文档内容
y= ax2
22.1.2.2 二次函数
+c
的图象和性质
【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】
【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】
【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
考点 1 y=ax²+c的图象性质
【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象．
【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣
1，
∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），
∴其图象如图所示：
二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图象是一条抛物线（2）关于y
轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大
而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象．
【解答】解：列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
描点、连线如图．二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图象是一条抛物线（2）关于y轴
对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增
大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
总结：
1.y=ax²+c的图象的性质
【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
【典例1-1】二次函数 的对称轴是( )
A． 轴 B． 轴 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数 的图象与性质，对于二次函数 ，
其对称轴为直线 ，据此即可求解．【详解】解：由题意得：抛物线 的对称轴是：直线 ，
即对称轴是y轴，
故选：A．
【典例1-2】二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（0，2）
【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数y＝﹣3x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是
解题的关键．顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
【变式1-1】抛物线 的对称轴是（ ）
A． 轴 B． 轴 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】由抛物线的顶点坐标直接得到对称轴．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，则其对称轴是 轴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，顶点式 ，顶点坐标是 ，对称轴是
直线 ，此题考查了学生的应用能力．
【变式1-2】下列二次函数中，对称轴是直线 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质．根据各个选项中的函数解析式可以
得到相应的对称轴，从而可以解答本题．
【详解】解：A、 的对称轴是直线 ，不符合题意；
B、 的对称轴是直线 ，不符合题意；C、 ，
的对称轴是直线 ，不符合题意；
D、 ，
的对称轴是直线 ，符合题意；
故选：D．
【变式1-3】抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌
握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解： 的顶点坐标是 ，
故选： ．
【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】
【典例2-1】二次函数y＝x2＋1的图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：二次函数y=x2+1中，
a=1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)，
符合条件的图象是C.
故选C.【典例2-2】关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）．
A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为 轴 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说
法是否正确．
【详解】解：二次函数 中，
，
抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；
函数 对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意；
把 代入 中，得 ，
∴图象的顶点坐标为 ，故选项B错误，符合题意；
∵图象开口向上，对称轴是y轴，
∴ 时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【变式2-1】二次函数 的图象经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】A
【分析】根据二次函数 的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，对称轴为 轴，顶点坐标为 ，
∴抛物线过第一、二象限；
故选A
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【变式2-2】关于二次函数 的说法中，不正确的是（ ）A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线
C．图象经过点 D．当 时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】由 可判断选项A；由 可得对称轴为y轴，可判断选项B；把点 代
入抛物线解析式可判断选项C；由对称轴及抛物线增减性可判断选项D．
【详解】解：∵ ，
∴图象的开口向上，故选项A不符合题意；
∵ ，
∴对称轴为y轴，故选项B符合题意；
把点 代入 ，等式成立，故选项C不符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当 时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数系数与图象的关系是解决问
题的关键．
【变式2-3】下列图象中，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：函数 的对称轴为y轴，
A、抛物线开口向上，则 ，与y轴交于正半轴，则 ，即 ，二者不一致，不符
合题意；
B、抛物线开口向上，则 ，与y轴交于负半轴，则 ，即 ，但是对称轴不是
y轴，不符合题意；
C、抛物线开口向下，则 ，与y轴交于负半轴，则 ，即 ，二者不一致，不符
合题意；
D、抛物线开口向下，则 ，与y轴交于正半轴，则 ，即 ，二者一致，且对称
轴是y轴，符合题意；
故选：D．
【变式2-4】对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值5 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数 ，当 时，
函数有最小值c，当 时，函数有最大值c，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ， ，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∵当 时， ，
∴二次函数 有最大值 ，
故选B．
【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】
【典例3】已知 在二次函数 的图象上，则
为的大小关系正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴二次函数的开口向上，对称轴是y轴，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵ 在二次函数 的图象上，
∴ 关于y轴的对称点 也在二次函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的
关键．
【变式3-1】已知点 ， 均在抛物线 上，则 、 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定抛物线的对称轴，根据两点离对称轴的远近，再结合抛物线的开口方向即可
判断出 、 的大小关系．
【详解】解：∵二次函数的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 、 ，
∴点 离直线 远，点 离直线 近，而抛物线开口向上，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，当抛物线开口向上时，抛物线上离对称轴越
近的点，其函数值越小，反之则越大，掌握此特点是关键．当然，由于本题给出了具体的
二次函数式及两点的横坐标，也可求得这两点的纵坐标，比较纵坐标即可．
【变式3-2】若三点 ， ， 都在二次函数 的图象上，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是 轴，根据 时， 随
的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵ 的图象开口向下，对称轴是 轴， 关于y轴的对称点是
，
∴ 时， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解
和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
【变式3-3】若点 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．根据二次函数的性质得到抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个
点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
而 离y轴的距离最远， 离y轴的距离最近，
∴ ．
故选：C．
【考点4 二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【典例4】在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了抛物线和直线 的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一
种很好的方法，难度适中．
本题可先由二次函数 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数 的图
象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴 ，由直线可知，图象过二、三、四象限， ，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴 ，由直线可知，图象过一、二、三象限，
，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴 ，由直线可知，图象过一、二，四象限，
,故此选项错误；
D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴 ，由直线可知，图象过一、二，四象限
，即 ，故此选项正确；
故选：D．
【变式4-1】在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由一次函数的性质可知，y= 3x的函数图象过一、三象限，由二次函数
性质可得y= －x2+1中a 0，抛物线开口向下，故选D.
<
1．下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ）
A．y=3x2+1 B．y=-2x2+1
C．y=x+1 D．y=-5x+1
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，
y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，
二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的
增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可．
【详解】解：A、函数y=3x2+1在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的
值随x值的增大而减小，不符合题意；
B、函数y=-2x2+1中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x
值的增大而减小，不符合题意；
C、函数y=x+1中，y的值随x值的增大而增大，符合题意；
D、函数y=-5x+1中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意；
故选：C．
2．抛物线y=-x2+1的顶点坐标是（ ）
A．(1,0) B．(0,1) C．(-1,0) D．(0,-1)
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数y=ax2+c（其中a、c是常数，
a≠0），其顶点坐标为(0,c)，据此可得答案．
【详解】解：抛物线y=-x2+1的顶点坐标是(0,1)，
故选B．
3．函数y=ax2+k的图象上有三点A(-3,y )，B(1,y )，C(2,y )，且y 0 B．a<0 C．a≤0 D．a≥0
【答案】B
【分析】根据函数y=ax2+k的图象上有三点A(-3,y )，B(1,y )，C(2,y )得到
1 2 3
y =9a+k，y =a+k，y =4a+k，由y 0时，二次函数y=ax2+c的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：y=ax2+c，
∵a<0,c>0,b=0，b
∴抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为：x=- =0，
2a
故选D．
【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6．已知二次函数y=-x2-1，则（ ）
A．当x=0时，y有最小值-1 B．当x=1时，y有最小值-2
C．当x=0时，y有最大值-1 D．当x=1时，y有最大值-2
【答案】C
【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可．
【详解】解：∵y=-x2-1，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,-1)，
∴当x=0时，y有最大值-1，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性和顶
点坐标．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线y＝﹣x2+1的图象顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下即可判断
求解．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+1的图象顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下
∴大致图象如下：
故选A．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知抛物线y＝ax2+k的特点．
8．已知二次函数y=x2-1，当1≤x≤2时，函数值y的取值范围是（ ）A．-1≤ y≤3 B．-1≤ y≤0
C．0≤ y≤1 D．0≤ y≤3
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可以得到二次函数的增减性，即当1≤x≤2时，y随x增大而
增大，然后求出当x=1时，y=12-1=0，当x=2时，y=22-1=3，即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=x2-1，
∴二次函数的开口向上，对称轴为y轴，
∴当1≤x≤2时，y随x增大而增大，
当x=1时，y=12-1=0，当x=2时，y=22-1=3，
当1≤x≤2时，0≤ y≤3，
故选D．
【点睛】本题主要考查了求二次函数函数值的范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函
数图象的性质．
9．如图，抛物线y=ax2+1与过点(0,-3)且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交
于点C，若∠ACB为直角，则a=
1
【答案】- /-0.25
4
【分析】直线AB与y轴交于点D，如图，则D(0,-3)，利用二次函数的性质得到C(0,1)，
再证明△ABC为等腰直角三角形得到CD=AD=BD=4，所以B(4,-3)，然后把B点坐标
代入y=ax2+1即可得到a的值．
【详解】解：设直线AB与y轴交于点D，如图，则D(0,-3)，
∵C(0,1)，
∴CD=4，∵AB过点(0,-3)且平行于x轴，
∴△ABC为等腰三角形，
∵CD⊥y轴，
∴AD=BD，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=4，
∴B(4,-3)，
把B(4,-3)代入y=ax2+1，
得16a+1=-3，
1
解得a=- ．
4
1
故答案为：- ．
4
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
10．已知一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根分别是a和b，则抛物线
y=abx2-(a+b)的顶点坐标为 ．
【答案】(0，-4)
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出ab和a+b的值，再代入到抛物线解析式中，
再求得顶点坐标即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根分别是a和b，
∴a+b=4，ab=3，
则抛物线解析式为：y=3x2-4，
∴抛物线顶点坐标为(0，-4)，
故答案为：(0，-4)．
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系，熟记一元二次
b c
方程根与系数的关系：x +x =- 和x ⋅x = 是解题关键．也考查了抛物线y=ax2+k顶
1 2 a 1 2 a
点坐标为(0，k)11．抛物线y=x2+2与直线y=kx+2的一个交点为(2,b)，
(1)求k和b．
(2)求另一个交点的坐标．
【答案】(1)k=2，b=6
(2)(0,2)
【分析】（1）先把(2,b)代入y=x2+2可得：b=6，再把(2,6)代入y=kx+2可得：k=2；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可．
【详解】（1）解：把(2,b)代入y=x2+2可得：
b=22+2=6，
∴交点坐标为：(2,6)；
把(2,6)代入y=kx+2可得：
2k+2=6，
解得：k=2；
（2）由（1）得：y=2x+2，
∴¿，
∴x2+2=2x+2，
解得：x =0，x =2，
1 2
∴¿或¿，
∴函数的另一个交点坐标为：(0,2)．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点
坐标，熟练的建立方程组解题是关键．
12．已知二次函数y=-x2+4．
(1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
x … －2 －1 0 1 2 …y … …
(2)利用图象写出当-2
