文档内容
人教版初中数学八年级下册
17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】B
【分析】根据勾股定理逆定理证明∠D是直角，结合BD=CD得∠DBC=45°，从而得到∠ABC．
【详解】如图，延长射线AB交格点于点D，
∵每个小正方形的边长为1
∴ ，
∵
∴∠D=90°
又∵BD=CD
∴△BCD是等腰直角三角形
∴∠DBC=45°∴∠ABC=180°－∠DBC =180°－45°=135°
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理证明∠D是直角是解决本题的关键．
2．如图所示的一块地，已知 ， ， ， ， ，则这块地的
面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，先利用勾股定理求出 ，再根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，再由
的面积减去 的面积就是所求的面积，即可．
【详解】解：如图，连接 ．
在 中，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴这块地的面积 ．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到 是直角三角形是解
题的关键．3．如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是
（ ）
A．246 B．296 C．592 D．以上都不对
【答案】A
【详解】解：连接BD．
∵∠C=90°，BC=12，CD=16，
∴BD= =20，
在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，
152+202=252，
即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S ABCD=S ABD+S BCD
四边形
△ △
= AB•BD+ BC•CD
= ×15×20+ ×12×16
=150+96
=246．
故选A．
4．已知 ， 是线段 上的两点， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧；再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出
△ABC是直角三角形．
【详解】解：如图所示，
AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形
就是直角三角形．
5．已知实数a，b为 的两边，且满足 ，第三边 ，则第三边c上的高的值
是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，
首先根据非负性的性质得出a、b的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，
再根据三角形的面积得出c边上高即可．
【详解】解：整理得， ，
所以 ，
解得 ；因为 ，
，
所以 ，
所以 是直角三角形， ，
设第三边c上的高的值是h，
则 的面积 ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的
和为0时，这几个非负数都为0．
二、填空题：
6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度
同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____．
【答案】40海里
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了
32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，
根据勾股定理得： =40（海里）．
故答案为：40海里．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
7．如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中∠ADC＝90°，AD＝
8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求绿地的面积为___．
【答案】96
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形，进而根
据S ＝SRt ABC−SRt ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．
阴影
△ △
【详解】解：在Rt ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2＋CD2＝△82＋62＝100，
∴AC＝10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
S ＝SRt ABC SRt ACD
阴影 −
△ △
＝ ×10×24− ×8×6
＝96．
故答案为：96．
【点睛】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的
长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．
8．如图， 的周长为36cm， ，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点
Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后， 的面积为______ ．
【答案】18
【分析】根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，根据三角形的面积公
式求出△BPQ的面积；
【详解】解：（1）设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，
由题意得：3x+4x+5x=36，
解得：x=3，
则AB=3x=9，BC=4x=12，AC=5x=15，
∵AB2+BC2=92+122=225，AC2=152=225，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠B=90°，
当t=3时，AP=3cm，BQ=6cm，
则BP=9-3=6cm，
∴ ．
故答案为：18．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．能正确判断△BPQ为直角三角形
9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度
数等于 _____．
【答案】90°##90度
【分析】根据三角形面积公式求出AC=4，根据勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．
【详解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S DAC＝6，
△∴ ×AC×DE=6，
∴AC=4，
∴ ，
∵AB＝5，
∴AB2＝25，
∴ ，
∴∠ACB=90°．
故答案为：90°
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．
10．“我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，
其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边
长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=0.5千米，
则该沙田的面积为________________平方千米．
【答案】7.5
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故答案为7.5．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
11．如图，在钝角 中，已知 为钝角，边 ， 的垂直平分线分别交 于点 ， ，若
，则 的度数为________．
【答案】
【分析】如图中，连接AD、AE．首先证明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，根据三角形
内角和定理可得 ，推出 ，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ， ．
∵ ， 的垂直平分线分别交 于点 ， ，
∴ ， ，∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，根据线段垂直平分线作出辅助线，根据
三角形内角和定理解决问题是关键．
12．在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ， ，且 交 于点
，则 的长为_____________．
【答案】 ##
【分析】首先利用勾股定理逆定理证明 为直角三角形，然后利用角平分线性质和平行线性质求得
， ， ，根据角平分线定理可知 ，
再根据 求得 的长．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， 为直角三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
如图作 ⊥ 于点 ，
∵ 平分 ， ， ， ，
∴ ，
在 中，
，
即 ，
可得 ,
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、角平分线、平行线、三角形面积，解答本题的关键是熟练运用角平
分线定理和三角形面积相等求解．
三、解答题：
13．如图，在四边形 中， ， ， ， ， 求四边形 的面
积．【答案】
【分析】根据 、 由勾股定理可以计算 的长，根据 ， ， 由勾股定理的逆定理可以判定
为直角三角形，再根据四边形 的面积为 和 面积之和即可求解．
【详解】解： ， ， ，
，
， ， ，
， ，
，
是直角三角形，
，
在 中， ，
在 中， ，
．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中求证
是直角三角形是解题的关键．
14．为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，
测得 ， ， ， ， ，如果种植草皮费用是200元/ ，那么共
需投入多少钱？【答案】46800
【分析】连接 ，利用勾股定理求出 ，利用勾股定理逆定理，求出 为直角三角形，进而利用
两个直角三角形的面积和求出四边形的面积，再用面积乘以费用，即可得解．
【详解】解：如图所示，
连接 ．
， ， ，
，
又 ， ， ，即 ，
是直角三角形，
所需费用为 元．
答：共需投入46800元．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．熟练掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判断三角形是直
角三角形是解题的关键．
15．如图，等腰 是某小区的一块空地， ，开发商准备将其修建成一个小区居民娱乐中心，
在 上取一点D，连接 区域修建为儿童乐园， 区域修建为中老年棋牌室，经测量，
米， 米， 米，求中老年棋牌室（即 ）的面积．【答案】中老年棋牌室（即 ）的面积为84平方米
【分析】由勾股定理的逆定理先证明 是直角三角形，且 ，则 是直角三角形，且
．设 米，则 米，在 中，由 求
得 米，即可得到答案．
【详解】解：∵ 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ 是直角三角形，且 ．
设 米，则 米，
∵在 中， ，
∴ ，
解得 ，即 米，
∴ （平方米）．
∴中老年棋牌室（即 ）的面积为84平方米．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，证明 是直角三角形是解题的关键 ．
16．如图，学校操场边有一块四边形空地 ，其中 ， ， ， ，
，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
(1)求需要绿化的空地 的面积；
(2)为方便师生出入，设计了过点A的小路 ，且 于点E，试求小路 的长．
【答案】(1)114m2；(2) 的长为 m
【分析】（1）由勾股定理求出 ，再由勾股定理的逆定理证出 是直角三角形， ，
然后由三角形面积公式求解即可；
（2）由三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
， ，
，
是直角三角形， ，
需要绿化的空地 的面积 ；
（2）解： ， ，
，
，
解得： ，
即小路 的长为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌
握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出 ．
17．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里(1)若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北
方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由
(2)若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有
一名乘客需要紧急回到 海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分
钟内回到海岸线吗？请说明理由．
【答案】(1)“海天”号沿西北方向航行，理由见解析
(2)能在20分钟内回到海岸线，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而解答即可；
（2）过点A作 于D，根据含30度角的直角三角形的性质，根据勾股定理得出F到x轴距离，进
而得出答案．
（1）解：∵ （海里）， （海里）， （海里），∴
，∴ 是直角三角形，∴ ，∵“远航”号沿东北方向航行，∴
，∴ ，∴“海天”号沿西北方向航行；
（2）过点F作 于D， （海里），∵
， ∴ ，∴ （海里），∵
（海里）， ，∴能在20分钟内回到海岸线．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形解答．
能力提升篇
一、单选题：
1．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是 ，甲客轮沿着北偏东 的方向航行， 后到
达小岛 ，乙客轮 到达小岛 ．若 ， 两岛的直线距离为 ，则乙客轮离开港口时航行的方向是
（ ）
A．北偏西 B．南偏西
C．南偏东 或北偏西 D．南偏东 或北偏西【答案】C
【分析】根据题意可得OA=30海里，OB= 40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，
从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得，
海里， 海里，
OA2+ OB2=302 + 402=2500， AB2=502=2500，
OA2+OB2=AB2，
∠AOB=90°，
分两种情况：
如图1，
= 180°- 30° -90° =60°，
乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°，
如图2，
∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30° =60°，
乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60° ，综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．
2．点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若 ABO是直角三角形，则m
的值不可能是（ ） △
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，
进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定
理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：分三种情况考虑（如图所示）：
当∠OAB＝90°时，m＝0；
当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；
当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，
解得：m＝1，m＝4．
1 2
综上所述：m的值可以为0，5，1，4．
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情
况求出m的值是解题的关键．
3．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为
AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（ ）A．10 B．12 C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交
AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∵D为BC的中点，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，
∵S ABC= AB•CE= BC•AD，
△
∴13•CE=10×12，
∴CE= ，
∴PE+PB的最小值为 ，
故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性
质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
二、填空题：
4．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且
△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．
【答案】150°
【分析】如图：连接PP′，由 PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得 APP′为等边三角
形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然△后再利用勾股定理逆定理可得 BPP′为直角三角形，且∠B△PP′＝90°，最后根
据角的和差即可解答． △
【详解】解：连接PP′，
∵ PAC≌△P′AB，
∴△PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，
灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
5．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2， )，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3， )，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______．
【答案】(3，300°)或(3，120°)
【分析】设中心点为点O， ，由勾股定理逆定理可知 ，且C有两个方向，
即可确定C．
【详解】解：
如图：设中心点为点O，在 中，
，
，
是直角三角形，且
∴C的位置为：(3， )或(3， )．
【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键．
6．如图，在 中， ，点 在线段 上以每秒 个单位的速度从 向 移动，
连接 ，当点 移动_____秒时， 与 的边垂直．【答案】 或 或 ．
【分析】设运动时间为 然后分当 、 和 三种情况运用勾股定理解答即可．
【详解】解：设运动时间为
则 ，
当 时，如图1所示，
过点 作 于点
，
中有 ，
，
中， ，
中， ，
，
，
解得： ；
当 时，如图2所示，由 可知，
又
；
当 时，如图3所示，
过点 作 于点
由 知 ，
中有 ，
中有 ，
，
又
当 点移动 秒或 秒或 秒时， 与 边垂直．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键．
三、解答题：
7．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过
程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A
向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为： ，
， ，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．(1)请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
【答案】(1)理由见解析；
(2)沙尘暴影响该城镇持续的时间为 ．
【分析】（1）过点C作 ，根据勾股定理逆定理可得 为直角三角形，利用等面积法得出
，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域，即可证明；
（2）在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，当 ， 时，沙尘暴正好影响城镇C，根
据勾股定理可得 ，利用直角三角形全等的判定及性质可得 ，EF=14km，由
速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间．
（1）
解：如图所示：过点C作 ，
AC=30km， ， ，
∵
，
∴
为直角三角形，
∴
，
∴
即30×40=50×CD，
，
∴以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域， ，
∵城镇C会受到沙尘暴影响；
∴（2）
解：如图所示：在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，
当 ， 时，沙尘暴正好影响城镇C，
，
∴
在 与 中，
，
，
∴∴DE=DF，
EF=2ED=14km，
∴沙尘暴中心的移动速度为 ，
∵
，
∴
沙尘暴影响该城镇持续的时间为 ．
∴【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用，全等三角形的判定和性质等，理解题意，利用勾股定
理定理解决实际问题是解题关键．
