文档内容
13.2.2 用坐标表示轴对称
夯实基础篇
一、单选题：
1．在平面直角坐标系 中，点 关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于x轴对称的点的坐标是：
故答案为：C
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数”可求解.
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，﹣5）
C．（3，﹣5） D．（5，﹣3）
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，得
点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标为（3，5），
故选：A．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
3．平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a的值是（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．－3
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则横坐标相同，即： ，
故答案为：C．
【分析】关于x轴对称的两个点横坐标不变，从而求出答案
4．设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3）
C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，得
x=﹣2，y=3．
M的坐标为（﹣2，3），
点M（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（2，3），
故选：A．
【分析】根据第二象限内点的坐标特征，可得M点，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵
坐标相等，可得答案．
5．将点A（2，1）向右平移2个单位得到点A′，再将点A′关于x轴反射得到点A″，则点A″的坐标是
（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，﹣1） C．（﹣4，1） D．（0，﹣1）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵将点A（2，1）向右平移2个单位得到点A′，
∴点A′的坐标为（4，1），
∵将点A′关于x轴反射得到点A″，
∴点A″的坐标是（4，﹣1）．
故选B．
【分析】先将点A的横坐标加上2，纵坐标不变得出点A′的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特
征即可求出点A″的坐标．
6．将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是
（ ）A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据对称的性质，得三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，就
是横坐标变成相反数．即所得到的点与原来的点关于y轴对称．故选B．
【分析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），分别关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣
y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．
二、填空题：
7．在直角坐标系中，若点A（m+1，2）与点B（3，n-2）关于y轴对称，则m= ，n=
．
【答案】-4；4
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点A（m+1，2）与点B（3，n-2）关于y轴对称，
∴m+1=-3，n-2=2，
解得：m=-4，n=4，
故答案为：-4；4．
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，建立关于m、n的方程，
就可求出m、n的值。
8．在平面直角坐标系中，将点A（﹣5，﹣3）向右平移8个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对
称点C的坐标是 ．
【答案】(-3，-3)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A（﹣5，﹣3）向右平移8个单位长度得到点B，∴点B的坐标为：（-5+8，-3）即（3，-3）
∴点B关于y轴的对称点C的坐标是：(-3，-3)
【分析】利用点的坐标平移规律：左减右加，求出点B的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变，就可求出点C的坐标。
9．已知点P（a，﹣3）和点P（3，b）关于y轴对称，则a+b的值为 ．
1 2
【答案】-6
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（a，﹣3）和点P（3，b）关于y轴对称，
1 2
∴a=﹣3，b=﹣3，
∴a+b=﹣3+（﹣3）=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后相加计算
即可得解．
10．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab= ．
【答案】﹣6
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），
∴a=2，b=﹣3，
∴ab=﹣6，
故答案为：﹣6．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a=2，b=﹣3，进而可
得答案．
11．在平面直角坐标系中，若点A（2，﹣3）与点B关于x轴对称，则AB的长度为 .
【答案】6
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（2，﹣3）与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为 .
∴AB= .
故答案为：6.【分析】根据关于x轴对称的坐标特点求出B点坐标，然后根据两点间距离公式求AB即可.
三、作图题：
12．已知：如图，已知△ABC
（1）点A关于x轴对称的点A 的坐标是 ，点A关于y轴对称的点A 的坐标是
1 2
；
（2）①画出与△ABC关于x轴对称的△ABC；②画出与△ABC关于y轴对称的△ABC．
1 1 1 2 2 2
【答案】（1）(－4，－2)；(4，2)
（2）解: 如图所示：△ABC，△ABC 即为所求
1 1 1 2 2 2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】第1小题，关键是清楚关于x轴和y轴对称的点的坐标的符号特征，关于x轴对称，
横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，关于y轴对称，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变.第2
小题，同1小题，然后在平面直角坐标系中画出对称图形。
四、解答题：13．
（1）写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标；
（2）点B、E的位置有什么特点；
（3）从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？
【答案】（1）A（-2，0）、B（0，-2）、C（2，-1）、D（2，1）、E（0，2）、O（0，0）.
（2）解：点B（0，﹣2）和点E（0，2）关于x轴对称.
（3）解：点B（0，﹣2）与点E（0，2），点C（2，﹣1）与点D（2，1），它们的横坐标相同纵坐
标互为相反数．
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）观察直角坐标系，得出各点的坐标。
（2） 观察B、E两点的坐标，可得出两点关于x轴对称。
（3）观察可得，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
14．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若A，B关于y轴对称，求（4a+b）2016的值．
【答案】（1）解：∵点A，B关于x轴对称，
∴ ，解得 ；
（2）解：∵A，B关于y轴对称，
∴ ，
解得 ，
所以，（4a+b）2016=[4×（﹣1）+3]2016=1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即
可；（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；”列方程组求出a、b的值，
然后代入代数式进行计算即可得解．
15．如图在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ，
（1）请在图中画出 关于 轴的对称图形 ，点 、 、 的对称点分
别为 、 、 ，其中 的坐标为 ； 的坐标为 ； 的
坐标为 ．
（2）请求出 的面积．
【答案】（1）（3,4）；（4,1）；（1,1）（2） 的面积=
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（1）如图， 为所求； 的坐标为（3,4）； 的坐标为（4,1）；
的坐标为（1,1）．
【分析】（1）根据轴对称的定义画出图形，再写出坐标；（2）根据三角形的面积公式求解即可．
16．如图，△ABC中，已知点A(-1，4)，B(-2，2)，C(1，1).
（1）作ΔABC关于x轴对称的△ABC，并写出点A，B，C 的坐标，
1 1 1 1 1 1
（2）作△ABC关于y轴对称的△ABC，并写出点A，B，C 的坐标，
2 2 2 2 2 2
（3）观察点A，B，C 和A，B，C 的坐标，请用文字语言归纳点A 和A，B 和B，C 和C 坐
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
标之间的关系.
【答案】（1）解：如下图所示：∵A(-1，4)，B(-2，2)，C(1，1)
A，B，C 和A，B，C关于x轴对称
1 1 1
∴A（-1，-4），B（-2，-2），C（1，-1）
1 1 1
（2）解：如下图所示：
∵A(-1，4)，B(-2，2)，C(1，1)
A，B，C 和A，B，C关于y轴对称
2 2 2
∴A（1，4），B（2，2），C（-1，1）
2 2 2
（3）解：根据（1）（2）中得出的坐标可知，A 和A，B 和B，C 和C 坐标之间的关系为：横坐标
1 2 1 2 1 2
互为相反数，纵坐标也互为相反数.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的特点即可得出答案；（2）根据关于y轴对称的点的
特点即可得出答案；（3）根据（1）和（2）的坐标特点即可得出答案.
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐
标为（4，1），则点B的坐标为（ ）A．（﹣2，1） B．（﹣3，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x＝1对称，
∵点C的坐标为（4，1），
∴ ，
解得：x＝﹣2，
则点B的坐标为：（﹣2，1）．
故答案为：A．
【分析】由于C，B关于直线m对称，即关于直线x＝1对称，利用中点坐标公式求出点B的横坐标，
即得结论.
2．已知点P（a﹣1，5）和P（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2015的值为（ ）
1 2
A．0 B．1 C．﹣1 D．（﹣3）2015
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（a﹣1，5）和P（2，b﹣1）关于x轴对称，
1 2
∴a﹣1=2，b﹣1=﹣5，
解得：a=3，b=﹣4，
∴（a+b）2015=﹣1．
故选：C．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而可得
（a+b）2015的值．3． 是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，
将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y轴翻折 ，得到 ，则点
B对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点B坐标为（4，5）
向下平移2个单位，得点B对应点的坐标B（4，5-2），即B（4，3），
1 1
再沿y轴翻折 ，
点B′（-4，3），
故答案为：A．
【分析】（1）利用网格求出点B坐标，由点B向下平移2个单位，可得点B平移后的坐标：横坐标
不变，纵坐标减少2，再沿y轴翻折 ，可得横坐标变为互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可.
4．已知点E（x，y），点F（x.y），点M（x，y）是线段EF的中点，则x＝ ，y＝
0 o 2 2 1 1 1 1
.在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P（即P，A，P 三点共线，且PA＝PA），P 关于点B的对称点P，P 关于点C的
1 1 1 1 2 2
对称点P，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作.依次得到点P，P，P…，则
3 4 5 6
点P 的坐标是（ ）
2020
A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）
【答案】B
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），
点P（0，2）关于点A的对称点P，
1
∴ ， ，
解得x＝2，y＝﹣4，
所以点P（2，﹣4）；
1
同理：
P 关于点B的对称点P，
1 2
所以P（﹣4，2）
2
P 关于点C的对称点P，
2 3
所以P（4，0），
3
P（﹣2，﹣2），
4
P（0，0），
5
P（0，2），
6
…，
发现规律：
每6个点一组为一个循环，
∴2020÷6＝336…4，
所以点P 的坐标是（﹣2，﹣2）.
2020
故答案为：B.
【分析】根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…
4，进而可得点P 的坐标.
2020
二、填空题：
5．如果点P（m，1﹣2m）关于x轴对称的点Q在第四象限，则m的取值范围是 ．【答案】0＜m＜
【知识点】解一元一次不等式组；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（m，1﹣2m）关于x轴对称的点Q在第四象限，
∴点P在第一象限，
{ m>0
∴ ，
1-2m>0
解得0＜m＜ ．
故答案为：0＜m＜ ．
【分析】先判断出点P在第一象限，再根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组，
然后求解即可．
6．已知点P（a+1，2a-1）关于x轴的对称点在第一象限，则|a+2|-|1-a|= ．
【答案】2a+1
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点P（a+1，2a-1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P（a+1，2a-1）在第四象限，
∴a+1>0
2a-1<0
解得-1＜a＜ ，
∴|a+2|-|1-a|=a+2-1+a=2a+1，
故答案为2a+1
【分析】由点P（a+1，2a-1）关于x轴的对称点在第一象限，可知点P在第四象限，根据第四象限的
横纵坐标的符号，建立关于a的不等式组，解不等式组求出a的取值范围，然后根据a的取值范围化
简即可。
7．平面直角坐标系中有一点A（1，1）对点A进行如下操作：
第一步，作点A关于x轴的对称点A，延长线段AA 到点A，使得2AA=AA；
1 1 2 1 2 1第二步，作点A 关于y轴的对称点A，延长线段AA 到点A，使得2AA=AA；
2 3 2 3 4 3 4 2 3
第三步，作点A 关于x轴的对称点A，延长线段AA 到点A，使得2AA=AA；
4 5 4 5 6 5 6 4 5
……
则点A 的坐标为 ，点A 的坐标为 ；
2 2015
若点A 的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式 ．
n
【答案】（1，﹣2）；（2503，2504）；m=n．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，A（1，-1），A（1，-2），
1 2
A（-1，-2），A（-2，-2），
3 4
A（-2，2），A（-2，4），
5 6
A（2，4），A（4，4），
7 8
∵2015÷8=251余7，
∴点A 为第252循环组的第一象限的倒数第二个点，
2015
∴A （2503，2504），
2015
点A 的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式m=n．
n
故答案为：（1，-2）；（2503，2504），m=n．
【分析】根据操作，每一个象限内有2个点，可得到没8个点为一个循环，依次循环，用2015除以
8，根据商和余数的情况确定出点A 所在象限，然后根据点的变化规律解答即可。
2015
三、解答题：
8．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）请画出 关于x轴成轴对称的图形 ，并写出 、 、 的坐标；（2）求 的面积；
（3）在y轴上找一点P，使 的值最小，请画出点P的位置．
【答案】解：（1）△ABC 如图所示， ， ， ；
1 1 1
（2）
（3）如图所示，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'A，交y轴于点P，则PA+PB最小．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点作图，再求点的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据在y轴上找一点P，使 的值最小， 作图即可。
9．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）作出与△ABC关于y轴对称△ABC，并写出三个顶点的坐标为：A（ ），B（
1 1 1 1 1
），C（ ）；
1
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
（3）在 y 轴上是否存在点 Q，使得S = S ，如果存在，求出点 Q 的坐标，如果不存在，
AOQ ABC
△ △
说明理由。
【答案】-1，1,-4，2,-3，4⑵ 在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；解：
如图1，找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P，点P坐标为（2，0）；
⑶ 在 y 轴上是否存在点 Q，使得S = S ，如果存在，求出点
AOQ ABC
△ △
Q 的坐标，如果不存在，说明理由。解：设存在点 Q，使得S = S ，如图2，作AD⊥y轴于
AOQ ABC
△ △D，设Q点坐标为（0，y），则 OQ＝｜y｜，AD＝1， S ＝
ABC
△
＝ ，由题意，S = S ，得 ，
AOQ ABC
△ △
或 ，∴ Q点坐标为（0， ）或（0， ）
（1）-1，1；-4，2；-3，4
（2）解：如图1，找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P，点P坐标为（2，
0）；
（3）解：设存在点 Q，使得S = S ，
AOQ ABC
△ △
如图2，作AD⊥y轴于D，设Q点坐标为（0，y），则 OQ＝｜y｜，AD＝1，
S ＝ ＝ ，
ABC
△
由题意，S = S ，得 ， 或 ，
AOQ ABC
△ △
∴ Q点坐标为（0， ）或（0， ）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）△ABC 如图所示，
1 1 1
A（-1，1），B（-4，2），C（-3，4）；
1 1 1
故答案为：-1，1；-4，2；-3，4；
【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点可求出；
（2）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P，从而得到P点的坐标；
（3）设存在点 Q，作AD⊥y轴于D，设Q点坐标为（0，y），则 OQ＝｜y｜，AD＝1.先求出△ABC的面积，从而可得△AOQ的面积，再由△AOQ的面积公式可求出y的值，即可得Q的坐标.
