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13.5 轴对称-最短路径问题
【考点1：两定一动-作图】
【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
【考点4：一定两动-求角度】
基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【考点1：两定一动-作图】
【典例1】如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站
P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置．
【答案】见解答．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【变式1-1】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长
最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由．
【答案】作图及理由见解答．
【解答】解：取格点Q，格点R，连接QR分别交OA、OB于点M，点N，
点M、点N就是所求的图形.
理由：连接PQ、PR，
∵点Q与点P关于直线OA对称，∴OA垂直平分PQ，
∴PM＝QM，
∵点R与点P关于直线OB对称，
∴OB垂直平分PR，
∴PN＝RN，
∴PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR，
∵Q、M、N、R四点在同一条直线上，
∴QM+RN+MN＝QR的值最小，
∴PM+PN+MN的值最小，
∴△PMN周长最小．
【变式1-3】如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江
边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13千米．
（1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
（2）若铺设水管的费用为每千米4500元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省
铺设水管的费用为多少元？
【答案】（1）见解析；（2）67500元．
【解答】解：（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短；
（2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，
设这两线交于点C，则∠C＝90°．
又过A作AE⊥BC于E，
依题意BE＝5，AB＝13，
∴AE2＝AB2﹣BE2＝132﹣52＝144．
∴AE＝12．
由平移关系，A′C＝AE＝12，
△BA′C中，∵BC＝7+2＝9，A′C＝12，
∴A′B2＝A′C2+BC2＝92+122＝225，
∴A′B＝15．
∵PA＝PA′，
∴PA+PB＝A′B＝15．
∴4500×15＝67500（元）．
【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
【典例2】如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分
线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则
△CDM周长的最小值是（ ）A．11 B．13 C．18 D．24
【答案】B
【解答】解：连接AM，当A、M、D时，此时AD⊥BC，△CDM的周长最小，
∵△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，
∴AD＝10，
∴△CDM周长的最小值是：10+3＝13，
故选：B．
【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB
于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
【答案】B
【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线，
∴点C与点B关于直线MN对称，
∴线段AB与直线MN的交点即为点P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝3，
∴PA+PC的最小值是3．
故选：B．
【变式2-2】（2023春•老城区校级月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积
是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，
点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，
△ABC
解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝8+2＝10．
故选：C．
【变式2-3】（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E
是 AC 边的中点，点 P 是 AD 上的一个动点，当 PC+PE 最小时，∠PCD 的度数是
（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCD＝∠PBC＝30°，
故选：D．
【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
【典例3】已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动
点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．
【答案】B【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于
点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝OP，
∵△PMN周长的最小值是3cm，
∴PM+PN+MN＝3cm，
∴DM+CN+MN＝3cm，
即CD＝3cm＝OP，
故选：B．
【变式3-1】（2023•紫金县校级开学）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M
和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB
的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN＝6，
∴DM+CN+MN＝6，
即CD＝6＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故选：B．
【典例4】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最
小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S ＝ AB•CM＝ AC•BC，
△ABC
∴CM＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值为 ．
故选：B．
【变式4-1】（2023春•高州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝
8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是
（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ
的长，如图所示．∵S ＝ BC•AD＝ AC•BQ，
△ABC
∴BQ＝ ＝9.6．
故选：A．
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC
的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【答案】A
【解答】解：如图，作点 Q关于 AD的对称点 Q′，连接 PQ′，CQ′，过点 C作
CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′值AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， •AC•BC＝ •AB•CH，
∴CH＝2.4，∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故选：A．
【考点4：一定两动-求角度】
【典例5】如图，在四边形ABCD中，∠C＝ °，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上
的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度α 数为（ ）
A． B．2 C．180﹣ D．180﹣2
【答α案】D α α α
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交
CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝ °，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠DABα＝180°﹣ °，
∴∠AA′E+∠A″α＝ °，
∵∠EA′A＝∠EAA′α，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝ °，
∴∠EAF＝180°﹣ °﹣ α°＝180°﹣2 °．
故选：D． α α α
【变式6-1】如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，
DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（ ）A．72° B．36° C．108° D．38°
【答案】B
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交
CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝108°，
∴∠HAA′＝72°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝
2×72°＝144°，
∴∠MAN＝36°，
故选：B．
【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，
AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是（ ）
A．50° B．70° C．90° D．100°
【答案】D【解答】解：作C点关于AD的对称点E，C点关于AB的对称点F，连接EF交AD于
N′点，交AB于M′，如图，
∴N′E＝N′C，M′F＝M′C，
∴CN′+M′N′+CM′＝N′E+N′M′+M′F＝EF，
∴此时△MCN的周长最小，
∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，
∴∠BCD＝140°，
∵N′E＝N′C，M′F＝M′C，
∴∠E＝∠N′CE，∠F＝∠M′CF，
∵∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝180°﹣140°＝40°，
∴∠N′CE+∠M′CF＝40°，
∴∠M′CN′＝∠ECF﹣（∠N′CE+∠M′CF）＝140°﹣40°＝100°，
即△MCN的周长最小时，∠MCN为100°．
故选：D．
【变式6-3】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝ ，在AB、BC上分别找一
点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF＝（ ） α
A． B．90°﹣ C． D．180°﹣2
【答α案】D α α
【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝ ，
∴∠ADC＝180°﹣ ， α
由轴对称知，∠ADαE＝∠P，∠CDF＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣ ）
＝ ， α
∴α∠ADE+∠CDF＝∠P+∠Q＝ ，
∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+α∠CDF）
＝180°﹣ ﹣
＝180°﹣α2 ，α
故选：D．α
一、单选题
1．小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到
送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问
题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解
决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点A关于街道的对称
点A′，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出A′C′+BC′>A′B，再进行边的等量代
换，即可作答．
【详解】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴ A′C=AC，
∴ AC+BC=A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴ AC′+BC′=A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴ A′C′+BC′>A′B，
∴ AC′+BC′>AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．
2．如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，
AB于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值
为（ ）A．4 B．9.5 C．12.5 D．16
【答案】B
【分析】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关
键是利用线段垂直平分线的性质．
【详解】如图：
连接AD交EF于点M，
∵等腰△ABC的底边BC长为3，点D为BC边的中点，
3
∴AD⊥BC，BD=CD= ，
2
∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，
∴AM=CM，
此时△CDM的周长为：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD
3
CD的长为 固定，
2
∴根据两点之间线段最短，△CDM的周长最小．
1
∵S = BC•AD，
△ABC 2
1
∴ ×3AD=12，
2
∴AD=8，
3
∴AD+CD=8+ =9.5．
2
故选：B．
3．如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点
P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若点M、N分别是线段AD和线段
AB上的动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A．10 B．12.8 C．12 D．9.6
【答案】D
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，根据等腰三角形的性质和勾股定理求
1 1 48
出AC，然后根据S = BC⋅AD= AC⋅BH，可得BH= ．作点H关于AD的对
△ABC 2 2 5
称点交AB于点N′，连接M′N′，可得M′H=M′N′，根据垂线段最短，当点M、M分别在
M′、N′位置时，BM+MN最小，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，
由作图可知，AD平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
1 1
∴BD=CD= BC= ×12=6，
2 2
1 1
∵AD=8，AC=10，BC=12，S = BC⋅AD= AC⋅BH，
△ABC 2 2BC⋅AD 48
∴BH= = ，
AC 5
∵AB=AC，AD⊥BC，
作点H关于AD的对称点交AB于点N′，连接M′N′，
∴M′H=M′N′，
∴BH=BM′+M′H=BM′+M′N′，
当点M、M分别在M′、N′位置时，BM+MN最小，
48
则BM+MN的最小值为BH的长 =9.6．
5
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作−作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰
三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
4．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、
N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点C作
CE⊥AB，垂足为点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，垂足为点N′，根据“垂
线段最短”，即可得CE为CM+MN的值最小，再利用面积公式求出CE的值，即可得出
答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交BD于点M′，过点M′作
M′N′⊥BC，垂足为点N′，
∵BD ∠ABC
平分 ，∴ M′N′=M′E，
∴ CM′+M′N′=CE，
∴当点M与点M′重合时，CM+MN的值最小，等于CE的值，
∵ AB=4，△ABC的面积为8，
1 1
∴S = AB⋅CE= ×4⋅CE=8，
△ABC 2 2
∴CE=4，
∴ CM+MN的最小值为4，
故选：B．
5．如图，已知直线l垂直平分AB，点C在直线l的左侧，且AB=9，AC=7，BC=5，P
是直线l上的任意一点，则PB+PC的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到BP=AP，
利用两点之间线段最短，找出最短距离为AC即可得到结果．
【详解】解：连接BP，
∵l垂直平分AB，
∴BP=AP，
∴PB+PC=PA+PC≥AC，
∴ PB+PC的最小值是AC，值为7，故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长
的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题
意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可
得到△ABP周长最小．
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴点B，C关于EF对称．
∴当点P和点D重合时，AP+BP的值最小．
此时AP+BP=AC，
∵AB=3,AC=4，
∴△ABP周长的最小值是AP+BP+AB=AB+AC=3+4=7，
故选：C．
7．如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的
点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为（ ）
A．40° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【分析】作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，则CM=EM，CN=FN，可
得CM+MN+CN=EM+MN+FN，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，根据四边形ABCD中，∠A=40°，
∠B=∠D=90°得∠BCD=140°，根据三角形内角和定理得∠E+∠F=40°，根据等边
对等角得∠CMN=2∠E，∠CNM=2∠F，即可得∠CMN+∠CNM=80°，根据三角
形内角和定理即可得．
【详解】解：如图所示，作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，
则CM=EM，CN=FN，
∴CM+MN+CN=EM+MN+FN，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，
∵四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，
∴∠BCD=360°−∠A−∠B−∠D=360°−40°−90°−90°=140°，
∴∠E+∠F=180°−∠BCD=180°−140°=40°，
∵CM=EM，
∴∠E=∠MCB，
∴∠CMN=∠E+∠MCB=2∠E，
∵CN=FN，
∴∠F=∠NCD，
∴∠CNM=∠F+∠NCD=2∠F，
∴∠CMN+∠CNM=2(∠E+∠F)=2×40°=80°，
∴∠MCN=180°−(∠CMN+∠CNM)=180°−80°=100°，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关
键是理解题意，利用对称性构造最短路径．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，如果点D，E分别
为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
【答案】B
【分析】如图所示，作点A关于BC的对称点A′，连接C A′，DA′，BA′，则AD=A′D，
BA=BA′ ,故AD+DE=A′D+DE，由此推出当A′、D、E三点共线时，AD+DE=A′E，
AD+DE最小值即为A′E的长，当A′E最小时，即满足A′E⊥AB，故根据三角形的面积
即可求得A′E的最小值．
【详解】解：作点A关于BC的对称点A′，作点A′E⊥AB，交BC于点D，连接C A′，
DA′如图：
则AD=A′D，
∴AD+DE=A′D+DE≥A′E．
即AD+DE的最小值为A′E．
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
∴A A′=12，
1 1
∵S = A A′ ⋅BC= AB⋅A′E，
△AA′B 2 2
A A′ ⋅BC 12×8
∴A′E= = =9.6，
AB 10
即AD+DE的最小值为9.6．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟
练掌握以上性质是解本题的关键．9．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上
的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】连接PF，BF，BF交GH于点P′，连接AP′，首先证明当点P与点P′重合时，
PA+PB的最小值，利用等腰三角形的性质求出∠AFB=30°即可解决问题．
【详解】解：如图，连接PF，BF，BF交GH于点P′，连接AP′．
∵ ABCDEF G H AF CD
正六边形 中， ， 分别是 和 的中点，
∴GH所在直线是正六边形的对称轴，
∴PA=PF，
∴PA+PB=PB+PF，
∵PB+PF⩾BF，
∴当点P与点P′重合时，PA+PB的值最小，
∵∠BAF=120°，AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB=30°，
∵∠FGP′=90°，
∴∠FP′G=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与轴对称的最短问题等知识，解题的关键是学会利用三角形的
性质以及三边关系解决最短问题，属于中考常考题型．
10．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】连接BE，则BE的长度即为PC与PE和的最小值．再利用等边三角形的性质可得
∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，BA=BC，又AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
11．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是
射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，则AB的长
为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】作E点关于CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
当E′,P,F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小，利用30°所对直角边等于斜边一
半求出BE′=12，最后根据边长关系计算AB的长即可．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB交于点F，交CD于点P，连
接PE，
∴PE=PE′，CE=CE′
,
∴EP+FP=PE′+PF≥E′F，
当E′,P,F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B=90°−∠B=30°，
∴BE′=2BF，∵BF=6，BE=4，
∴BE′=2BF=12，
∵CE=CE′，
∴12=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=4，
∴BC=4+4=8，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的
性质，直角三角形的性质是解题的关键．
12．如图，等边△ABC的边长为1，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线
l对称，D为线段BC′上的一个动点，则AD+CD的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接CA′交BC′于点E，C，A′关于直线BC′对称，推出当点D与B重合时，
AD+CD的值最小，最小值为线段AA′的长=2．
【详解】解：连接CA′交BC′于点E，
∵直线l⊥AB，且ΔABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴A，B，A′共线，
∵∠ABC=∠A′BC′=60°，
∴∠CBC′=60°，
∴∠C′BA′=∠C′BC，
∵BA′=BC，∴BE⊥CA'，CD=DA′，
∴C，A′关于直线BC′对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA′的长=2，
故选B．
【点睛】本题考查轴对称−最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用
轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如
果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，根据角平
分线的性质定理得到ME=MN，进而得到CM+MN=CM+ME=CE，利用面积法求出
CE=4.8，由此得到CM+MN的最小值．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME=MN，
∴CM+MN=CM+ME=CE，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，CE⊥AB，
1 1
∵S = AB⋅CE= AC⋅BC，
△ABC 2 2
∴10CE=6×8，
∴CE=4.8，即CM+MN的最小值是4.8
故选D．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查
了最短路线问题，解题的关键是找到使CM+MN最小时的动点N和M．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的
平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【答案】A
【分析】作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H．利用垂线段
最短解决问题即可．
【详解】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于
点H．
∵AD ΔABC Q Q′ AD
是 的角平分线， 与 关于 对称，
∴点Q′值AB上，PC+PQ=PC+PQ′≥CH，
1 1
∵AC=3，BC=4，AB=5， ⋅AC⋅BC= ⋅AB⋅CH，
2 2
∴CH=2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称
点，再由垂线段最短是求解的关键．
