坐标为 ，则由 可得 ，
又 可得 ，
且两条曲线在点 处的切线重合，
所以切线的斜率 ，解得 或 （舍去），
即点 的横坐标为 ，
由点 为曲线 与曲线 的交点，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，
令 可得 ，
由 知，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，当 ，
则实数 的取值范围为 .
故选：C.
3．D
【分析】先利用导数的几何意义求出两个曲线的公切线，建立方程消参得 ，
构造函数，求导研究函数的单调性求值域，解关于a的一元二次不等式即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设该直线与 相切于点 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递减；在 和 上单调递增.
又 -1，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D.
4．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】易得曲线 在点 处的切线方程为 ，再根据切线与圆 相
切，得到 ，化简为 ，根据曲线 与圆 有三条
公切线，则方程 有三个不相等的实数根，令 ，由曲线
与直线 有三个不同的交点求解.
【详解】解：曲线 在点 处的切线方程为 ，
由于直线 与圆 相切，得 （*）
因为曲线 与圆 有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，
即方程 有三个不相等的实数根.
令 ，则曲线 与直线 有三个不同的交点.
显然， .
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
且当 时， ，当 时， ，
因此，只需 ，即 ，
解得 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司5．
【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线方程，根据切线为同一直线可得其关系，然后分离参数，利用
导数可解.
【详解】设直线l与函数 分别相切于点 ，
因为 ，
所以切线方程可表示为 或
即 或
所以 ，整理得
易知，在 处 的切线方程为 ，此时与 不相切，故 ， ，
所以 ，所以
记 ，则
当 或 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，且当m从左
边趋近于1时， 趋近于 ，当m从右边趋近于1时， 趋近于 ，当 趋于 时， 且
趋近于0， ，于是可作 的草图如图：
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学科网（北京）股份有限公司故 ．
故答案为：
6．
【分析】设公切线与曲线的切点为 ， ，利用导数的几何意义分别求 和 上的
切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参
数范围.
【详解】设公切线与曲线 和 的切点分别为 ， ，其中 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
所以 ，有 ，即 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递减，
所以 ，故 ，即 .
∴正实数 的取值范围是 .
故答案为： .
规律方法：
利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率 k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的
交点问题，利用函数的性质或图象求解．
专题精练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 与 的图象关于直线 对称，直线 与
的图象均相切，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·江苏盐城·期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 ， ，若直线 为 和
的公切线，则b等于（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三上·安徽宿州·阶段练习）若函数 与 的图象存在公共切线，则实数
a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）若直线 是曲线 与曲线 的公切
线，则 （ ）
A．11 B．12 C． D．
7．（2022·江苏南京·模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·安徽马鞍山·一模）若仅存在一条直线与函数 （ ）和 的图象均相切，
则实数 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·河北保定·二模）若直线 是曲线 与曲线 的公切线，
则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·江西·一模）已知函数 ， ，若 ， 的图象与直线 分别
切于点 ， ，与直线 分别切于点C，D，且 ， 相交于点 ，
则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
11．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，则下列说
法正确的是（ ）
A．函数 的极值点为1
B．
C．若 分别是曲线 和 上的动点.则 的最小值为
D．若 对任意的 恒成立，则 的最小值为
三、填空题
12．（2024·上海·三模）设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切
线，则 的值为 .
13．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象在公共点处
有相同的切线，则公共点坐标为 .
14．（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .若曲线 在点 处的切线与其在点
处的切线相互垂直，则 的一个取值为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A A A A C AD BC
题号 11
答案 ACD
1．B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 与 的图象关于直线 对称，得到 ，设直线 与函数 的图
象的切点坐标为 ，与函数 的图象的切点坐标为 ，由斜率相等得到
，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：因为函数 与 的图象关于直线 对称，
所以 与 互为反函数，所以 ，
则 ．由 ，得 ，
设直线 与函数 的图象的切点坐标为 ，
与函数 的图象的切点坐标为 ，
则直线 的斜率 ，故 ，
显然 ，故 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
故选：B．
2．D
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得 .将切点代入两条曲线，联立方程可分
别求得 ,代入其中一条曲线即可求得 的值，由此可求 .
【详解】直线 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,
则两个切点都在直线 上,设两个切点分别为
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学科网（北京）股份有限公司则两个曲线的导数分别为 ,
由导数的几何意义可知 ,则
且切点在各自曲线上,所以
则将 代入 可得
可得
由 可得
代入 中可知
所以 ，
所以 .
故选：D.
3．B
【分析】分别设直线 为 和 的切点为 ， ，分别利用函数导数求出切点
坐标代入直线 中，建立关于 的方程组解出即可.
【详解】设直线 与 相切于点 ，
与 相切于点 ，
由 ，所以 ，
由 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司即点 ，代入直线 中有：
， ①
由 ，
所以 ，
由 ，
，
即点 ，代入直线 中有：
， ②
联立①②解得： ，
所以 ，
故选：B.
4．A
【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数
问题，即可求出 的取值范围.
【详解】设公切线为 是 与 的切点，由 ，得 ，
设 是 与 的切点，由 ，得 ，
所以 的方程为 ，
因为 ，整理得 ，
同理 ，
因为 ，整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司依题意两条直线重合，可得 ，
消去 ，得 ，
由题意此方程有三个不等实根，设 ，
即直线 与曲线 有三个不同的交点，
因为 ，令 ，则 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 有极小值为 ， 有极大值为 ，
因为 ， ， ，所以 ，
当 趋近于 时， 趋近于0；当 趋近于 时， 趋近于 ，
故 的图象简单表示为下图:
所以当 ，即 时，直线 与曲线 有三个交点.
故选：A.
5．A
【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标 表示，并据此建立关系，
将a由切点坐标 表示，进而将a转化为关于 的函数，通过求导求其最大值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得， ， ．
设公切线与 的图象切于点 ，
与 的图象切于点 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
∴实数a的最大值为 ，
故选：A．
6．A
【分析】由直线 是曲线 的切线求解 ，可得切线方程，再设直线 与
曲线 的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答
案可求．
【详解】解：由 ，得 ，由 ，解得 ，
则直线 与曲线 相切于点 ，
∴ ，得 ，
∴直线 是曲线 的切线，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，设切点为 ，
则 ，且 ，联立可得 ，
解得 ，所以 ．
∴ ．
故选：A．
7．A
【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用
导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.
【详解】设
切线： ，即
切线： ，即 ，
令
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
故选：A．
8．C
【分析】分别求出函数 上切点 处的切线方程和 上切点 处的切线方程，消去 ，
得 ，该问题转化为 有唯一的值时，求 值，即可通过导数研究函数
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学科网（北京）股份有限公司的单调性即可得到答案.
【详解】设直线与 的切点为 ，
由 可知，该直线的斜率为 ，即该直线的方程为 ，
即为 ，
设直线与 的切点为 ，
由 可知，该直线的斜率为 ，即该直线的方程为 ，
即为 ，
∵仅存在一条直线与函数 （ ）和 的图象均相切，
∴ ，∴即 ，
令 ，则 ，
当 时，即 ，当 时，即 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，则 在 处取得最大值，
，图像为
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学科网（北京）股份有限公司∵切线只有一条，即 的值唯一，∴只有 ，
故选： .
9．AD
【分析】设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点
，再由导数为3求解.
【详解】解：设直线 与曲线 相切于点 ，
与曲线 相切于点 ，
对于函数 ， ，则 ，
解得 ，
所以 ，即 .
对于函数 ， ，
则 ，
又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ， .
故选：AD
10．BC
【分析】根据公切线的有关概念判断 与 的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数
的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，
判断D的真假.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得 ， ，所以 ，即
，由 ，整理得 ，且 ，A错误；
把 ， ，代入 ，整理得 ，B正确；
分别作出 与 的图象如下：
两图象有2个交点，所以 图象上的切点有2个，即 与 的公切线有2条．
因为 ， 的图象关于直线 对称，所以点 关于直线 的对称点为 ，
， ， ，C正确；
因为直线 ， 关于直线 对称，则点 就是直线 与直线 的交点，
直线 的方程为 ，与 联立得 ，
所以 ，所以 ，
由 且 可得 ，
设 ，则 ，所以 ，所以 ，D错误．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线 对称，这
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学科网（北京）股份有限公司一性质的应用在判断D选项时很重要.
（2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题
的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最
值.
11．ACD
【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设 ，
求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线 与曲线 互
为反函数，可先求点 到 的最小距离 ，然后再求 的最小值；对于D，利用同构把恒成立问题转
化为 ，分离参数，构造函数 ，利用导数求解最值即可.
【详解】 ．所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极值点为1，故A正确；
设 ，则 ，
由单调性的性质知 在 上单调递增．
又 ，则存在 ．使得 ，
即 ， ，所以当 时． ，当 时． ．
所以 在 上单调递减．在 上单调递增.
所以 ，又 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故B错误；
因为函数 与函数 互为反函数，其图象关于 对称，
设点 到 的最小距离为 ，设函数 上斜率为 的切线为 ，
，由 得 ，所以切点坐标为 ，即 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，故C正确；
若 对任意的 恒成立，
则 对任意的 恒成立，
令 ，则 ．所以 在 上单调递增，则 ，
即 ，令 ，所以 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，所以 ，即 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
12．2
【分析】根据两曲线在 有公切线，则 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出 的值，
则答案可求.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由已知得 ，解得 ，
又 ，
所以 得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：2
13．
【详解】设公共点为 ，即可得到 ，再由导数的几何意义得到 ，从而求
出 ，即可求出切点坐标，从而求出 ，再求出切线方程.
【分析】设公共点为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 ，
由 ， ，所以 ， ，
又在公共点处有相同的切线，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，所以 ，
所以公共点坐标为 .
故答案为： .
14． (答案不唯一)
【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知， ，再根据函数的取值，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，由题意可知， ，
即 ，所以 ，得 ， ， ，
或 ，得 ， ， ，
所以 ， ， ,
所以 的一个取值为 .
故答案为： (答案不唯一)
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