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2017 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）若a的相反数是﹣3，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）数字150000用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×104 B．0.15×106C．15×104 D．1.5×105
3．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．若a≠b，则a2≠b2 B．若a＞|b|，则a＞b
C．若|a|=|b|，则a=b D．若|a|＞|b|，则a＞b
4．（3分）对于函数y=2x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点（1，0） B．y值随着x值增大而减小
C．它的图象经过第二象限 D．当x＞1时，y＞0
5．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）
A．120° B．80° C．60° D．40°
6．（3分）将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向上的概率为（
）
A． B． C． D．
7．（3分）由若干个相同的正方体组成的几何体，如图（1）所示，其左视图如图（2）所
示，则这个几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，
∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A．30° B．15° C．45° D．25°
9．（3分）若实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）如图，AD∥BC，AD⊥AB，点A，B在y轴上，CD与x轴交于点E（2，0），且
AD=DE，BC=2CE，则BD与x轴交点F的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：2sin60°= ．
12．（3分）分解因式：x3﹣4x= ．
13．（3分）已知一组数据：3，5，x，7，9的平均数为6，则x= ．
14．（3分）△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为 ．
15．（3分）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b= ．
16．（3分）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在^AB上，四边形MNPQ为正方
形．若半圆的半径为√5，则正方形的边长为 ．
17．（3分）圆锥的底面半径为1，它的侧面展开图的圆心角为180°，则这个圆锥的侧面
积为 ．
18．（3分）如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测
得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的
北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：（﹣1）2017+tan45°+√327+|3﹣π|．x 1
+ =1．
20．（4分）解方程：
x+2 x
1 1 3
21．（5分）已知非零实数a，b满足a+b=3， + = ，求代数式a2b+ab2的值．
a b 2
22．（6分）某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系，如
图所示．
（1）求每位“快递小哥”的日收入y（元）与日派送量x（件）之间的函数关系式；
（2）已知某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？
23．（7分）某校为了解学生平均每天课外阅读的时间，随机调查了该校部分学生一周内
平均每天课外阅读的时间（以分钟为单位，并取整数），将有关数据统计整理并绘制成尚
未完成的频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表中所提供的信息，解答下列问题．
频率分布表
组别 分组 频数 频率
1 15～25 7 0.14
2 25～35 a 0.24
3 35～45 20 0.40
4 45～55 6 b
5 55～65 5 0.10
注：这里的15～25表示大于等于15同时小于25．
（1）求被调查的学生人数；
（2）直接写出频率分布表中的a和b的值，并补全频数分布直方图；
（3）若该校共有学生500名，则平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有多
少名？24．（7分）如图，以 BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且
EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
k
25．（7分）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交于A，B两点，点A
x
和点B的横坐标分别为1和﹣2，这两点的纵坐标之和为1．
（1）求反比例函数的表达式与一次函数的表达式；
（2）当点C的坐标为（0，﹣1）时，求△ABC的面积．
26．（8分）已知二次函数的表达式为y=x2+mx+n．
（1）若这个二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），求实数m，n的值；
（2）若△ABC 是有一个内角为 30°的直角三角形，∠C 为直角，sinA，cosB 是方程
x2+mx+n=0的两个根，求实数m，n的值．
27．（9分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切
线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结
CG．
（1）求证：AB=CD；
（2）求证：CD2=BE•BC；
9
（3）当CG=√3，BE= 时，求CD的长．
228．（9分）如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，
CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单
位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发
以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：
（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）求△PQR面积的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接
写出t的值；若不存在，请说明理由．2017 年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•大庆）若a的相反数是﹣3，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】14：相反数．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：a的相反数是﹣3，则a的值为3，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
2．（3分）（2017•大庆）数字150000用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×104 B．0.15×106C．15×104 D．1.5×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字150000用科学记数法表示为1.5×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2017•大庆）下列说法中，正确的是（ ）
A．若a≠b，则a2≠b2 B．若a＞|b|，则a＞b
C．若|a|=|b|，则a=b D．若|a|＞|b|，则a＞b
【考点】1E：有理数的乘方；15：绝对值．
【分析】根据有理数的乘方和绝对值的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、若a=2，b=﹣2，a≠b，但a2=b2，故本选项错误；
B、若a＞|b|，则a＞b，故本选项正确；
C、若|a|=|b|，则a=b或a=﹣b，故本选项错误；
D、若a=﹣2，b=1，|a|＞|b|，但a＜b，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，理解有理数乘方的意义是解题的关
键．
4．（3分）（2017•大庆）对于函数y=2x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点（1，0） B．y值随着x值增大而减小
C．它的图象经过第二象限 D．当x＞1时，y＞0
【考点】F5：一次函数的性质．
【分析】根据一次函数的性质进行计算即可．【解答】解：A、把x=1代入解析式得到y=1，即函数图象经过（1，1），不经过点（1，
0），故本选项错误；
B、函数y=2x﹣1中，k=2＞0，则该函数图象y值随着x值增大而增大，故本选项错误；
C、函数y=2x﹣1中，k=2＞0，b=﹣1＜0，则该函数图象经过第一、三、四象限，故本选项
错误；
D、当x＞1时，2x﹣1＞1，则y＞1，故y＞0正确，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．（3分）（2017•大庆）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度
数为（ ）
A．120° B．80° C．60° D．40°
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出
答案．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠B的度数为：60°．
故选C．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．
6．（3分）（2017•大庆）将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向
上的概率为（ ）
1 1 3 2
A． B． C． D．
4 2 4 3
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到至少出现一次正面向上的概率．
【解答】解：由题意可得，
出现的所有可能性是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），
3
∴至少一次正面向上的概率为： ，
4
故选C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
7．（3分）（2017•大庆）由若干个相同的正方体组成的几何体，如图（1）所示，其左视
图如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ）A． B． C． D．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据题目中的几何体，可以得到它的俯视图，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
这个几何体的俯视图是：
故选A．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，解答本题的关键是明确题意，画出几何体的俯视
图．
8．（3分）（2017•大庆）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，
∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（
）
A．30° B．15° C．45° D．25°
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KW：等腰直角三角形．
【分析】根据直角三角形的性质得到BE=CE，求得∠CBE=60°，得到∠DBF=30°，根据等
腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°，求得∠ABF=75°，根据三角形的内角和即可得到结
论．
【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，
1
∴BE=CE= CD，
2
∵∠BCD=60°，
∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABF=75°，
∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的
性质是解题的关键．
9．（3分）（2017•大庆）若实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，则a可取的最小正整
数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】将x=3代入不等式得到关于a的不等式，解之求得a的范围即可．
【解答】解：根据题意，x=3是不等式的一个解，
∴将x=3代入不等式，得：6﹣a﹣2＜0，
解得：a＞4，
则a可取的最小正整数为5，
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解
题的关键．
10．（3分）（2017•大庆）如图，AD∥BC，AD⊥AB，点A，B在y轴上，CD与x轴交于点E
（2，0），且AD=DE，BC=2CE，则BD与x轴交点F的横坐标为（ ）
2 3 4 5
A． B． C． D．
3 4 5 6
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；D5：坐标与图形性质．
【分析】如图，设OF=a，AD=DE=x，CE=y，则BC=2y，根据平行线分线段成比例可得xy=a（x+y），2xy=（2﹣a）（x+y），联立得到2a（x+y）=（2﹣a）（x+y）且x+y≠0，即
2a=（2﹣a），解方程求得a，从而求解．
【解答】解：如图，设OF=a，AD=DE=x，CE=y，则BC=2y，
OF BF EC
则 = = ，
AD BD CD
a y
即 = ，
x x+ y
xy=a（x+y），
EF DE 2-a x
又∵ = ，即 = ，
BC CD 2y x+ y
2xy=（2﹣a）（x+y），
∴2a（x+y）=（2﹣a）（x+y）且x+y≠0，
∴2a=（2﹣a），
2
解得a= ．
3
2
故点F的横坐标为 ．
3
故选：A．
【点评】考查了坐标与图形性质，平行线分线段成比例，关键是熟练掌握平行线分线段成
比例的性质，注意方程思想的运用．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2017•大庆）计算：2sin60°= √3 ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
√3
【解答】解：2sin60°=2× =√3．
2
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，
题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
1 √3 √3
sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，cot30°=√3；
2 2 3
√2 √2
sin45°= ，cos45°= ，tan45°=1，cot45°=1；
2 2
√3 1 √3
sin60°= ，cos60°= ，tan60°=√3，cot60°= ．
2 2 312．（3分）（2017•大庆）分解因式：x3﹣4x= x （ x+ 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
=x（x2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
13．（3分）（2017•大庆）已知一组数据：3，5，x，7，9的平均数为6，则x= 6 ．
【考点】W1：算术平均数．
【分析】根据算术平均数的定义列式计算即可得解．
【解答】解：由题意知，（3+5+x+7+9）÷5=6，
解得：x=6．
故答案为6．
【点评】本题考查的是算术平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
14．（3分）（2017•大庆）△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为
1 ．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心．
【分析】这个直角三角形的外接圆直径是斜边长，把斜边长除以2可求这个三角形的外接
圆半径．
【解答】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，
∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以
斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
15．（3分）（2017•大庆）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b= ﹣ 2
．
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
b=﹣3，a﹣2+a=0，
解得a=1，
a+b=﹣3+1=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规
律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相
同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
16．（3分）（2017•大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在^AB上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为√5，则正方形的边长为 2 ．
【考点】LE：正方形的性质；KQ：勾股定理；M1：圆的认识．
a
【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON= ，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可．
2
a
【解答】解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON= ，PN=a，
2
在Rt△OPN中，
a
ON2+PN2=OP2，即（ ）2+a2=（√5）2，解得a=2．
2
故答案为：2．
【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此
题的关键．
17．（3分）（2017•大庆）圆锥的底面半径为1，它的侧面展开图的圆心角为180°，则
这个圆锥的侧面积为 2π ．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆
180⋅π⋅R
锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2π•1= ，解得
180
R=2，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，
180⋅π⋅R
根据题意得2π•1= ，解得R=2，
180
1
所以圆锥的侧面积= •2π•1•2=2π．
2
故答案为2π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．（3分）（2017•大庆）如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点 A，小明
在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测
得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为 2 0√3米 ．【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．
【分析】方法 1、作 AD⊥BC 于点 D，设出 AD=x 米，在 Rt△ACD 中，得出 CD=√3x，在
√3
Rt△ABD中，得出BD= x，最后用CD+BD=80建立方程即可得出结论；
3
方法2、先判断出△ABC是直角三角形，利用含30°的直角三角形的性质得出AB，AC，再
利用同一个直角三角形，两直角边的积的一半和斜边乘以斜边上的高的一半建立方程求解
即可．
【解答】解：方法1、过点A作AD⊥BC于点D．
根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°，
设AD=x米，
AD
在Rt△ACD中，tan∠ACD= ，
CD
AD x
∴CD= = =√3x，
tan∠ACD tan30°
AD
在Rt△ABD中，tan∠ABC= ，
BD
AD x √3
∴BD= = = x，
tan∠ABC tan60° 3
√3
∴BC=CD+BD=√3x+ x=80
3
∴x=20√3
答：该河段的宽度为20√3米．
故答案是：20√3米．
方法2、过点A作AD⊥BC于点D．
根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=80m，∠ACB=30°，
∴AB=40m，AC=40√3m，
1 1
∴S = AB×AC= ×40×40√3=800√3，
△ABC 2 2
1 1
∵S = BC×AD= ×80×AD=40AD=800√3，
△ABC 2 2
∴AD=20√3米
答：该河段的宽度为20√3米．
故答案是：20√3米．【点评】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根
据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，
常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）（2017•大庆）计算：（﹣1）2017+tan45°+√327+|3﹣π|．
【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质和绝对值的性质分别化简求出答
案．
【解答】解：原式=﹣1+1+3+π﹣3
=π．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
x 1
20．（4分）（2017•大庆）解方程： + =1．
x+2 x
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+x+2=x2+2x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
1 1 3
21．（5分）（2017•大庆）已知非零实数a，b满足a+b=3， + = ，求代数式a2b+ab2的
a b 2
值．
【考点】59：因式分解的应用；6B：分式的加减法．
1 1 a+b 3
【分析】将a+b=3代入 + = = 求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求
a b ab 2
值．
1 1 a+b 3
【解答】解：∵ + = = ，a+b=3，
a b ab 2
∴ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，分式的加减运算，熟练掌握因式分解的方法是解题
的关键．22．（6分）（2017•大庆）某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次
函数关系，如图所示．
（1）求每位“快递小哥”的日收入y（元）与日派送量x（件）之间的函数关系式；
（2）已知某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？
【考点】FH：一次函数的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法求出y与x之间的函数关
系式；
（2）由日收入不少于110元，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设每位“快递小哥”的日收入y（元）与日派送量x（件）之间的函数
关系式为y=kx+b，
将（0，70）、（30，100）代入y=kx+b，
{&b=70 {&k=1
，解得： ，
&30k+b=100 &b=70
∴每位“快递小哥”的日收入y（元）与日派送量x（件）之间的函数关系式为y=x+70．
（2）根据题意得：x+70≥110，
解得：x≥40．
答：某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送40件．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一元一次不等式
的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系
式；（2）根据日收入不少于110元，列出关于x的一元一次不等式．
23．（7分）（2017•大庆）某校为了解学生平均每天课外阅读的时间，随机调查了该校部
分学生一周内平均每天课外阅读的时间（以分钟为单位，并取整数），将有关数据统计整
理并绘制成尚未完成的频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表中所提供的信息，解
答下列问题．
频率分布表
组别 分组 频数 频率
1 15～25 7 0.14
2 25～35 a 0.24
3 35～45 20 0.40
4 45～55 6 b
5 55～65 5 0.10
注：这里的15～25表示大于等于15同时小于25．
（1）求被调查的学生人数；
（2）直接写出频率分布表中的a和b的值，并补全频数分布直方图；
（3）若该校共有学生500名，则平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有多
少名？【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据第一组频数是7，频率是0.14即可求得被调查的人数；
（2）利用频率公式即可求得a和b的值，再补全频数分布直方图；
（3）利用总人数500乘以对应的频率即可求解．
【解答】解：（1）被调查的人数是7÷0.14=50；
6
（2）a=50×0.24=12，b= =0.12，
50
如图所示：
（3）平均每天课外阅读的时间不少于35分钟的学生大约有500×（0.40+0.12+0.10）
=310（人）．
【点评】本题考查了频率分布直方图的知识，解题的关键是弄清频数、频率及样本容量的
关系．
24．（7分）（2017•大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，
AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG
是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；√2
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF=BE= BD=√2，作FM⊥BD
2
√2
于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM=BM= BF=1，得出DM=3，
2
在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG=∠C，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，
∴∠F=∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
√2
∴BF=BE= BD=√2，
2
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
√2
∴FM=BM= BF=1，
2
∴DM=3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF=√12+32=√10，
即D，F两点间的距离为√10．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判
定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的
关键．
k
25．（7分）（2017•大庆）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交于
x
A，B两点，点A和点B的横坐标分别为1和﹣2，这两点的纵坐标之和为1．
（1）求反比例函数的表达式与一次函数的表达式；
（2）当点C的坐标为（0，﹣1）时，求△ABC的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据两点纵坐标的和，可得b的值，根据自变量与函数的值得对关系，可得
A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答
案．
【解答】解：（1）由题意，得
1+b+（﹣2）+b=1，
解得b=1，
一次函数的解析式为y=x+1，
当x=1时，y=x+1=2，即A（1，2），
k
将A点坐标代入，得 =2，
1
即k=2，
2
反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）当x=﹣2时，y=﹣1，即B（﹣2，﹣1）．
BC=2，
1 1
S = BC•（y﹣y）= ×2×[2﹣（﹣1）]=3．
△ABC 2 A C 2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用纵坐标的和得出 b的值是解
（1）题关键；利用三角形的面积公式是解（2）的关键．
26．（8分）（2017•大庆）已知二次函数的表达式为y=x2+mx+n．
（1）若这个二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），求实数m，n的值；
（2）若△ABC 是有一个内角为 30°的直角三角形，∠C 为直角，sinA，cosB 是方程
x2+mx+n=0的两个根，求实数m，n的值．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出m、n的值；
（2）分∠A=30°或∠B=30°两种情况考虑：当∠A=30°时，求出sinA、cosB的值，利用
根与系数的关系即可求出m、n的值；当∠B=30°时，求出sinA、cosB的值，利用根与系
数的关系即可求出m、n的值．
【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+mx+n中，{&1+m+n=0 {&m=-4
，解得： ，
&9+3m+n=0 &n=3
∴实数m=﹣4、n=3．
1
（2）当∠A=30°时，sinA=cosB= ，
2
1 1 1 1
∴﹣m= + ，n= × ，
2 2 2 2
1
∴m=﹣1，n= ；
4
√3
当∠B=30°时，sinA=cosB= ，
2
√3 √3 √3 √3
∴﹣m= + ，n= × ，
2 2 2 2
3
∴m=﹣√3，n= ．
4
1 3
综上所述：m=﹣1、n= 或m=﹣√3、n= ．
4 4
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形
以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m、n的
值；（2）分∠A=30°或∠B=30°两种情况，求出m、n的值．
27．（9分）（2017•大庆）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点
A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB
于点G，连结CG．
（1）求证：AB=CD；
（2）求证：CD2=BE•BC；
9
（3）当CG=√3，BE= 时，求CD的长．
2
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形，可得结论；
（2）证明△ABE∽△CBA，列比例式可得结论；
（3）根据F是AC的三等分点得：AG=2BG，设BG=x，则AG=2x，代入（2）的结论解出x的值，可得CD的长．
【解答】证明：（1）∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD；
（2）∵AE为⊙O的切线，
∴AE⊥AC，
∴∠EAB+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠EAB=∠ACB，
∵∠ABC=90°，
∴△ABE∽△CBA，
AB BE
∴ = ，
BC AB
∴AB2=BE•BC，
由（1）知：AB=CD，
∴CD2=BE•BC；
（3）∵F是AC的三等分点，
∴AF=2FC，
∵FG∥BE，
∴△AFG∽△ACB，
AF AG
∴ = =2，
FC BG
设BG=x，则AG=2x，
∴AB=3x，
在Rt△BCG中，CG=√3，
∴BC2=（√3）2﹣x2，
BC=√3-x2，
由（2）得：AB2=BE•BC，
9
（3x）2=
√3-x2
，
2
4x4+x2﹣3=0，
（x2+1）（4x2﹣3）=0，
√3
x=± ，
2
∵x＞0，
√3
∴x= ，
2
3√3
∴CD=AB=3x= ．
2
【点评】本题是圆和四边形的综合题，难度适中，考查了矩形的性质和判定、平行相似的
判定、三角形相似的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等知识，注意第2和3问都应用了上一问的结论，与方程相结合，熟练掌握一元高次方程的解法．
28．（9分）（2017•大庆）如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分
别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发
以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点
R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：
（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）求△PQR面积的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接
写出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】KY：三角形综合题．
【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，
CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S =18（t﹣1）2+6，即可得出结论；
△PQR
（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B=
AC 8 4 3
= = ，sin∠C= ，
AB 10 5 4
过点Q作QE⊥AB于E，
在Rt△BQE中，BQ=5t，
QE 4
∴sin∠B= = ，
BQ 5
∴QE=4t，
过点Q作QD⊥AC于D，
在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，
3
∴QD=CQ•sin∠C= （10﹣5t）=3（2﹣t），
5
由运动知，AP=3t，CR=4t，
∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），
1 1
∴S = AP•AR= ×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），
△APR 2 2
1 1
S = BP•QE= ×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），
△BPQ 2 2
1 1
S = CR•QD= ×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），
△CQR 2 2
∴S =S =S ，
△APR △BPQ △CQR∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）由（1）知，S =S =S =6t（2﹣t），
△APR △BPQ △CQR
∵AB=6，AC=8，
∴S =S ﹣（S +S +S ）
△PQR △ABC △APR △BPQ △CQR
1
= ×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，
2
∵0≤t≤2，
∴当t=1时，S =6；
△PQR最小
（3）存在，由点P，Q，R的运动速度知，运动1秒时，点P，Q，R分别在AB，BC，AC的
中点，此时，四边形APQR是矩形，即：t=1秒时，∠PQR=90°，
由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），
∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），
过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，
∴四边形APQD是矩形，
∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，
∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=4|2t﹣2|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=3|2t﹣2|
∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，
∴∠DQR=∠EQP，
∴tan∠DQR=tan∠EQP，
DR 4|2t-2|
在Rt△DQR中，tan∠DQR= = ，
DQ 3(2-t)
PE 3|2t-2|
在Rt△EQP中，tan∠EQP= = ，
QE 4t
4|2t-2| 3|2t-2|
=
∴ ，
3(2-t) 4t
∴16t=9（2﹣t），
18
∴t= ．
25
18
即：t=1或 秒时，∠PQR=90°．
25【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性
质，三角形的面积公式，解（1）的关键是求出QD，QE，解（2）的关键是建立函数关系
式，解（3）的关键是用tan∠DQR=tan∠EQP建立方程，是一道中等难度的题目．
