文档内容
第9讲 零点问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】零点问题.......................................................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................5
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学科网（北京）股份有限公司真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
三、解答题
3．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
4．（2022·天津·高考真题）已知 ，函数
(1)求曲线y=f (x)在 处的切线方程；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若曲线y=f (x)和y=g(x)有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
7．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
考点突破
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学科网（北京）股份有限公司【考点一】零点问题
一、单选题
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山东济南·一模）函数 （ 且 ）的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南洛阳·一模）已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上存
在点 ，且 ， 关于 轴对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·湖北·一模）已知函数 存在两个极值点 ，且 ，
．设 的零点个数为 ，方程 的实根个数为 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． 一定能被3整除 D． 的取值集合为
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 （ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递增
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学科网（北京）股份有限公司C． 在 上有唯一零点 D． 在 上有最小值为
6．（2024·山西临汾·一模）已知函数 在 上可导且 ，其导函数 满足：
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 有且仅有两个零点
B．函数 有且仅有三个零点
C．当 时，不等式 恒成立
D． 在 上的值域为
三、填空题
7．（2024·福建龙岩·三模）已知函数 有且只有一个零点，则ab的取值范围为
.
8．（2024·陕西西安·一模）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
9．（2024·山东济宁·一模）已知函数 （ 且 ）恰有一个零点，则实数 的取值范
围为 ．
四、解答题
10．（2024·广东汕头·三模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的极值.
(2)若 在 只有一个零点，求 .
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，讨论曲线 与曲线 的交点个数．
12．（2023·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
规律方法：
(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤
①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．
③结合图象求解．
(2)已知零点求参数的取值范围
①结合图象与单调性，分析函数的极值点．
②依据零点确定极值的范围．
③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习） 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数 在 上有两个极值点，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川成都·一模）已知函数 有三个零点 、 、 且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广西·模拟预测）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川·模拟预测）已知函数 若函数 有5个不同的零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C．(1,4) D．(1,+∞)
6．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）若函数 存在零点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·北京房山·一模）若函数 ，则函数 零点的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
8．（2023·四川内江·一模）已知函数 有两个零点，则 的最小整数值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）关于函数 ， ，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．若过点 可以作曲线 的两条切线，则
B．若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
C．若 在 上恒成立，则
D．若函数 有且只有一个零点，则实数 的范围为
10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方
程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函
数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心
为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为6
C．函数 有三个零点 D．函数 在区间 上的最小值为1
11．（22-23高二下·重庆·期中）小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经
典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：
函数 在区间 有定义，且对 ， ， ，若恒有 ，则称函数
在区间 上“严格下凸”；若恒有 ，则称函数 在区间 上“严格上
凸”．现已知函数 ， 为 的导函数，下列说法正确的是（ ）注：
为自然对数的底数， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司A． 有最小值，且最小值为整数
B．存在常数 ，使得 在 “严格下凸”，在 “严格上凸”
C． 恰有两个极值点
D． 恰有三个零点
三、填空题
12．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点 仅可作曲线 的两条切线，则 的取值范围是 .
13．（23-24高三上·河南焦作·期末）若函数 在 上没有零点，则实数 的取
值范围为 ．
14．（23-24高三上·天津南开·阶段练习） ，若 有且只有两个零点，
则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函数 的图象
在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明理由.
16．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 在 处切线方程；
(2)求 的极大值与极小值；
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学科网（北京）股份有限公司(3)证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
17．（2024·河南郑州·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 在(1,f (1))处的切线方程；
(2)讨论 的零点个数.
18．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
19．（2024·北京房山·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的极大值；
(3)若 ，求函数 的零点个数．
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