文档内容
14.2 整式的乘除法
【考点1: 单项式乘单项式】
【考点2:单项式乘多项式】
【考点3:多项式乘多项式】
【考点4:多项式乘多项式-不存在某项问题】
【考点5: 多项式乘多项式的化简求值问题】
【考点6: 多项式乘多项式的实际应用】
【考点7: 多项式除法运算】
知识点1：单项式乘单项式
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同
它的指数作为积的一个因式．
【考点1: 单项式乘单项式】
【典例1】计算：
(1)(2xn+1yn)⋅(−3xy)⋅ ( − 1 x2z ) ；
2
1
(2)−6m2n⋅(x−y) 3 ⋅ mn2 ⋅(y−x) 2 ；
3
(3)(−3xy) 2 ⋅ ( − 1 x2y ) 3 ⋅ ( − 1 yz2) 2
5 4
【答案】(1)3xn+4 yn+1z
(2)−2m3n3(x−y) 59
(3)− x8y7z4
2000
【分析】本题主要考查了单项式乘法综合．熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数幂乘法的运算法
则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，是解决问题的关键．
（1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可；
（2）应把x−y与y−x分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项
式运算法则以及同底数幂的乘法运算法则得出即可；
（3）先根据积的乘方的法则与幂的乘方的法则计算，再根据单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的
乘法运算法则运算得出即可．
【详解】（1）解：(2xn+1yn)⋅(−3xy)⋅ ( − 1 x2z )
2
= [ 2×(−3)× ( − 1)) (xn+1 ⋅x⋅x2)(yn ⋅y)z
2
=3xn+4 yn+1z；
1
（2）−6m2n⋅(x−y) 3 ⋅ mn2 ⋅(y−x) 2
3
1
=−6m2n⋅(x−y) 3 ⋅ mn2 ⋅(x−y) 2
3
1
=−6× (m2 ⋅m)(n⋅n2)[(x−y) 3 (x−y) 2)
3
=−2m3n3(x−y) 5；
（3）(−3xy) 2 ⋅ ( − 1 x2y ) 3 ⋅ ( − 1 yz2) 2
5 4
=(9x2y2) ( − 1 x6 y3)( 1 y2z4)
125 16
=9× ( − 1 ) × 1 (x2x6)(y2y3y2)z4
125 16
9
=− x8y7z4 ．
2000【变式1-1】计算：3x5y⋅x2+(2x2) 3 ⋅xy．
【答案】11x7 y
【分析】本题考查积的乘方和单项式、单项式相乘和合并同类项，运用相关法则计算即可，掌握运算
法则是解题的关键．
【详解】解：原式=3x7 y+8x6 ⋅xy
=3x7 y+8x7 y
=11x7 y．
【变式1-2】计算：(−3a2b) 2 ⋅(−a2c3) 3 ．
【答案】−9a10b2c9
【分析】此题考查了幂的运算法则和单项式乘以单项式，先进行幂的运算，再进行单项式的乘法即可．
【详解】解：(−3a2b) 2 ⋅(−a2c3) 3
=9a4b2 ⋅(−a6c9)
=−9a4b2 ⋅a6c9
=−(9×1)(a4 ⋅a6)b2 ⋅c9
=−9a10b2c9．
【变式1-3】计算： ( − 1 x2y ) 3 ⋅(−3x y2) 2 ．
2
9
【答案】− x8 y7
8
【分析】本题考查了积的乘方、单项式乘以单项式，根据积的乘方、单项式乘以单项式法则计算即可．
1
【详解】解：原式=− x6 y3 ⋅9x2y4
8
9
=− x8y7 ．
8
知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
【考点2:单项式乘多项式】
【典例2】计算：
(1)(−xy) ( x2y−4x y2+ 4 y ) ；
3
(2)(−2a−3a2b2)⋅ ( − 4 abc ) ；
5
(3)x(3x2−5x+1)−3x2(x−2)．
4
【答案】(1)−x3y2+4x2y3− x y2
3
8 12
(2)
a2bc+ a3b3c
5 5
(3)x2+x
【分析】此题考查了整式乘法混合运算，解题的关键是熟练整式乘法混合运算法则．
（1）运用单项式与多项式相乘的法则求解即可；
（2）运用单项式与多项式相乘的法则求解即可；
（3）首先计算单项式与多项式相乘，然后合并同类项即可．
【详解】（1）(−xy) ( x2y−4x y2+ 4 y )
3
=(−xy)⋅(x2y)+(−xy)⋅(−4x y2)+(−xy)⋅ (4 y )
3
4
=−x3y2+4x2y3− x y2 ；
3
（2）(−2a−3a2b2)⋅ ( − 4 abc )
5=(−2a)⋅ ( − 4 abc ) +(−3a2b2)⋅ ( − 4 abc )
5 5
8 12
= a2bc+ a3b3c．
5 5
（3）x(3x2−5x+1)−3x2(x−2)
=3x3−5x2+x−3x3+6x2
=x2+x．
【变式2-1】计算：
(1)(−2ab)(2a2+2b2−3ab)；
(2)3x(2x−1)−5x(x−3)．
【答案】(1)−4a3b−4ab3+6a2b2
(2)x2+12x
【详解】解：（1）原式=−4a3b−4ab3+6a2b2．
（2）原式=6x2−3x−5x2+15x=x2+12x．
【变式2-2】计算：(−2a2)(3ab2−5ab2+1)．
【答案】4a3b2−2a2
【分析】本题考查了单项式乘多项式，利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【详解】解：(−2a2)(3ab2−5ab2+1)
=(−2a2)(−2ab2+1)
=4a3b2−2a2．
【变式2-3】计算下列各题．
(1)3a2b(−4a2b+2ab2−ab)；
(2)−5x⋅(x2y−x y2)−2x2(1 xy+ y2) ．
2
【答案】(1)−12a4b2+6a3b3−3a3b2；
(2)−6x3y+3x2y2．【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算；
（2）先根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项．
【详解】（1）解：原式=3a2b×(−4a2b)+3a2b×2ab2−3a2b×ab
= −12a4b2+6a3b3−3a3b2；
1
（2）解：原式=−5x⋅x2y+5x⋅x y2−2x2× xy−2x2y2
2
=−5x3y+5x2y2−x3y−2x2y2
=−6x3y+3x2y2．
知识点3：多项式乘多项式
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【考点3:多项式乘多项式】
【典例3】计算：
(1)(x+2)(2x−3)−2(x2−x+3)．
(2)(x2+x+1)(x2−x+1)
(3)(x+1)(x−2)(x2+x+2)
【答案】(1)3x−12
(2)x4+x2+1
(3)x4−x2−4x−4
【分析】本题考查了多项式的乘法：（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：(x+2)(2x−3)−2(x2−x+3)
=2x2+4x−3x−6−2x2+2x−6
=3x−12．
（2）解：(x2+x+1)(x2−x+1)
=x4−x3+x2+x3−x2+x+x2−x+1
=x4+x2+1．
（3）解：(x+1)(x−2)(x2+x+2)
=(x2−x−2)(x2+x+2)
=x4+x3+2x2−x3−x2−2x−2x2−2x−4
=x4−x2−4x−4．
【变式3-1】计算：
(1)(2x+3 y)(3x−2y)；
(2)5x(x2+2x+1)−(2x+3)(x−5)
【答案】(1)6x2−5xy−6 y2
(2)5x3+8x2+12x+15
【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
（1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解；
（2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解；
【详解】（1）解：(2x+3 y)(3x−2y)
=6x2+9xy−4xy−6 y2
=6x2+5xy−6 y2；
（2）5x(x2+2x+1)−(2x+3)(x−5)
=5x3+10x2+5x−(2x2−10x+3x−15)=5x3+10x2+5x−2x2+10x−3x+15
=5x3+8x2+12x+15
【变式3-2】计算：(x+2)(2x−3)−2(x2−x+3)．
【答案】3x−12
【分析】本题考查了多项式的乘法，合并同类项．根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类
项即可．
【详解】解：(x+2)(2x−3)−2(x2−x+3)
=2x2+4x−3x−6−2x2+2x−6
=3x−12．
【变式3-3】计算：
(1)(−2x2) 3 +4x3 ⋅x3；
(2)(3x2−x+1)(−4x)；
(3)(x−3)(x2+4x)；
(4)(3x−y)(x+2y)．
【答案】(1)−4x6
(2)−12x3+4x2−4x
(3)x3+x2−12x
(4)3x2−2y2+5xy
【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，同底数幂的乘法，积的乘方及整式的加减运
算．
（1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再算合并同类项即可解答；
（2）利用单项式乘多项式的法则，进行计算即可解答；
（3）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答；
（4）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：原式=−8x6+4x6
=−4x6；（2）解：原式=3x2(−4x)−x(−4x)+(−4x)
=−12x3+4x2−4x；
（3）解：原式=x⋅x2+x⋅4x−3x2−12x
=x3+4x2−3x2−12x
=x3+x2−12x；
（4）解：原式=3x⋅x+3x⋅2y−x⋅y−y⋅2y
=3x2+6xy−xy−2y2
=3x2−2y2+5xy．
【考点4:多项式乘多项式-不存在某项问题】
【典例4】已知(x2+mx−3)(2x+n)的展开式中不含x的一次项，常数项是−6．
(1)求m，n的值；
(2)求(m+n)(m2−mn+n2)的值．
【答案】(1)m=3，n=2
(2)35
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；
（2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．
【详解】（1）解：原式=2x3+2mx2−6x+nx2+mnx−3n
=2x3+2mx2+nx2+mnx−6x−3n
=2x3+(2m+n)x2+(mn−6)x−3n，
由于展开式中不含x的一次项，常数项是−6，
则mn−6=0且−3n=−6，
解得：m=3，n=2；
（2）由（1）可知：m=3，n=2，
∴原式=m3−m2n+mn2+m2n−mn2+n3
=m3+n3=33+23
=27+8
=35．
【变式4-1】已知关于x的代数式(2x+m)与(x−3)的乘积中不含x的一次项，求m的值．
【答案】m=6
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出
(2x+m)(x−3)的展开结果，再根据关于x的代数式(2x+m)与(x−3)的乘积中不含x的一次项，即含x
的一次项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：(2x+m)(x−3)
=2x2+mx−6x−3m
=2x2+(m−6)x−3m，
∵关于x的代数式(2x+m)与(x−3)的乘积中不含x的一次项，
∴m−6=0，
∴m=6．
【变式4-2】若关于x的代数式(x2+mx+n)(2x−1)的化简结果中不含x2的项和x的项，求m+n的值．
3
【答案】
4
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握相关计算法则是解题的关键．
先根据多项式乘多项式的计算法则化简代数式，然后根据不含x2的项和x的项得到2m−1=0，
2n−m=0，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】(x2+mx+n)(2x−1)
=2x3+2mx2+2nx−x2−mx−n
=2x3+(2m−1)x2+(2n−m)x−n，
∵关于x的代数式(x2+mx+n)(2x−1)的化简结果中不含x2的项和x的项，
∴2m−1=0，2n−m=0，
1 1
∴ m= ,n= ，
2 4
3
∴ m+n= ．
4【变式4-3】若(ax+3)(6x2−2x+1)中不含x的二次方项，求a的值．
【答案】9
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出
(ax+3)(6x2−2x+1)的展开结果，再根据展开结果中不含x的二次方项，即含x的二次方项的系数为
0进行求解即可．
【详解】解：(ax+3)(6x2−2x+1)
=6ax3+18x2−2ax2−6x+ax+3
=6ax3+(18−2a)x2+(a−6)x+3，
∵(ax+3)(6x2−2x+1)中不含x的二次方项，
∴18−2a=0，
解得a=9．
【考点5: 多项式乘多项式的化简求值问题】
【典例5】先化简再求值：(x−1)(x−3)−x(x+4)，其中x=−2．
【答案】−8x+3，19．
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式，
单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将x=−2代入化简结果及进行计算即可求解，熟
练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=x2−x−3x+3−(x2+4x)
=x2−x−3x+3−x2−4x
=−8x+3，
当x=−2时，
原式=−8×(−2)+3
=16+3
=19．
【变式5-1】先化简，再求值：2x(x+1)−(x+2)(2x−1)，其中x=1．
【答案】−x+2，1【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算的顺序和法则．先
去括号、合并同类项将原式化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】解：原式=2x2+2x−(2x2−x+4x−2)
=2x2+2x−2x2+x−4x+2
=−x+2．
当x=1时，原式=−1+2=1．
【变式5-2】先化简，再求值：
1
(x+2y)(x−2y)+(x−2y) 2−(3x2y−6x y2)÷(3 y)，其中x=−2，y= ．
2
【答案】x2−2xy，6
【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值，先利用整式的混合运算法则进行化简，再将x=−2，
1
y= 代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
2
【详解】原式=x2−4 y2+x2−4xy+4 y2−x2+2xy
=x2−2xy，
1 1
当x=−2,y= 时，原式=(−2) 2−2×(−2)× =4+2=6．
2 2
【变式5-3】先化简，再求值：(x+2)(2x−1)−2x(x+3)，其中x=−1
【答案】−3x−2，1
【分析】此题考查了整式乘法的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多
项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出
值．
【详解】解：(x+2)(2x−1)−2x(x+3)
=2x2−x+4x−2−2x2−6x，
=−3x−2，
当x=−1时，
原式=−3×(−1)−2=1．
【考点6: 多项式乘多项式的实际应用】
【典例6】有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示．(1)求甲草地的面积（用含m的代数式表示）．
(2)若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等．
①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）：
②若将正方形草地的面积记为S ，乙草地的面积记为S ，请比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2 1 2
【答案】(1)m2+12m+27；
(2)①m+5；②S >S ，见解析
1 2
【分析】本题主要考查整式混合运算的应用，掌握整式混合运算法则和乘法公式是关键．
（1）根据长方形的面积公式即可得到答案；
（2）①乙草地的周长÷4即可求解；②利用作差法即可求解．
【详解】（1）甲草地的面积=(m+3)(m+9)=m2+12m+27；
（2）①∵乙草地的周长=2(m+4+m+6)=4m+20，正方形草地的周长和乙草地周长相等，
∴正方形草地的边长=(4m+20)÷4=m+5；
②正方形草地的面积S =(m+5) 2=m2+10m+25，
1
乙草地的面积S =(m+4)(m+6)=m2+10m+24，
2
∴(m+5) 2−(m+4)(m+6)=1>0，
∴ S >S ．
1 2
【变式6-1】如图，某中学校园内有一块长为(3a+2b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，学校计划在
中间留一块长为(2a+b)米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
(1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）(2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(3)当a=4,b=1时，求绿化部分的面积．
【答案】(1)(6a2+7ab+2b2)平方米
(2)(4ab+2b2)平方米
(3)108平方米．
【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，
单项式与多项式相乘的运算法则．
（1）利用长方形面积公式直接计算即可；
（2）利用长方形面积公式直接计算即可；
（3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解．
【详解】（1）∵(3a+2b)×(2a+b)=6a2+3ab+4ab+2b2=(6a2+7ab+2b2)平方米，
∴长方形地块的面积为(6a2+7ab+2b2)平方米；
（2）∵(2a+b)×2b=(4ab+2b2)平方米，
∴修建雕像的小长方形地块的面积为(4ab+2b2)平方米；
（3）∵绿化部分的面积为6a2+7ab+2b2−(4ab+2b2)=(6a2+3ab)平方米；
∴当a=4,b=1时，
6a2+3ab=6×42+3×4×1=96+12=108（平方米），
∴绿化部分的面积为108平方米．
【变式6-2】如图，某小区内有一块长(3m+n)米，宽(2m+n)米的长方形广场，该小区要对边长为
(m+n)米的正方形阴影部分区域进行绿化，其余空白区域进行广场硬化．(1)求该长方形广场上需要硬化部分的面积；
(2)若m=10，n=5，求硬化部分的面积．
【答案】(1)(5m2+3mn)平方米
(2)650平方米
【分析】本题考查多项式乘多项式在几何图形中的应用．图中空白部分的面积不方便直接求出，可通
过间接求面积法获得，这种方法在很多几何图形求面积的题目中应用广泛，需重点把握．
(1)由题意可知空白部分的面积=长方形的面积−阴影部分的面积．长方形的面积是长×宽，即
(3m+n)(2m+n)；阴影部分是正方形，其面积是(m+n) 2，所以空白部分的面积是
(2m+n)(3m+n)−(m+n) 2；
(2)将m，n的数值代入(1)题中的代数式求值即可．
【详解】（1）解：根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
(2m+n)(3m+n)−(m+n) 2
=6m2+2mn+3mn+n2−(m2+2mn+n2
)
=6m2+5mn+n2−m2−2mn−n2
=5m2+3mn，
答：广场上需要硬化部分的面积是(5m2+3mn)平方米．
（2）把m=10，n=5代入得，
5m2+3mn=5×102+3×10×5=650（平方米）
答：广场上需要硬化部分的面积是650平方米．
【变式6-3】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2．(1)由图2，可得等式：___________________；
(2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为4a+b和5a+3b的
长方形，则需要用到C型纸片______张；
(3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c+d=14,(a+b)(c+d)+ab+cd=71，求a2+b2+c2+d2的值．
【答案】(1)(a+b+c+d) 2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
(2)17
(3)54
【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题．利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）将图②中正方形的面积用两种方法表示出来，即得出答案；
（2）由多项式乘多项式的运算法则将展开，整理得20a2+17ab+3b2，即得出答案；
（3）结合（1）得出a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd=196，由多项式乘多项式的
运算法则将(a+b)(c+d)+ab+cd=71展开，两者结合即得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
(a+b+c+d) 2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
故答案为：(a+b+c+d) 2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．
（2）解：(4a+b)(5a+3b)=20a2+12ab+5ab+3b2=20a2+17ab+3b2，
∴需要用到C型纸片17张．
故答案为：17；
（3）解：∵(a+b+c+d) 2=142=196，
故(a+b+c+d) 2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd=196，∵(a+b)(c+d)+ab+cd=71，
∴ac+ad+bc+bd+ab+cd=71，
∴2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd=71×2=142，
∴a2+b2+c2+d2=196−142=54．
知识点4：单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它
的指数作为商的一个因式．
知识点5：多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【考点7: 多项式除法运算】
【典例7】计算：
(1)
(2 a5b8−2a2b6)
÷
(1 ab3) 2
；
3 3
(2) ( 3 m6n2+ 1 m5n4− 1 m4n2) ÷ ( − 1 m2n ) 2
10 2 3 2
【答案】(1)6a3b2−18
6 4
(2)
m2+2mn2−
5 3
【分析】本题考查的是积的乘方运算，多项式除以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键；
（1）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可；
（2）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可；
【详解】（1）解：
(2 a5b8−2a2b6)
÷
(1 ab3) 2
3 3
=
(2 a5b8−2a2b6)
÷
(1 a2b6)
3 9=6a3b2−18；
（2） ( 3 m6n2+ 1 m5n4− 1 m4n2) ÷ ( − 1 m2n ) 2
10 2 3 2
= ( 3 m6n2+ 1 m5n4− 1 m4n2) ÷ (1 m4n2)
10 2 3 4
6 4
= m2+2mn2− ．
5 3
【变式7-1】计算：(24x2y−12x y2+8xy)÷(−6xy)
4
【答案】−4x+2y−
3
【分析】此题主要考查了多项式除以单项式，关键是掌握计算法则，注意符号的确定．利用多项式除
以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可．
【详解】解：原式=24x2y÷(−6xy)−12x y2÷(−6xy)+8xy÷(−6xy)，
4
=−4x+2y− ．
3
【变式7-2】计算：(20x3y5−10x4 y4−20x3y2)÷(−5x3y2)．
【答案】−4 y3+2x y2+4
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：(20x3y5−10x4 y4−20x3y2)÷(−5x3y2)
=20x3y5÷(−5x3y2)−10x4 y4÷(−5x3y2)−20x3y2÷(−5x3y2)
=−4 y3+2x y2+4．
【变式7-3】计算：(12m4n−9m2n2+3m3)÷(−3m2)
【答案】−4m2n+3n2−m
【分析】本题考查的是多项式除以单项式，直接按照多项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】解：(12m4n−9m2n2+3m3)÷(−3m2)
=12m4n÷(−3m2)−9m2n2÷(−3m2)+3m3÷(−3m2)=−4m2n+3n2−m；
1．计
算
( 1 )
−3xy⋅ x− y 的结果是（ ）
2
3 3 1
A．3x2y+x y2 B．−3x2y− x y2 C．−3x2y+ x y2 D．−3x2y+ x y2
2 2 2
【答案】C
【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多
项式运算法则计算得出答案．
( 1 )
【详解】−3xy⋅ x− y
2
3
=−3x2y+ x y2 ．
2
故选：C．
2．若(x−5)(x+3)=x2−mx−15，则m为（ ）
A．2 B．−2 C．8 D．−8
【答案】A
【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．
运用多项式乘多项式的计算方法进行求解．
【详解】解： (x−5)(x+3)
=x2−5x+3x∵−15
=x2−2x−15，
m=2，
∴故选：A．
3．计算：(a2b3+2ab2)÷2ab=（ ）1 1 1
A． ab2 B． ab2+b C．2ab+b D． ab3+b2
2 2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查整式的除法．利用多项式除以单项式的运算法则即可解答．
1
【详解】解：(a2b3+2ab2)÷2ab= ab2+b，
2
故选：B．
4．已知单项式3x2y3与2x y2的积为mx3yn，那么m−n=（ ）
A．11 B．5 C．1 D．﹣1
【答案】C
【分析】根据单项式乘单项式法则可得3x2y3 ⋅2x y2=6x3y5，求出m、n的值，然后代入m−n中计
算求解即可．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指
数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键．
【详解】∵3x2y3 ⋅2x y2=6x3y5，
∴mx3yn=6x3y5，
∴m=6，n=5，
∴m−n=6−5=1．
故选：C．
5．计算(−3x2y)⋅ ( − 1 x y2) 2 的结果为（ ）
3
1 1 1
A．−x4 y5 B． x4 y5 C．− x3y2 D．− x4 y5
3 3 3
【答案】D
【分析】本题考查整混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则、单项式乘以单项式法则是解题的
关键．
先计算乘方，再计算运用单项式乘以单项式法则计算即可．
【详解】解：(−3x2y)⋅ ( − 1 x y2) 2
3
1
=(−3x2y)⋅ x2y4
91
=− x4 y5 ，
3
故选：D．
6．计算(2a+b)(a−2b)等于（ ）
A．2a2−2ab−2b2B．2a2−2ab+2b2 C．2a2−3ab−2b2 D．2a2−3ab+2b2
【答案】C
【分析】本题考查了整式的乘法运算，直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：(2a+b)(a−2b)
=2a2−4ab+ab−2b2
=2a2−3ab−2b2
故选C．
7．计算3a2 ⋅3a3结果是（ ）
A．6a5 B．9a5 C．6a6 D．9a6
【答案】B
【分析】本题主要考查单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则，即可得到答案．
【详解】解：3a2 ⋅3a3=9a5．
故选：B．
8．用图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为a+b的矩形，需要A类卡片，B类
卡片，C类卡片的张数分别是（ ）
A．1、2、3 B．1、3、5 C．2、3、1 D．2、3、4
【答案】C
【分析】此题的立意较新颖，主要考查多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据长方形
的面积等于长乘以宽列式，再根据多项式的乘法法则计算，然后结合卡片的面积即可作出判断．
【详解】解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，
A图形面积为a2，B图形面积为ab，C图形面积为b2，
则可知需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张．
故选：C9．(−3x) 3 ⋅(5x2y)= ．
【答案】−135x5 y
【分析】本题考查了单项式乘以单项式的计算，积的乘方等知识，根据相关运算法则进行计算即可．
【详解】解：(−3x) 3 ⋅(5x2y)=(−27x3)⋅(5x2y)=−135x5y，
故答案为：−135x5 y．
10．若x+ y=3且xy=1，则代数式(x−2)(y−2)= ．
【答案】−1
【分析】此题考查了多项式乘以多项式和代数式的求值，先利用多项式乘以多项式法则展开，再整体
代入即可．
【详解】解：∵x+ y=3且xy=1，
∴(x−2)(y−2)
=xy−2(x+ y)+4
=1−2×3+4
=−1
故答案为：−1
11．如图，是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由
此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行
的数字正好对应了(a+b) n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如
(a+b) 2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，
在横线上写出(a−b) 4展开式中的未知项，(a−b) 4=a4−4a3b+6a2b2+ ．【答案】−4ab3+b4
【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律问题，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所
给的式子寻找规律，是快速解题的关键．由(a+b)=a+b，(a+b) 2=a2+2ab+b2，
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b) n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数
都等于(a+b) n−1的相邻两个系数的和，由此可得(a±b) 4各项系数的绝对值依次为1、4、6、4、1．
【详解】解：(a−b) 4=a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4．
故答案为：−4ab3+b4．
12．计算：(−2a2b3)⋅(−3a)⋅(−2c)．
【答案】−12a3b3c
【分析】本题主要考查整式的乘法．根据单项式乘以单项式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：(−2a2b3)⋅(−3a)⋅(−2c)
=−12a2+1b3c
=−12a3b3c．
13．计算：
(1) (1 x2y−2xy+ y2) ⋅3xy；
2
(2) ( 4x3y2−3x2y2− 1 x2y5) ÷ ( − 1 xy ) ．
2 2
3
【答案】(1)
x3y2−6x2y2+3x y3
2
(2)−8x2y+6xy+x y4【分析】本题考查整式乘法运算及整式除法运算，熟练掌握多项式乘以单项式、多项式除以单项式的
运算法则是解决问题的关键．
（1）根据多项式乘以单项式运算法则直接求解即可得到答案；
（2）根据多项式除以单项式运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解： (1 x2y−2xy+ y2) ⋅3xy
2
3
= x3y2−6x2y2+3x y3
2
（2）解： ( 4x3y2−3x2y2− 1 x2y5) ÷ ( − 1 xy )
2 2
=−8x2y+6xy+x y4．
14．计算：
(1)(−2a2b) 3
⋅
1 b4c÷10a3b2；
2
(2)x(6+x)−3(x+1)(3x−1)．
2
【答案】(1)− a3b5c
5
(2)−8x2+3
【分析】题目主要考查积的乘方运算及整式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算积的乘方运算，然后计算整式的乘除法即可；
（2）先计算单项式乘以多项式及多项式乘以多项式，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：(−2a2b) 3
⋅
1 b4c÷10a3b2
2
1
=−8a6b3
⋅
b4c÷10a3b2
2
=−4a6b7c÷10a3b2
2
=− a3b5c
5
（2）x(6+x)−3(x+1)(3x−1)
=6x+x2−3(3x2−x+3x−1)=6x+x2−9x2−6x+3
=−8x2+3．
15．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，
1 1
× xy=3x2y−x y2+ xy
2 2
(1)求所捂的多项式；
2 1
(2)若x= ，y= ，求所捂多项式的值．
3 2
【答案】(1)6x−2y+1
(2)4
【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式：
（1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出 ( 3x2y−x y2+ 1 xy ) ÷ (1 xy ) 的结果即可得到答案；
2 2
2 1
（2）把x= ，y= 代入（1）所求结果中计算求解即可．
3 2
【详解】（1）解： ( 3x2y−x y2+ 1 xy ) ÷ (1 xy )
2 2
=6x−2y+1，
∴所捂的多项式为6x−2y+1；
2 1
（2）解：当x= ，y= 时，
3 2
2 1
6x−2y+1=6× −2× +1=4−1+1=4．
3 2
16．先化简，再求值：(x2−2)(x+3)−x(x2+2x−1)，其中x=−3．
【答案】x2−x−6，6
【分析】本题考查的是整式的运算．先将原式根据单项式乘多项式以及多项式乘多项式的法则进行化
简，再将x的值代入计算即可．
【详解】解：(x2−2)(x+3)−x(x2+2x−1)
=x3−2x+3x2−6−x3−2x2+x=x2−x−6，
当x=−3时，原式=(−3) 2−(−3)−6=9+3−6=6．
17．学校有一块长方形的劳动教育基地，长3b米，宽2a米，后来为了满足需要，需在旁边开垦新的土地，
使原来的长增加a米，宽增加b米．
(1)求该基地现在的土地面积是多少平方米？
(2)当a=3，b=2时，求增加的土地面积是多少平方米？
【答案】(1)该基地现在的土地面积是(3b2+2a2+7ab)平方米
(2)增加的土地面积是36平方米
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，列出代数式是解题的关键．
（1）利用矩形的面积公式进行作答即可；
（2）将a=3，b=2分别代入该基地现在的土地面积和原来基地的面积，然后做差即可得出答案．
【详解】（1）解：(3b+a)(2a+b)
=6ab+3b2+2a2+ab
=3b2+2a2+7ab（平方米），
答：该基地现在的土地面积是(3b2+2a2+7ab)平方米．
（2）当a=3，b=2时，
该基地现在的土地面积为3b2+2a2+7ab=3×22+2×32+7×3×2=72（平方米），
原来基地的面积为2a×3b=6×3×2=36（平方米），
72−36=36（平方米），
答：增加的土地面积是36平方米．
18．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为
a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如
图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2；(1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，(a+b) 2≠a2+b2（画图并写出过
程）
(2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长
方形纸片z张，拼出一个面积为(2a+b)(a+3b)的长方形，则x= ，y= ，z= ．
【答案】(1)作图及理由见详解
(2)2，3，7
【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的关系，根据图示，掌握整式的运算法则是解题的关
键．
（1）根据题意，画出图形，运用整式运算即可求解；
（2）根据整式的运算法则展开，几何图形面积的特点即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
图形的面积为：(a+b) 2=a2+b2+2ab，
∴当a，b都不为0时，(a+b) 2≠a2+b2；
（2）解：(2a+b)(a+3b)
=2a2+6ab+ab+3b2
=2a2+7ab+3b2，
∴x=2，y=3，z=7，
故答案为：2，3，7．
