文档内容
人教版初中数学八年级下册
18.1.3 平行四边形的判定(1) 教学设计
一、教学目标：
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
二、教学重、难点：
重点：掌握平行四边形的判定定理.
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.
三、教学过程：
复习回顾
平行四边形的性质：
边：平行四边形的对边平行且相等；
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
角：平行四边形的对角相等；
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ，∴ ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD
知识精讲
思考：反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就
是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(证明过程)
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接BD.
∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB
∴ △ABD≌△CDB (SSS)
∴ ∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD
∴ AB∥CD，AD∥CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形
几何符号语言：
∵ AB=CD，AD=CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形
平行四边形判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(证明过程)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°
又 ∠A=∠C，∠B=∠D∴ ∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°
∴ AB∥CD，AD∥CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形
几何符号语言：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D
∴ 四边形ABCD是平行四边形
平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(证明过程)
如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵ OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB
∴ △AOD≌△COB (SAS)
∴ ∠OAD=∠OCB
∴ AD∥BC
同理 AB∥DC
∴ 四边形ABCD是平行四边形
几何符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
典例解析
例1.如图，以△ABC的各边向同侧作正三角形，即等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF，连接
DF，EF.求证：四边形AEFD是平行四边形．证明：∵△ABD和△BCF是等边三角形，
∴∠DBF＋∠ABF＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC＝DF.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
【针对练习】如图，将□ABCD 的四边 DA，AB，BC，CD 分别延长至点 E，F，G，H，使得
AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE.求证:四边形EFGH为平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，∠BCD=∠BAD
∴∠HCG＝∠FAE.
∵BF＝DH，∴AF＝CH.
又∵AE＝CG，
∴△FAE≌△HCG(SAS)．
∴EF＝GH.同理可得EH＝GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
例2.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【针对练习】如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE
＝AD，CF＝CB.
求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△AED，△CFB都是等边三角形．
∴∠AEC＝∠BFC＝60°.
又∵AF∥CE，
∴∠EAF＝∠FCE＝120°.
∴四边形AFCE是平行四边形．
例3.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四
边形BFDE是平行四边形.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
∵ AE=CF
∴ AO-AE=CO-CF
即 EO=FO
又 BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
【针对练习】变式1：若E、F继续移动至OA、OC的延长线上，仍使AE=CF，则结论还成立吗?
为什么?
解:四边形BFDE是平行四边形，理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO+AE=CO+CF
即EO=FO
又∵BO=DO
∴四边形BFDE是平行四边形
变式2:问题中AE=CF，过点O作一直线分别交AB、CD于G、H，则四边形GFHE是平行四边形
吗?为什么?解:四边形GFHE是平行四边形，理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵AE=CF
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF
∵AB//CD
∴∠GBO=∠HDO
又∵∠BOG=∠DOH
∴△BOG≌△DOH (ASA)
∴OG=OH
又∵OE=OF
∴四边形GFHE是平行四边形
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行
四边形的是( )
A.1:2:3:4 B.2:3:2:3 C.2:3:3:2 D.1:2:2:3
2.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD.若∠D=120°,则∠C的度数为( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
3.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件:①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE= ∠CBF;④∠ABE= ∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行
四边形的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.四边形ABCD中，AB=9cm，BC=6cm，CD=9cm，当AD=____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
5.如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE//DF,若AE=5，则CF=_____.
6.如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB,CD四等分，这些点可以构成平行四
边形的个数是_____.
7.如图，在□ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，求
证:四边形KLMN为平行四边形.8.如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，
DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接
AE.
(1)求证：AE＝BC；
(2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．
10.如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平
行四边形吗？说说你的理由．
【参考答案】
1. B
2. A
3. B
4. 6
5. 5
6. 4
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AB=CD
∠A=∠C，∠B=∠D
∵AK=CM，BL=DN
∴AB-AK=CD-CM，BC-BL=AD-DN
即BK=DM，CL=AN
∴△AKN≌△CML，△BKL≌△DMN (SAS)
∴KN=ML，KL=MN
∴四边形KLMN是平行四边形
8.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)．
∴EF＝EC.
又∵AE＝DE，∴四边形ACDF是平行四边形．
9.（1）证明：∵AB∥CD，∠B＝45°，
∴∠C＋∠B＝180°
∴∠C＝135°.
∵DE＝DA，AD⊥CD，
∴∠E＝45°.
∵∠E＋∠C＝180°，∴AE∥BC.
又AB∥CE.
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE＝BC.
（2）解：∵四边形ABCE是平行四边形，
∴AB＝CE＝3.
∴AD＝DE＝CE－CD＝2.
∴四边形ABCE的面积为3×2＝6.
10.解：四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
四、教学反思：
在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基
础上加以引导点拨. 判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要.
在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维
发散，不把思路局限在某一判定方法上.
