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黑龙江省大庆市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 2cos60°=（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案．
【详解】2cos60°
=2×
=1，
故选A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
2. 一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为（ ）
A. 0.65×10﹣5 B. 65×10﹣7 C. 6.5×10﹣6 D. 6.5×10﹣5
【答案】C
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原
数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】0.0000065的小数点向右移动6位得到6.5，
所以数字0.0000065用科学记数法表示为6.5×10﹣6，
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（ ）
A. a＞0，b＞0
B. a＜0，b＞0
C. a、b同号
D. a、b异号，且正数的绝对值较大
【答案】D
【解析】【分析】先由有理数的乘法法则，判断出a，b异号，再用有理数加法法则即可得出结论．
1【详解】∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵a+b＞0，
∴正数的绝对值较大，
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题
的关键.
4. 一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】【分析】由多边形的外角和为360°结合每个外角的度数，即可求出n值，此题得解．
【详解】∵一个正n边形的每一个外角都是36°，
∴n=360°÷36°=10，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的外角，熟记多边形的外角和为360度是解题的关键.
5. 某商品打七折后价格为a元，则原价为（ ）
A. a元 B. a元 C. 30%a元 D. a元
【答案】B
【解析】【分析】直接利用打折的意义表示出价格即可得出答案．
【详解】设该商品原价为x元，
∵某商品打七折后价格为a元，
∴原价为：0.7x=a，
则x= a（元），
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
6. 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面
上标的字是（ ）
2A. 庆 B. 力 C. 大 D. 魅
【答案】A
【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“建”与“力”是相对面，
“创”与“庆”是相对面，
“魅”与“大”是相对面，
故选A．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的
特点是解决本题的关键．
7. 在同一直角坐标系中，函数y= 和y=kx﹣3的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数
k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象
限；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象
限，
观察只有B选项符合，
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能
灵活解题．
8. 已知一组数据：92，94，98，91，95的中位数为a，方差为b，则a+b=（ ）
A. 98 B. 99 C. 100 D. 102
【答案】C
【解析】【分析】分别根据中位数和方差的定义求出a、b，然后即可求出答案.
3【详解】数据：92，94，98，91，95从小到大排列为91，92，94，95，98，处于中间位置的数是94，
则该组数据的中位数是94，即a=94，
该组数据的平均数为 ×（92+94+98+91+95）=94，
其方差为 ×[（92﹣94）2+（94﹣94）2+（98﹣94）2+（91﹣94）2+（95﹣94）2]
=6，所以b=6，
所以a+b=94+6=100，
故选C．
【点睛】本题考查了中位数和方差，熟练掌握中位数和方差的定义以及求解方法是解题的关键.
9. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A. 30° B. 35° C. 45° D. 60°
【答案】B
【解析】【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB= ∠DAB，
计算即可．
【详解】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB= ∠DAB=35°，
4故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是
解题的关键.
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y），若点D（x，y）是抛物线上
1 2 2
任意一点，有下列结论：
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x≤4，则0≤y≤5a；
2 2
③若y＞y，则x＞4；
2 1 2
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①
进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的
性质可对③进行判断；由于b=﹣2a，c=﹣3a，则方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进
行判断．
【详解】由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），
可得抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
5即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∵y=a（x﹣1）2﹣4a，
∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当x=4时，y=a×5×1=5a，
∴当﹣1≤x≤4，则﹣4a≤y≤5a，所以②错误；
2 2
∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），
∴当y＞y，则x＞4或x＜﹣2，所以③错误；
2 1 2
∵b=﹣2a，c=﹣3a，
∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，
整理得3x2+2x﹣1=0，解得x=﹣1，x= ，所以④正确，
1 2
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法、二次函数与一元二次方程等，综合性较强，
熟练掌握待定系数法以及二次函数的相关知识是解题的关键.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 已知圆柱的底面积为60cm2，高为4cm，则这个圆柱体积为_____cm3．
【答案】240
【解析】【分析】根据圆柱体积=底面积×高，即可求出结论．
【详解】V=S•h
=60×4
=240（cm3），
故答案为：240．
【点睛】本题考查了圆柱体的体积，熟练掌握圆柱体的体积公式是解题的关键.
12. 函数y= 的自变量x取值范围是_____．
【答案】x≤3
【解析】由题意可得，3-x≥0，解得x≤3.
故答案为x≤3.
13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则
ab=_____．
【答案】12
【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
6∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是
解题的关键.
14. 在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为_____．
【答案】2
【解析】【分析】先利用勾股定理计算出BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径= （a、b为直角边，c
为斜边）进行计算即可得．
【详解】∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC= =8，
∴这个三角形的内切圆半径= =2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了直角三角形内切圆半径，熟知直角三角形内切圆半径的求解方法是解题的关键.
直角三角形内切圆的半径= （a、b为直角边，c为斜边）.
15. 若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．
【答案】75
【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案即可．
【详解】∵2x=5，2y=3，
∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，
故答案为：75．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.
16. 已知 = + ，则实数A=_____．
【答案】1
【解析】【分析】先计算出 ，再根据已知等式得出A、B的方程组，解之可得．
【详解】 ，
7∵ = + ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式加减运算的法则、得出关于A、B的方程组是解
本题的关键.
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经
过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=2 ，再根据扇形的面积公式计算出S ，由旋转的性质得到
扇形ABD
Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S =S +S ﹣S =S ．
阴影部分 △ADE 扇形ABD △ABC 扇形ABD
【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2 ，
∴S = ，
扇形ABD
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S =S +S ﹣S =S = ，
阴影部分 △ADE 扇形ABD △ABC 扇形ABD
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S =S 是解题的关键.
阴影部分 扇形ABD
18. 已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径
为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．
8【答案】0<m＜
【解析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为
直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣ ；
由y=﹣ x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣ x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x= m，
∴A（ m，0），B（0，m），
即OA= m，OB=m，
在Rt△OAB中，AB= ，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S = OD•AB= OA•OB，
△ABO
∴ OD• = × m×m，
∵m＞0，解得OD= m，
由直线与圆的位置关系可知 m ＜6，解得m＜ ，
故答案为：0<m＜ .
9【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直
线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19. 求值：（﹣1）2018+|1﹣ |﹣
【答案】
【解析】【分析】按顺序分别进行乘方的运算、绝对值的化简、立方根的运算，然后再按运算顺序进行计算即可
得.
【详解】（﹣1）2018+|1﹣ |﹣
=1+ ﹣1﹣2
= ﹣2．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关
键.
20. 解方程： ﹣ =1．
【答案】分式方程的解为x=﹣ ．
【解析】【分析】方程两边都乘以x（x+3）得出方程x﹣1+2x=2，求出方程的解，再代入x（x+3）进行检验即可．
【详解】两边都乘以x（x+3），得：x2﹣（x+3）=x（x+3），
解得：x=﹣ ，
检验：当x=﹣ 时，x（x+3）=﹣ ≠0，
所以分式方程的解为x=﹣ ．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与注意事项是解题的关键.
21. 已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
【答案】2x2﹣2xy=28．
10【解析】【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
【详解】∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数值求值，二元一次方程组的特殊解法等，求出x-y=4是解
本题的关键.
22. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一
段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：
≈2.449，结果保留整数）
【答案】此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【解析】【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB的长即可．
【详解】作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC= ，
11∴PC=PA•cos∠APC=40 （海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC= ，
∴PB= =40 ≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
23. 九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了
“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不定整的频数
分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 16
戏剧 4
散文 a
其他 b
合计 1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，m的值；
（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加
学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，求选取的2人恰好乙和丙的概率．
【答案】（1）a=8，b=12，m=30；（2）选取的2人恰好乙和丙的概率为 ．
【解析】【分析】（1）先根据戏剧的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以散文的百分比求得其人
数，根据各类别人数之和等于总人数求得其他类别的人数，最后用其他人数除以总人数求得m的值；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．
12【详解】（1）∵被调查的学生总人数为4÷10%=40人，
∴散文的人数a=40×20%=8，其他的人数b=40﹣（16+4+8）=12，
则其他人数所占百分比m%= ×100%=30%，即m=30；
（2）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，
所以选取的2人恰好乙和丙的概率为 ．
【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从中得到必要的
信息是解题的关键. 注意，概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于
F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=13cm，
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边
相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
(2)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，
故BC=25-AB，然后根据勾股定理即可求得；
【详解】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
13（2）∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质等，熟练掌握平行四边形
的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键.
25. 某学校计划购买排球、篮球，已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总
费用为420元．
（1）求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？
（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60个，并且篮球的数量不超过排球数量的2倍．求至少需要购买多
少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？
【答案】（1）每个排球的价格是60元，每个篮球的价格是120元；（2）m=20时，购买排球、篮球总费用的最大，
购买排球、篮球总费用的最大值为6000元．
【解析】【分析】（1）根据购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元
列出方程组，解方程组即可；
（2）根据购买排球和篮球共60个，篮球的数量不超过排球数量的2倍列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设每个排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，
根据题意得： ，
解得： ，
所以每个排球的价格是60元，每个篮球的价格是120元；
（2）设购买排球m个，则购买篮球（60﹣m）个，
根据题意得：60﹣m≤2m，
解得m≥20，
又∵排球的单价小于蓝球的单价，
14∴m=20时，购买排球、篮球总费用的最大，
购买排球、篮球总费用的最大值=20×60+40×120=6000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，找准备等量关系列
出方程组、找准不等关系列出不等式是解题的关键.
26. 如图，A（4，3）是反比例函数y= 在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右
侧），连接OB，交反比例函数y= 的图象于点P．
（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
【答案】（1）反比例函数解析式为y= ；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=5．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法
求解可得．
【详解】（1）将点A（4，3）代入y= ，得：k=12，
则反比例函数解析式为y= ；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
15则OC=4、AC=3，
∴OA= =5，
∵AB∥x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y= x，
由 可得点P坐标为（6，2），（负值舍去） ，
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积= ×（2+6）×3﹣ ×6×2﹣ ×2×1=5．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添
加辅助线是解题的关键.
27. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过
点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2=CE•CP；
（3）当AB=4 且 = 时，求劣弧 的长度．
16【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】【分析】（1）根据已知先证明∠ACF=∠ACE，再根据等角的余角相等即可证得；
（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得 即可解决问题；
（3）作BM⊥PF于M，则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求
出tan∠BCM的值即可解决问题；
【详解】（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∵∠BCP=∠BCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，
∴∠FAC=∠EAC，
即AC平分∠FAB；
（2）∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP=∠CEB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BCE=∠BCP，
∵CD是直径，
∴∠CBD=∠CBP=90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴ ，
∴BC2=CE•CP；
17（3）如图，作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，
设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，
∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，
∴∠MCB=∠PBM，
∵CD是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB=∠BMP=90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴ ，
∴BM2=CM•PM=3a2，
∴BM= a，
∴tan∠BCM= ，
∴∠BCM=30°，
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴ 的长= ．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，
综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相似三角形的判定与性质定理
是解题的关键.
28. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大
值；
（3）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．
18【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；（2）PE+EF的最大值为 ；（3）①符合条件的点D的坐标是（ ，
）或（ ，﹣ ）；②点D的纵坐标的取值范围为 ＜y＜ 或﹣ ＜y＜ ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）易得BC的解析式为y=﹣x+4，先证明△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC
于G，如图1，则△EPG为等腰直角三角形，PE= PG，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），
接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=﹣ t2+5 t，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=﹣点D的纵坐标的取值范围；
②由于△BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y= ，y= ，得到
1 2
此时D点坐标为（ ， ）或（ ， ），然后结合图形可确定△BCD是锐角三角形时点D的纵坐
标的取值范围．
【详解】（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；
（2）由B（4，0），C（0，4），根据待定系数法易得BC的解析式为y=﹣x+4，
∵直线y=x+m与直线y=x平行，
∴直线y=﹣x+4与直线y=x+m垂直，
∴∠CEF=90°，
19∴△ECF为等腰直角三角形，
作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，△EPG为等腰直角三角形，PE= PG，
设P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），则G（t，﹣t+4），
∴PF= PH= t，PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，
∴PE= PG=﹣ t2+2 t，
∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣ t2+4 t+ t=﹣ t2+5 t=﹣ （t﹣ ）2+ ，
当t= 时，PE+EF的最大值为 ；
（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x= ，
设D（ ，y），则BC2=42+42=32，DC2=（ ）2+（y﹣4）2，BD2=（4﹣ ）2+y2= +y2，
当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，
即32+（ ）2+（y﹣4）2= +y2，解得y=5，此时D点坐标为（ ， ）；
当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，
即32+ +y2=（ ）2+（y﹣4）2，解得y=﹣1，此时D点坐标为（ ，﹣ ）；
综上所述，符合条件的点D的坐标是（ ， ）或（ ，﹣ ）；
②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即（ ）2+（y﹣4）2+ +y2=32，解得y=
1
，y= ，此时D点坐标为（ ， ）或（ ， ），
2
所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为 ＜y＜ 或﹣ ＜y＜ ．
20【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、两直线平行或相交问题、二次函数的最
值、存在性问题等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活运用相关知识以及分类讨论
思想、数形结合思想是解题的关键.
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