文档内容
14.2 整式的乘除法
【考点1: 单项式乘单项式】
【考点2:单项式乘多项式】
【考点3:多项式乘多项式】
【考点4:多项式乘多项式-不存在某项问题】
【考点5: 多项式乘多项式的化简求值问题】
【考点6: 多项式乘多项式的实际应用】
【考点7: 多项式除法运算】
知识点1：单项式乘单项式
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同
它的指数作为积的一个因式．
【考点1: 单项式乘单项式】
【典例1】计算：
(1) (2xn+1yn)⋅(−3xy)⋅ ( − 1 x2z )； (2) −6m2n⋅(x−y) 3 ⋅ 1 mn2 ⋅(y−x) 2 ；
2 3
(3) (−3xy) 2 ⋅ ( − 1 x2y ) 3 ⋅ ( − 1 yz2) 2
5 4【变式1-1】计算：
3x5y⋅x2+(2x2) 3 ⋅xy
．
【变式1-2】计算：
(−3a2b) 2 ⋅(−a2c3) 3
．
【变式1-3】计算：( − 1 x2y ) 3 ⋅(−3x y2) 2．
2
知识点2：单项式乘多项式
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
【考点2:单项式乘多项式】
【典例2】计算：
(1) (−xy) ( x2y−4x y2+ 4 y )； (2) (−2a−3a2b2)⋅ ( − 4 abc )；
3 5(3) ．
x(3x2−5x+1)−3x2(x−2)
【变式2-1】计算：
(1) ； (2) ．
(−2ab)(2a2+2b2−3ab) 3x(2x−1)−5x(x−3)
【变式2-2】计算： ．
(−2a2)(3ab2−5ab2+1)
【变式2-3】计算下列各题．
(1) ；
3a2b(−4a2b+2ab2−ab)
(2)
−5x⋅(x2y−x
y2)−2x2(1
xy+
y2)．
2知识点3：多项式乘多项式
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【考点3:多项式乘多项式】
【典例3】计算：
(1) ． (2)
(x+2)(2x−3)−2(x2−x+3) (x2+x+1)(x2−x+1)
(3)
(x+1)(x−2)(x2+x+2)
【变式3-1】计算：
(1) ； (2)
(2x+3 y)(3x−2y) 5x(x2+2x+1)−(2x+3)(x−5)
【变式3-2】计算： ．
(x+2)(2x−3)−2(x2−x+3)【变式3-3】计算：
(1) (−2x2) 3 +4x3 ⋅x3 ； (2) (3x2−x+1)(−4x) ；
(3) ； (4) ．
(x−3)(x2+4x) (3x−y)(x+2y)
【考点4:多项式乘多项式-不存在某项问题】
【典例4】已知 的展开式中不含x的一次项，常数项是 ．
(x2+mx−3)(2x+n) −6
(1)求m，n的值；
(2)求 的值．
(m+n)(m2−mn+n2)
【变式4-1】已知关于x的代数式(2x+m)与(x−3)的乘积中不含x的一次项，求m的值．【变式4-2】若关于 的代数式 的化简结果中不含 的项和 的项，求 的值．
x (x2+mx+n)(2x−1) x2 x m+n
【变式4-3】若 中不含x的二次方项，求a的值．
(ax+3)(6x2−2x+1)
【考点5: 多项式乘多项式的化简求值问题】
【典例5】先化简再求值：(x−1)(x−3)−x(x+4)，其中x=−2．
【变式5-1】先化简，再求值：2x(x+1)−(x+2)(2x−1)，其中x=1．
【变式5-2】先化简，再求值：
1
(x+2y)(x−2y)+(x−2y) 2−(3x2y−6x y2)÷(3 y)，其中x=−2，y= ．
2【变式5-3】先化简，再求值：(x+2)(2x−1)−2x(x+3)，其中x=−1
【考点6: 多项式乘多项式的实际应用】
【典例6】有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示．
(1)求甲草地的面积（用含m的代数式表示）．
(2)若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等．
①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）：
②若将正方形草地的面积记为S ，乙草地的面积记为S ，请比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2 1 2
【变式6-1】如图，某中学校园内有一块长为(3a+2b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，学校计划在
中间留一块长为(2a+b)米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
(1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(3)当a=4,b=1时，求绿化部分的面积．【变式6-2】如图，某小区内有一块长(3m+n)米，宽(2m+n)米的长方形广场，该小区要对边长为
(m+n)米的正方形阴影部分区域进行绿化，其余空白区域进行广场硬化．
(1)求该长方形广场上需要硬化部分的面积；
(2)若m=10，n=5，求硬化部分的面积．
【变式6-3】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：
．
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(1)由图2，可得等式：___________________；
(2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为4a+b和5a+3b的
长方形，则需要用到C型纸片______张；
(3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c+d=14,(a+b)(c+d)+ab+cd=71，求a2+b2+c2+d2的值．
知识点4：单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它
的指数作为商的一个因式．
知识点5：多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【考点7: 多项式除法运算】
【典例7】计算：
(1)(2 a5b8−2a2b6)
÷
(1 ab3) 2；
3 3
(2)( 3 m6n2+ 1 m5n4− 1 m4n2) ÷ ( − 1 m2n ) 2
10 2 3 2
【变式7-1】计算：
(24x2y−12x y2+8xy)÷(−6xy)
【变式7-2】计算： ．
(20x3y5−10x4 y4−20x3y2)÷(−5x3y2)【变式7-3】计算：
(12m4n−9m2n2+3m3)÷(−3m2)
1．计算 ( 1 )的结果是（ ）
−3xy⋅ x− y
2
3 3 1
A．3x2y+x y2 B．−3x2y− x y2 C．−3x2y+ x y2 D．−3x2y+ x y2
2 2 2
2．若 ，则m为（ ）
(x−5)(x+3)=x2−mx−15
A．2 B．−2 C．8 D．−8
3．计算： （ ）
(a2b3+2ab2)÷2ab=
1 1 1
A． ab2 B． ab2+b C．2ab+b D． ab3+b2
2 2 2
4．已知单项式3x2y3与2x y2的积为mx3yn，那么m−n=（ ）
A．11 B．5 C．1 D．﹣1
5．计算 (−3x2y)⋅ ( − 1 x y2) 2的结果为（ ）
3
1 1 1
A．−x4 y5 B． x4 y5 C．− x3y2 D．− x4 y5
3 3 3
6．计算(2a+b)(a−2b)等于（ ）
A．2a2−2ab−2b2B．2a2−2ab+2b2 C．2a2−3ab−2b2 D．2a2−3ab+2b27．计算3a2 ⋅3a3结果是（ ）
A．6a5 B．9a5 C．6a6 D．9a6
8．用图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为a+b的矩形，需要A类卡片，B类
卡片，C类卡片的张数分别是（ ）
A．1、2、3 B．1、3、5 C．2、3、1 D．2、3、4
9． ．
(−3x) 3 ⋅(5x2y)=
10．若x+ y=3且xy=1，则代数式(x−2)(y−2)= ．
11．如图，是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由
此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行
的数字正好对应了 （n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如
(a+b) n
展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，
(a+b) 2=a2+2ab+b2
展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
在横线上写出 展开式中的未知项， ．
(a−b) 4 (a−b) 4=a4−4a3b+6a2b2+
12．计算： ．
(−2a2b3)⋅(−3a)⋅(−2c)13．计算：
(1)(1 x2y−2xy+ y2) ⋅3xy ；
2
(2)( 4x3y2−3x2y2− 1 x2y5) ÷ ( − 1 xy )．
2 2
14．计算：
(1)(−2a2b) 3
⋅
1 b4c÷10a3b2；
2
(2)x(6+x)−3(x+1)(3x−1)．
15．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，
1 1
× xy=3x2y−x y2+ xy
2 2
(1)求所捂的多项式；
2 1
(2)若x= ，y= ，求所捂多项式的值．
3 2
16．先化简，再求值： ，其中 ．
(x2−2)(x+3)−x(x2+2x−1) x=−3
17．学校有一块长方形的劳动教育基地，长3b米，宽2a米，后来为了满足需要，需在旁边开垦新的土地，
使原来的长增加a米，宽增加b米．(1)求该基地现在的土地面积是多少平方米？
(2)当a=3，b=2时，求增加的土地面积是多少平方米？
18．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为
a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如
图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是： ；
(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
(1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时， （画图并写出过
(a+b) 2≠a2+b2
程）
(2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长
方形纸片z张，拼出一个面积为(2a+b)(a+3b)的长方形，则x= ，y= ，z= ．
