壮行考数学答案_2025年5月_2505192025届湖北省新八校协作体高三下学期5月壮行考（全科）_02数学

2025 年高三 5 月壮行考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】因为
x2 2x802 x 4 ,
A{xZ |2 x  4},B {y| y  0},A B {xZ |0 x  4}{1,2,3}
答案选D.
2. 【答案】B
【解析】i2025z2iziz2iz(i1)z i2
i2 1 3
所以z    i ，选B.
i1 2 2
3.【答案】D
【解析】当m1时，得到a a a ，所以{a }是以a 为首项，以a 为公差的等差数列，所
n1 1 n n 1 1
以a na ，因为a 6，所以a 2，所以S 110.答案选D.
n 1 3 1 10
4. 【答案】C
40 60
【解析】平均值x 30 2527
100 100
40 60
方差s2  [18(3027)2] [12(2527)2] 20.4 ,答案选C.
100 100
5. 【答案】A
【解析】函数的定义域为(1,1)
1x 1x
容易证明： y  ln( ) 是偶函数，因此 f(x)(2xa) ln( ) 是奇函数，可以得到
1x 1x
y 2xa是奇函数，易得实数a的值为0.答案选A.
6.【答案】C
   
【解析】当n0时，m,l 可以是任意向量，因此是不充分条件；
               
当ml 时，若l  0，显然m(nl)(mn)l 成立；当l  0，因为ml ，所以m  kl ，因
数学答案（共 8 页）第 1 页
{#{QQABbYApwgCwgBSACL5rUQFoCgmQkJOgJcoEwUAYuAQCgZNABAA=}#}                       
此m(nl)kl(nl)k(nl)l,(mn)l (kln)l k(ln)l ，因此m(nl)(mn)l 成立.
因此是必要条件.答案选C.
7.【答案】A
解析：
因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到OSAOAS OAH 30
3
所以外接球半径R OAOS  2OH, R SH 3 3R  2 3
2
因此圆锥外接球的表面积为48.因此答案选A.
8.【答案】D
【解析】
如图所示，设A(x,y ),B(x ,y ),C(x ,0),D(0,y )，
1 1 2 2 0 0
直线AB:y kxm，
 x
x  0
    2 2 y 1
因为DB  BC，所以B是CD的中点， 因此 ，且k  0 
y x 2
 y  0 0
 2 2
 
AD 2DB,所以(0x ,y  y )2(x 0,y  y )，因此x x ,y 2y
1 0 1 2 2 0 1 0 1 0
x2 4y2 x2 y2
因为A,B在双曲线上，所以 0  0 1, 0  0 1，
a2 b2 4a2 4b2
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{#{QQABbYApwgCwgBSACL5rUQFoCgmQkJOgJcoEwUAYuAQCgZNABAA=}#}b2 5y2 5 a2b2 3
两式相减得  0  ，即e  .
a2 x2 4 a2 2
0
答案选D.
二､ 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BD
S 3r,n1
【解析】因为S 3n r，所以a  1
n n S S 23n1,n2
n n1
当r 3时，a a 6，所以数列{a }不是递增数列；
1 2 n
数列{a }是等比数列，则3r 2r 1；
n
因为a 232n1，所以数列{a }一定是等比数列；当r 1时，数列{a }不是等比数列.
2n 2n 2n1
因此答案选：BD.
10.【答案】ABD
3
解析：通过作出两个函数的图像可以得到B选项正确，且4个点两两关于点( ,0)对称，
2
因此D选项正确，C选项错误.因为
51
tanx cosx ,sinx cos2x 1sin2x sinx  ,A正确.
1 1 1 1 1 1 2
答案选ABD.
11.【答案】ACD
解析：容易验证A成立
| ABC| | A| |B| |C|
因为P(ABC) P(A)P(B)P(C),所以    4| ABC||C|
8 8 8 8
P(AC) P(A)P(C),|C|2| AC|
因此| ABC|的可能取值为0，1，2
当| ABC|0时，C ；当| ABC|2时，C ，不符合条件②，
因此| ABC|1，所以 C 4，又因为| AC |0或4时，| ABC |1
因此 AC 的可能取值1，3，且AB{x ,x }
2 5
当 AC 1且x C时，此时x ,x ,x C，事件C可能情况有4种；
2 1 5 8
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{#{QQABbYApwgCwgBSACL5rUQFoCgmQkJOgJcoEwUAYuAQCgZNABAA=}#}当 AC 1，且x C时，事件C可能情况有4种；
5
当 AC 3且x C时，此时x C，事件C可能情况有4种；
2 5
当 AC 3且x C时，此时x C，事件C可能情况有4种；
5 2
因此事件C的总可能情况有16种. 答案：ACD
三､ 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】2
p p 3p
解析：焦点坐标( ,0)，准线方程x ，焦点关于准线方程对称点的坐标为( ,0)
2 2 2
3p
因此 3, p 2.
2
13.【答案】2 3
【解析】因为P(a)P(2b)1，所以a2b4，
2 3 a2b 2 3 1 4b 3a
  (  ) (8  ) 2 3 ，取等条件为a 2 32,b3 3
a b 4 a b 4 a b
2 3
 的最小值为2 3.
a b
14．【答案】(3 2-3,3 3-3)
【解析】因为A=2B,\sinA=sin2B=2sinBcosBÞa=2bcosB
3
由a+b=3得，b= ，
2cosB+1
b 3 3
所以c= sinC= sin3B= (3sinB-4sin3B)
sinB (2cosB+1)sinB (2cosB+1)sinB
 
化简得：c=6cosB-3，锐角ABC中， <B<
6 4
因此边c的取值范围是(3 2-3,3 3-3).
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解析：(1) 定义域  0， ， f(x)2x a ,令 f(x)0解得x a
x 2
a a
当0 x 时， f(x)0，函数单调递减；当x 时， f(x)0，函数单调递增；
2 2
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{#{QQABbYApwgCwgBSACL5rUQFoCgmQkJOgJcoEwUAYuAQCgZNABAA=}#}a a
所以 f(x)的单调递减区间为(0, )，递增区间为( ,)…………….............…………….6分
2 2
2
(2)由已知可得 f(1)2a 1，所以a 1，由(1)可知，函数 f(x)在(0, )单调递减，在
2
2
( ,)上单调递增，因此函数 f(x)的最小值为
2
2 1 2 1 1 1 1 3
f( ) ln   ln2  ln e  ，得证.…….13分
2 2 2 2 2 2 2 4
16. 解析：(1)由PA^底面ABCD，因此PA^ AD，因为AD^PB，PA
∩PB=P，所以AD^平面PBA；…................................................3分
底面ABCD中，AC =2,BC =1,AB= 3，因此AC2 = BC2 +AB2，得到AB^BC，
由PA^底面ABCD，因此PA^BC，PA∩AB=A，所以
BC^平面PBA，…….............................................................…….6分
因此BC AD，ADË平面PBC ，所以AD平面PBC .….....................……….7分
(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，设AD=t
因此点的坐标为A(0,0,0),C( 3,1,0),P(0,0,2),D(0,t,0)………........................................….8分

易得平面PAB的法向量为n =(0,1,0)
1
  
PC =（ 3,1,-2）,PD=（0,t,-2），设平面PCD的法向量为n (x ,y ,z )
2 2 2 2
 3x  y 2z 0  2
所以 2 2 2 ，令 y = 2，得n ( 3(t1),2,t)………...........................….11分
ty 2z 0 2 2 3
2 2
 
n n
因此  1  2  2 5，化简得：7t2 8t10 所以t =1或 1
n n 5 7
1 2
1
因此AD的长为1或 .…………........................................................................................................15分
7
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{#{QQABbYApwgCwgBSACL5rUQFoCgmQkJOgJcoEwUAYuAQCgZNABAA=}#}1 1 1
17. 解析：(1) 因为 bccosBa，所以 sinBsinCcosBsinA sinBcosCsinB
2 2 2
1 
因为sinB 0，cosC  ,C(0,),C  ..........................................................………….3分
2 3
ACD中，由余弦定理可得AD 19...........................................................................………….6分
 2
(2)由第一问可得：DCAD ,BCAB ，已知B2D
3 3
所以CAB2CAD......................................................................................................………….8分
AC BC
因此ABC中由正弦定理可知：  ，
sinB sinBAC
AC CD
ACD中由正弦定理可知：  ，因为3BC 4CD
sinD sinCAD
所以3cosCAD 4cosD, ........................................................................................………….11分
 5 3
因为DCAD ，得tanD 
3 9
5 AD AC
sinD  ，ACD中由正弦定理： 
52 sinACD sinD
2
计算得：AD 39 ....................................................................................................………….15分
5
18. 解析：(1)设事件C为“首次识别正确”，A为“选择测试集A”，B为“选择测试集B”，
由全概率公式：P(C)P(A)P(C| A)P(B)P(C|B)
4 2 1 1 3 3 1 2 1 2
P(C| A)     ，P(C|B)    
5 3 5 3 5 5 2 5 4 5
1
代入得：P(C) ；………….………….………….………….………….………….…………….4分
2
1 2

P(AC) P(A)P(C| A) 2 5 2
(2)由公式P(A|C)     ；………….………….………….8分
P(C) P(C) 1 5
2
1 1 1
(3)选择A的概率为 时，识别正确的概率为 ，识别错误的概率为 ；
2 2 2
1 7 8
选择A的概率为 时，识别正确的概率为 ，识别错误的概率为 ；
3 15 15
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{#{QQABbYApwgCwgBSACL5rUQFoCgmQkJOgJcoEwUAYuAQCgZNABAA=}#}2 8 7
选择A的概率为 时，识别正确的概率为 ，识别错误的概率为 ；……………….…….10分
3 15 15
X的可能取值为0，1，2，3
1 7 7 49
P(X 0)   
2 15 15 450
1 8 7 1 8 8 1 7 8 176
P(X 1)          
2 15 15 2 15 15 2 15 15 450
1 8 7 1 8 8 1 7 8 176
P(X 2)         
2 15 15 2 15 15 2 15 15 450
1 7 7 49
P(X 3)    ………….………….………….………….………….………….16分
2 15 15 450
X 0 1 2 3
P 49 176 176 49
450 450 450 450
49 176 176 49
E(X) 0 1 2 3 1.5
450 450 450 450
连续测试三次，识别正确次数的期望为1.5.………….………….………….………………….17分
x2 9 13
19. 解答：（1）由题意, f(x ,y ) 0  y2  1 ,
0 0 4 0 4 4
8x 24 8y 8
故x x  0  ,y  y  0 
1 2 13 13 1 2 13 13
2 18 2 18
故x  ,y  ,即B( , ).………….………….………….……….…………….4分
2 13 2 13 13 13
x2
（2）设P(x ,y ),A(x ,y ),B(x ,y ),并记 f  f(x ,y ) 0  y2.则
0 0 1 1 2 2 0 0 4 0
 2x  2x
x x  0 x  0  x
  1 2 f   2 f 1
 
2y 2y
 
y  y  0 y  0  y
  1 2 f   2 f 1
因此,有
x2 4y2 4 x2 4y2 4
 1 1  1 1
 2x 2y 4x2 4x x 16y2 16y y

( 0 x )2 4( 0  y )2 4

0  0 1 x2  0  0 1 4y2 4
 f 1 f 1  f 2 f 1 f 2 f 1
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{#{QQABbYApwgCwgBSACL5rUQFoCgmQkJOgJcoEwUAYuAQCgZNABAA=}#}4x2 16y2 4x x 16y y
从而 0 0  0 1 0 1 0,即x x 4y y 4.………….………….…………….8分
f 2 f 0 1 0 1
x2 4y2 4
因此只要证明方程组 有解即可.
x x4y y 4
0 0
X2 Y2 4
令X  x,Y 2y,X  x ,Y 2y ,故只要证明方程组 有解即可.
0 0 0 0 X X YY 4
0 0
注意到P在椭圆外,故x2 4y2 4,即X2 Y2 4.
0 0 0 0
考虑直线X X YY 4和圆X2 Y2  4的位置关系,容易得到方程组有解, 故存在点A,B使
0 0
得它们关于点P构成“E 共轭点对”.………….………….………….………….………….11分
f
(3)设P(4,t),A(x y) B(x y) ,故由(2)可知直线 AB的方程为xty 1,代入椭圆方程联立 , ), , )
1 1 2 2
可得(t2 4)y2 2ty30.………….………….………….………….………….…………….13分
 
又MA(ty 1,y ),MB(ty 1,y ),故
1 1 2 2
1 1 2 t2 3
S  |(ty 1)y (ty 1)y | | y  y | ………….………….………..……….15分
2 1 2 2 1 2 2 1 t2 4
2u 2 3
S   
令u  t2 3 3,故 u2 1
u
1 2 ,当t 0时取得等号.………….…………….17分
u
3
综上,MAB面积的最大值为 .
2
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{#{QQABbYApwgCwgBSACL5rUQFoCgmQkJOgJcoEwUAYuAQCgZNABAA=}#}